😱 K-최근접 이웃 회귀의 한계

K-최근접 이웃 회귀의 원리는 주변 K개의 이웃 샘플의 샘플 값을 평균을 내어 예측값을 도출하는 것이다.
따라서 훈련 세트보다 작거나 큰값, 즉 훈련세트의 범위를 크게 벗어나는 샘플 또한 가장 가까운 K개의 샘플의 평균을 내어 예측값을 도출해 버리기 때문에 예측에 한계가 있다.
아래의 예시를 통해 더 자세하게 설명하도록 한다.

import numpy as np
perch_length = np.array([8.4, 13.7, 15.0, 16.2, 17.4, 18.0, 18.7, 19.0, 19.6, 20.0, 21.0,
       21.0, 21.0, 21.3, 22.0, 22.0, 22.0, 22.0, 22.0, 22.5, 22.5, 22.7,
       23.0, 23.5, 24.0, 24.0, 24.6, 25.0, 25.6, 26.5, 27.3, 27.5, 27.5,
       27.5, 28.0, 28.7, 30.0, 32.8, 34.5, 35.0, 36.5, 36.0, 37.0, 37.0,
       39.0, 39.0, 39.0, 40.0, 40.0, 40.0, 40.0, 42.0, 43.0, 43.0, 43.5,
       44.0])
perch_weight = np.array([5.9, 32.0, 40.0, 51.5, 70.0, 100.0, 78.0, 80.0, 85.0, 85.0, 110.0,
       115.0, 125.0, 130.0, 120.0, 120.0, 130.0, 135.0, 110.0, 130.0,
       150.0, 145.0, 150.0, 170.0, 225.0, 145.0, 188.0, 180.0, 197.0,
       218.0, 300.0, 260.0, 265.0, 250.0, 250.0, 300.0, 320.0, 514.0,
       556.0, 840.0, 685.0, 700.0, 700.0, 690.0, 900.0, 650.0, 820.0,
       850.0, 900.0, 1015.0, 820.0, 1100.0, 1000.0, 1100.0, 1000.0,
       1000.0])
print(perch_length)
print(perch_weight)

이전 목표와 마찬가지로 여전히 농어의 길이 데이터를 이용하여 농어의 무게를 예측할 것이므로 농어의 길이와 무게 데이터를 준비한다.
즉, x: 농어의 길이, y: 농어의 무게

이 때, x 값으로 사용할 농어 길이 데이터의 범위를 살펴보자.

print(np.min(perch_length), np.max(perch_length))

현재 가지고 있는 농어의 길이 데이터의 범위는 최소 8.4cm, 최대 44.0cm이다.

이 데이터를 가지고 모델을 훈련시킨다.

from sklearn.model_selection import train_test_split

train_input, test_input, train_target, test_target = train_test_split(perch_length, perch_weight, random_state=42)
train_input = train_input.reshape(-1,1)
test_input = test_input.reshape(-1,1)

#print(train_input, test_input)
print(train_input.shape, test_input.shape)

잊지 말자 sklearn 모델의 input 데이터는 무조건 이차원 배열이어야 한다.

from sklearn.neighbors import KNeighborsRegressor

knr = KNeighborsRegressor(n_neighbors=3)
knr.fit(train_input, train_target)

위와 같이 훈련 시킨 모델을 통해 길이가 훈련세트의 범위를 벗어나는 50cm인 농어의 무게를 예측해 보도록 한다.

print(knr.predict([[50]]))

모델은 해당 농어가 약 1033g일 것이라고 예측했다.

그런데 실제 50cm 농어의 무게는 훨씬 더 크다고 한다!
어떻게 된 일인지 산점도로 그려보도록 하자.

import matplotlib.pyplot as plt

#50cm의 농어의 이웃 구하기
distances, indexes = knr.kneighbors([[50]])

#산점도 그리기
plt.scatter(train_input, train_target) #훈련 세트
plt.scatter(train_input[indexes], train_target[indexes], marker='D') #이웃
plt.scatter(50, 1033, marker='^') #길이 50cm 농어

plt.xlabel('length')
plt.ylabel('weight')
plt.show()

그래프의 경향 상 농어의 길이가 증가할수록 무게 또한 같이 증가해야하는데
길이가 50cm인 농어의 무게가 길이 40~45cm의 농어 무게와 비슷하다고 예측해 버린 것을 알 수 있다.

print(np.mean(train_target[indexes]))
print(np.mean(train_input[indexes]))

위 모델은 50cm 농어의 이웃으로 50cm보다 작은 크기의 농어들을 선택했고 이들의 무게 평균을 예측값으로 출력했다.
이웃들의 무게 평균은 약 43cm로 50cm보다 훨씬 작은 것을 알 수 있다.

즉, K-최근접 이웃 회귀 알고리즘은 훈련 세트의 범위를 벗어나는 샘플에 대한 예측이 어렵다.

print(knr.predict([[100]]))

# 100cm 농어의 이웃을 구합니다
distance, indexes = knr.kneighbors([[100]])

# 산점도 그리기
plt.scatter(train_input, train_target) #훈련세트 산점도
plt.scatter(train_input[indexes], train_target[indexes], marker='D') #이웃 샘플
plt.scatter(100, 1033, marker='^') #길이 100cm 농어

plt.xlabel('length')
plt.ylabel('weight')
plt.show()

아무리 큰 샘플을 넣어도 훈련 세트의 범위를 넘어가면 이웃이 변하지 않기 때문에 항상 같은 평균 값을 내놓는다.

📏 선형 회귀(Linear Regression)

K-최근접 이웃 회귀 방법론으로는 농어의 무게를 잘 예측할 수 없으므로 방법론을 바꾸기로 한다.
선형 회귀는 데이터들을 가장 잘 나타내주는 선(방정식)을 찾는 알고리즘이다.
이 때 찾은 방정식은 해당 데이터의 경향성을 가장 잘 보여줄 수 있는 선을 의미한다.
우선 일차 방정식(직선)을 통해 데이터를 나타내 보기로 한다.
일차 방정식의 형태는
$y = ax + b$
형태이므로 우리가 찾으려는 방정식은 다음과 같다.

위 수식에서 a와 b는 알고리즘이 찾아낼 값으로 이러한 값을 모델 파라미터(model parameter)라고 한다.
반대로 내가 입력해 주어야 하는 파라미터라면 하이퍼 파라미터(hyper parameter)라고 한다.

from sklearn.linear_model import LinearRegression
lr = LinearRegression()

#모델 훈련
lr.fit(train_input, train_target)

#50cm 농어 무게 예측
print(lr.predict([[50]]))

일차원 방정식을 학습한 모델은 50cm 농어 무게를 약 1241.8g으로 예측했다.

어떻게 해당 값을 출력했는지는 모델 파라미터를 확인하면 된다.

print(lr.coef_, lr.intercept_)

coef_는 계수(coefficient)라고 하기도 하고 가중치(weight)라고 하기도 한다.

즉, 모델이 찾은 방정식은 다음과 같다.

시각화를 해보자

# 훈련 세트의 산점도 그리기
plt.scatter(train_input, train_target)

# 15~50까지 1차 방정식 그리기
plt.plot([15,50], [15*lr.coef_+lr.intercept_, 50*lr.coef_+lr.intercept_])

# 50cm 농어 데이터
plt.scatter(50, 1241.8, marker='^')

plt.xlabel('length')
plt.ylabel('weight')
plt.show()

그래프로 나타내 보면 예측하고자 했던 50cm 농어 샘플이 일차 방정식 직선 위에 있는 값인 것을 확인할 수 있다.
그러나 해당 직선의 경우 그래프의 왼쪽 하단을 보면 알 수 있듯이 농어의 길이가 더 작아진다면 농어의 무게를 음수로 예측할 수 있다.
또한 산점도를 통해 확인한 데이터의 경향성이 일차방정식 보다는 이차 방정식 형태에 가깝다는 것을 알 수 있다.

print(lr.score(train_input, train_target))
print(lr.score(test_input, test_target))

또한 위 모델은 훈련 세트 점수와 테스트 세트 점수 둘 다 별로 높지 않은 전체적인 과소적합을 보이고 있다!

과소적합 문제를 해결하기 위해 조금 더 복잡한 모델을 만들어 보기로 한다.

다항회귀(Polynomial Regression)

위에서 설명한 대로 데이터가 이차 방정식 형태에 더 가깝기 때문에 모델에게 다음과 같은 형태의 방정식을 찾도록 만드려고 한다.
$y = ax^2 + bx + c$
우리가 사용하고 있는 $x$ 값은 길이이기 때문에 최종적으로 모델이 찾아야 하는 방정식은 다음과 같아진다.

그런데 우리에겐 농어 길이 제곱 항이 없으므로 임의로 해당 항을 만들어 주어야 한다.

train_poly = np.column_stack((train_input**2, train_input))
test_poly = np.column_stack((test_input**2, test_input))
print(train_poly[:5])

임의로 길이의 제곱 항을 만들어 이차원 배열로 만들어 준 것을 확인할 수 있다.

print(train_poly.shape, test_poly.shape)

앞의 일차 방정식을 찾을 때와 마찬가지로 LinearRegression() 모델에 학습시킨다.
훈련 데이터에 이차항을 추가해 줬으므로 예측 샘플을 입력할 때에도 이차항을 입력해 주어야 한다.

lr = LinearRegression()
lr.fit(train_poly, train_target)

print(lr.predict([[50**2,50]]))

일차 방정식을 통해 찾은 예측값보다 더 큰 값을 예측했다.

모델 파라미터를 확인해보자.

print(lr.coef_, lr.intercept_)

coefficient가 2개이므로 배열로 출력된다.

위 결과에 따르면 모델이 찾은 이차 방정식은 다음과 같다.

마찬가지로 모델이 찾은 값들을 한번에 시각화하면 다음과 같다.

# 구간별 직선을 그리기 위해 15에서 49까지 정수 배열을 만듭니다
point = np.arange(15,50)

# 훈련 세트의 산점도를 그립니다
plt.scatter(train_input, train_target)

# 15에서 49까지 이차방정식 그래프를 그립니다
plt.plot(point, 1.01*point**2 - 21.6*point + 116.05)

# 50cm 농어 데이터
plt.scatter(50, 1574, marker='^')

plt.xlabel('length')
plt.ylabel('weight')
plt.show()

일차 방정식으로 나타냈을 때보다 훨씬 더 그래프의 경향성을 잘 나타내 주고 있는 것을 알 수 있다.

마지막으로 R² 값을 출력하여 모델의 성능을 평가해보도록 하자.

print(lr.score(train_poly, train_target))
print(lr.score(test_poly, test_target))

회귀 곡선과 데이터 사이의 오차가 줄어들었기 때문에 점수가 많이 올라갔지만 테스트 세트의 점수가 더 높아 과소적합이 남아있는 것을 확인할 수 있다.

다항 회귀도 선형인가요?

선형 회귀는 $y = a_1x_1 + a_2x_2 + ... + a_nx_n +C$인 방정식을 찾는 알고리즘이라고 생각하면 된다.
위에서의 $x^2$항을 $x_1$, $x$항을 $x_2$로 표현해보면
$y=1.01 * x_1 + (-21.6)*x_2 + 116.05$ 로 나타낼 수 있으므로 다항회귀 또한 선형 회귀라고 할 수 있다.

📚 Reference

혼자 공부하는 머신러닝+딥러닝, 박해선, 한빛미디어