📊 전체 확률의 법칙 (Law of Total Probability)

1. 전체 확률의 법칙 (전확률 정리)

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1) 전체 확률의 법칙 예시

 전체 확률의 법칙(law of total probability) 또는 전확률 정리는 조건부 확률과 관계된 법칙입니다. 전확률 정리의 성립 조건은 다음과 같습니다.

① 사건 B들은 서로 배반이다.
② 사건 B들의 합집합은 전체 표본집합 S이다.
③ 나눠진 B들에 포함되는 사건 A에 의해 전확률 정리가 성립된다.

 더 이해하기 쉽게 아래 그림을 통해 확인해봅시다.

 아래 표본공간 S에는 총 4개의 Bi로 분리되어 있습니다. 각 B는 서로 배반이고, 합집합은 표본공간 S를 나타내게 됩니다. 위 성립 조건의 ①과 ②을 성립합니다.

 이제 각 사건 Bi에 포함되는 사건 A를 표본공간 S위에 놓아봅시다. 이럴 경우, ③ 조건이 성립됩니다.

 최종적으로 사건 A에 대한 확률을 구하는 식에서 조건부확률을 이용한 전체 확률의 법칙을 표현할 수 있습니다. 아래 식을 봅시다. 아래와 같이 각 Bi와 A의 교집합의 합집합으로 P(A)를 구할 수 있습니다.

 위와 같이, 사건 A에 대한 확률을 교집합으로 표현한 것을 '전체확률의 법칙'이라고 합니다.

전체 확률의 법칙 : ① {각 사건 Bi가 배반이고} ② {Bi의 합집합이 표본집합 S를 가리키고} ③ {각 사건 Bi를 포함하는 사건 A가 존재}할 때, 사건 A의 확률을 교집합으로 표현한 관계식

2) 전체 확률 법칙의 일반화

 이번에는 전체 확률 법칙(전확률 정리)을 일반화 시켜 보겠습니다.

2. 전체 확률 법칙 문제

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• 문제
  반도체를 생산하는 세 개의 생산라인에서 각각 전체 반도체 생산품의 50%를 A라인, 30%를 B라인, 20%를 C라인에서 생산하고, 각 라인에서는 생산을 하고 난 후 3%, 5%, 6%의 불량품이 발생한다. 임의로 선택한 제품이 불량품일 확률은?
  
  
• 사건 정리
  
  P(A) = 0.5 : A 생산라인의 생산 확률
  P(B) = 0.3 : B 생산라인의 생산 확률
  P(C) = 0.2 : C 생산라인의 생산 확률
  P(D|A) = 0.03 : A 생산라인에서 생산 후, 불량품일 확률
  P(D|B) = 0.05 : B 생산라인에서 생산 후, 불량품일 확률
  P(D|C) = 0.06 : C 생산라인에서 생산 후, 불량품일 확률
  
  
• 결과
  

💡 정리

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1. ① {각 사건 Bi가 배반이고} ② {Bi의 합집합이 표본집합 S를 가리키고} ③ {각 사건 Bi를 포함하는 사건 A가 존재}할 때, 사건 A의 확률을 교집합으로 표현한 관계식을 전체 확률의 법칙이라고 한다.
   
   
   
2. 전체 확률의 법칙(전확률 정리)는 베이즈 정리 공식 일부에 사용된다.

참고 자료

• [확률과 통계] 13. 전체 확률의 법칙, Law of Total Probability
• 전체 확률의 법칙 - 위키백과