기하Geometry란?
Wikipedia:
Geometry (from Ancient Greek γεωμετρία (geōmetría) 'land measurement'; from γῆ (gê) 'earth, land', and μέτρον (métron) 'a measure')[1] is a branch of mathematics concerned with properties of space such as the distance, shape, size, and relative position of figures.
그리스 어원을 보면 land measurement. 즉, 땅을 측량하며 사람들이 만들어 낸 수학 분과라고 할 수 있다. 땅은 리얼월드, 물리적으로 존재하는 공간적 개념이고, 기하학은 해당 공간에 대한 측량(measurement)를 수행하며 인간들이 인지적으로 처리하기 쉬운 수의 개념으로 공간을 표현한 것이라고 생각하면 될 것 같다.
즉, 최초 탄생 배경부터 현실 세계의 공간이라는 개념과 분리할 수 없는 수학 분과인 것이고(어쩌면 수학의 모태일지도), geometirc한 표현은 결국 공간감각의 추상화 관점에서 접근할 수는 있어도, 공간감각과 분리해서 이해할 수 없을 것 같다.
다만 기하학은 시간의 흐름에 따라 형태,크기,거리,상대 위치 등의 개념을 넘어 대칭성, 변형, 곡률 등의 더욱 추상적인 개념을 통해 수학적 오브젝트를 공간적으로 이해할 수 있는 도구로 진화해 왔다.
수는 양을 원자적 단위로 파악할 수 있는 하위 개념인 것이고(실수는 공간으로 생각되지만), 양은 우리를 둘러 싸고 있는 리얼 월드의 근본 성질로서, 개념의 내포에 해당하는 징표들에 매핑한 후 언어적으로 다룰 수 있는 numeral로 labeling 한 뒤, 우리 머리 속에서 정의(의미론적으로)하게 된다.
그리고 그런 labeling 된 징표들을 조합하여 수학적 오브젝트를 언어적으로 구성할 수 있다. 이 때 주로 사용하는 언어는 1차 논리의 언어가 되고( 논리모델 설정 작업), 외부와 단절된 주관적 공간에서의 symbol manipulation으로 넘어가게 된다(힐베르트님!!). 물론 의미론적인 고정작업이 적확 했는지에 대한 회의는 남아 있을 것이다(우리는 객관의 본질을 믿어야 한다).
다시 말해, geometry에서 파악하고자 하는 리얼 월드의 요소는 공간이 된다. 하지만 그런 리얼 월드의 공간을 넘어, 우리 머릿 속에 존재하는 추상적인 수학적 오브젝트 또한 기하학적 분석의 대상이 될 수 있다.
