확률측도
정의
공간 Ω와 Ω의 부분집합들로 구성된 Borel Field F 에서 정의된 확률측도probability measure P 는 다음 공리를 만족시킨다.
- ∀E∈F:P(E)≥0
- (가산가법성) F의 서로소인 가산모임 {Ek:k∈N} 에 대해
P(k⋃Ek)=k∑P(Ek)
- P(Ω)=1
위와 같이 정의된 확률측도는, F의 원소들에 대해 다음 성질들을 만족시킨다.
- P(E)≤1
- P(∅)=0
- P(Ec)=1−P(E)
- P(E∪F)+P(E∩F)=P(E)+P(F)
- E⊂F⇒P(E)≤P(F)
- (단조성) En↑E or En↓E⇒P(En)→P(E)
- (Boole의 부등식)
P(k⋃Ek)≤k∑P(Ek)
또한, 감소하는 집합열 En↓∅ 에 대해 P(En)→0 이 성립하는데, 이를 연속성 공리axiom of continuity라고 한다.
확률공간
앞선 정의에서 (Ω,F,P) 로 정의되는 공간을 확률공간probability space 이라고 한다. 이는 일반측도공간의 일종이다. 이때 집합 Ω 를 표본공간sample space 이라고 한다.
확률공간 Trace
표본공간 Ω의 부분집합 Δ⊂Ω 가 주어질 때 Δ∈F,P(Δ)>0 을 만족한다고 가정하자. 이떄 다음과 같이 정의되는 set function PΔ
∀E∈Δ∩F:PΔ(E)=P(Δ)P(E)
는 Δ∩F 에서의 확률측도이다. 이렇게 정의되는 확률공간 (Δ,Δ∩F,PΔ) 을 기존 확률공간 (Ω,F,P)의 Δ에서의 Trace라고 한다.
예시 - 이산확률분포
가산공간 Ω의 모든 부분집합들로 구성된 σ−field F 를 생각하자. 이때 w∈Ω에 대해 p(w)≥0,∑w∈Ωp(w)=1 이도록 함수 p를 잡자. 이때, P(A)=∑w∈Ap(w) 로 정의하자. A⊂Ω 이므로 가산합집합 A=∪i∈NAi 로 나타낼 수 있는데, 각 Ai가 {wi1,wi2… } 로 표현된다고 하자. 그러면
P(A)=ij∑p(wij)=i∑j∑p(wij)=i∑P(Ai)
이므로 P는 가산가법적이다. 이렇게 정의되는 확률공간 (Ω,F,P) 를 이산확률공간discrete probability spsace 라고 한다.
예시 - 확률측도로서의 르벡측도
구간 (0,1]의 부분구간 (a,b]들의 모임(class)을 I(대문자 I의 script)로 정의하자. 즉,
I={(a,b]:0<a<b≤1}
이때 I를 포함하는 가장 작은 Borel Field B0을 잡고, 여기서 정의되는 르벡측도 m을 생각하자. 그러면 (I,B0,m) 은 확률공간이다.
Reference
- A Course in Probability Theory, Chung.
- Probability and Measure, Billingsley.