일차 연립방적식과 행렬
열립일차방적식의 해를 구하기 위해서 대입법,소거법을 쓸수 있지만 행렬matrix를 사용하면 빠르고 효율적으로 해를 구할 수 있다.
⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧x3x−2x−y−4y+3y+z−z+4z===6−414
그러기 위해서 위의 식을 행렬형태로 바꾸면 다음과 같다.
⎣⎢⎡13−2−1−431−146−414⎦⎥⎤
계산에 필요한 숫자만 남겨두고 모든 기호를 지운 것과 같은데 이런 행렬을 Augmented matrix라고 부른다. 우리는 이 행렬을 특별한 형태로 바꿔 연립 일차방정식을 푸는 방법을 배울 예정이다. 바로 그 방법이 가우스-조던 소거법(Gauss-Jordan elimination)이다.
행연산
가우스 소거법을 이용해서 연립방정식을 풀기 위해서는 먼저 행렬의 기본 연산 규칙을 이해해야 한다. 연산 규칙은 다음과 같다.
1. switching two rows
말 그대로 행의 위치를 바꾼다. 위의 행렬을 1행을 2행과 교환했을 때 다음과 같다.
⎣⎢⎡31−2−4−13−114−4614⎦⎥⎤
간단하게 R1->R2라고 표현한다.
2. multiplying a row by a constant
임의의 행에 상수 배를 곱한다. 2R1->R1 라고 했을 때 행렬은 다음과 같다.
⎣⎢⎡23−2−2−432−1412−414⎦⎥⎤
3. adding a row to another row
임의의 행에 다른 행을 더하거나 뺄수 있다. R1+R2->R1 라고 했을 때
⎣⎢⎡43−2−5−430−142−414⎦⎥⎤
다음과 같은 행렬이 된다.
가우스 소거법을 하기 위해서 이런 연산을 복합적으로 사용한다. 그래서 행렬을 특정한 형태로 바꾸는데 그 특정한 형태가 바로 RREF reduced row echelon form matrix이다.
행 사다리 꼴 행렬이 되기 위해서는 다음 조건을 모두 충족해야 한다.
- 각 행에서 처음으로 0이 아닌 성분은 1이다.
- 0만 있는 행은 맨 밑으로 내린다.
- 각 행에서 처음으로 0이 아닌 성분은 1이고 내려갈수록 오른쪽에 놓인다.
다음과 같은 형태를 행 사다리꼴이라 할 수 있다.
⎣⎢⎢⎢⎡1000−500001002010⎦⎥⎥⎥⎤
그리고 가우스 소거법을 마쳤을 때 최종적으로 기약 행 사다리꼴 (RREF)이 만들어 지는데 기약 행 사다리꼴이 되기 위한 조건은 위의 세 조건과 다음 조건을 모두 충족 해야한다.
- 1이 들어있는 열의 나머지 모든 성분이 0이어야 한다.
⎣⎢⎡100010001234⎦⎥⎤
위 행렬을 보면 왜 RREF가 연립일차방정식의 해를 구하기 쉬운 형태인지를 잘 보여 준다.
위 행렬을 방정식 형태로 바꾸면 다음과 같다.
⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧x0∗x0∗x+++0∗yy0∗y+++0∗z0∗zz===234
가우스 - 조던 소거법
가우스 소거법은 다음과 같은 순서로 작업이 이루어 진다.
- 0으로 시작하면 다른 행과 바꾼다.
- 0이 아닌 선행 성분을 1로 만든다.
- 선행선분 열을 0으로 만든다.
위과정을 반복하면 RREF 형태가 된다.
예를 들어, 다음과 같은 행렬을 RREF 형태로 바꾸기 위해 가우스 연산을 했을 때 다음과 같은 과정을 거친다.
⎣⎢⎡212411103230109⎦⎥⎤
- R1-> R2
⎣⎢⎡122141310210309⎦⎥⎤
- R2-2*R1 -> R2
⎣⎢⎡10212134210109⎦⎥⎤
- R3-2*R1 -> R3
⎣⎢⎡10012−134−4101011⎦⎥⎤
- R2 /2 -> R2
⎣⎢⎡10011−132−410511⎦⎥⎤
- R1-R2 -> R1
⎣⎢⎡10001−112−45511⎦⎥⎤
- R3+R2 -> R3
⎣⎢⎡10001012−25516⎦⎥⎤
- -1 * R3 /2 -> R3
⎣⎢⎡10001012155−8⎦⎥⎤
- R1-R3 -> R1
⎣⎢⎡100010021135−8⎦⎥⎤
- R2-2*R3 -> R2
⎣⎢⎡1000100011321−8⎦⎥⎤
이렇게 완전히 Reduced 까지 가는 과정을 Gauss-Jordan 소거법이라고 한다.
