Random Elements
저번에 다룬 확률측도 공간(Probability Space, 이하 확률공간) (Ω,F,P) 를 바탕으로 확률론의 대상이 되는 random elements 대한 내용을 다루도록 할 것이다. (확률측도의 σ-algebra에 대해서도 인식의 편의(🤔)를 위해 M 대신 F을 사용하도록 하겠다.)
Tail Events
특별히 확률공간의 σ-algebra F 의 원소들을 사건event이라고 칭하고, 각각의 사건에 대한 확률측도 값 P(A) 를 확률probability이라고 정의한다. 또한 사건 A가 True라는 것은 확률 실험probability experiment이 랜덤하게 생성하는 원소 ω∈Ω 가 ω∈A 를 만족함을 의미한다. (반대로 ω∈/A 이면 A가 False 라고 정의한다.) 만일 확률공간에 사건열 A1,A2,…∈F 들이 주어진다고 하자. 우선 사건열에 대해 다음 두 가지 경우를 정의하도록 하겠다.
- Infinitely Often(i.o) : An이 무한한 index set n∈{1,2,3,…} 에서 True임을 의미한다. 이때 다음과 같이 무한한 사건열을 True로 하는 outcome ω∈Ω 들의 집합 {Ani.o} 은 다음과 같이 표현할 수 있다.
{Ani.o}=nlimsupAn=n⋂k≥n⋃Ak={ω∈Ω:n∑IAn(ω)=∞}
- All but finitely many / Ultimately(a.b.f or ult.) : An이 유한한 index set에서 True임을 의미한다.
{Ana.b.f}=nliminfAn=n⋃k≥n⋂Ak={ω∈Ω:n∑IAnc(ω)<∞}
또한, 두 정의에서 Indicator function을 취하면
I{Ani.o}=n→∞limsupIAn
I{Ana.b.f}=n→∞liminfIAn
으로 표현된다. 이때 Fatou's Lemma을 이용하면
P{Ani.o}≥nlimsupP(An),P{Ana.b.f}≤nliminfP(An)
임을 알 수 있다. 여기서 확률측도의 연속성과 가산가법성을 이용하면 이전에 살펴보았던 Borel-Canteli Lemma를 얻을 수 있다.
Borel-Canteli Lemma
사건열 A1,A2,…∈F에 대해 ∑nP(An)<∞ 이면 P{Ani.o}=0 이다.
pf. 확률측도의 연속성과 가산가법성에 의해
P{Ani.o}=nlimP(k≥n⋃Ak)≤nlimk≥n∑P(Ak)
인데, 이때 ∑nP(An)<∞ 이면 부등호 우변이 0이 된다.
Random Elements
Probability space (Ω,F,P)의 Sample space Ω 에서 어떤 가측공간 (S,S) 로 정의된 measurable한 사상 ξ:Ω→S을 S의 random element라고 정의한다. 또한 S의 원소 B∈S 을 생각하면 이에 대해 {ξ∈B}=ξ−1(B)∈F 을 대응시킬 수 있다. 그러면
P{ξ∈B}=P(ξ−1(B))=(P∘ξ−1)(B),B∈S
으로 정의되는 새로운 set function P∘ξ−1을 정의할 수 있고, 이는 S에서 정의되는 새로운 확률측도가 되고, 이를 ξ의 (확률)분포distribution라고 부른다.
이렇게 정의되는 random element는 S가 어떤 공간이냐에 따라 다른 명칭으로 불린다. 대표적으로 S=R인 경우 random variable확률변수가 되며, S=Rd인 경우 random vector가 된다. 만일 S가 함수공간function space 인 경우는 이를 stochastic(or random) process확률과정이 된다. 또한, 만일 두 random elements ξ,η가 (S,S)에서 같은 distribution을 갖는다면 이를 ξ=dη 로 표기한다.
Measurable space (S,S) 와 A⊂S 에 대해 (A,A∩S) 도 measurable space가 된다. 그러면 역으로, (A,A∩S) 에서의 random element는 S에서의 random element로 여겨질 수 있다.
Measurable space (S,S) 와 index set T가 주어질 떄 ST를 함수 f:T→S 들의 모임class으로 정의하자. 이때 ST에서의 σ-field ST 를 정의하는데, 이는 πt:ST→S,t∈T , πtf=f(t) 로 정의되는 모든 evaluation map πi들로부터 생성된다. 만일 어떤 X:Ω→U⊂ST 가 주어지고 이떄 Xt=πt∘X 로 정의하면 이는 Ω에서 S로의 사상이다. 즉, X는 t∈T,ω∈Ω 에 대해 T×Ω→S 의 사상으로 볼 수 있다. 이와 관련하여 다음 보조정리가 성립한다.
Lemma 2.1
Measurable space (S,S) 와 index set T, U⊂ST 를 고정하자. 이때 사상 Xt:Ω→S 가 모든 t∈T 에 대해 S-measurable 하면, 사상 X:Ω→U 는 U∩ST-measurable 하다.
이떄 위 성질을 만족하는 사상 X를 U에서 path를 갖는 T에서의 S-valued random process라고 정의한다. 또한, Lemma에 의해 X를 state space S에서의 random elements Xt 들의 모임으로 볼 수 있다.
Reference
- Foundations of Modern Probability, O.Kallenberg