📊 확률의 곱셈 정리 (Multiplicative Rules of Probability)

1. 독립 사건의 곱셈 정리

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 조건부 확률에서 P(A|B)=P(A) 이거나 P(B|A)=P(B)이면, 두 사건은 A와 B는 '독립'이고, 그렇지 않으면 '종속'입니다.

 즉, P(A|B)=P(A)라는 의미는 사건 B가 먼저 발생해도, 그 결과에 아무런 영향을 미치지 않았다고 볼 수 있다.

 위와 같이, 조건부 확률에 대한 곱셈 정리를 나타낸 것입니다. 여기서 사건 A와 B가 서로 '독립'이라면, 아래 식이 성립됩니다.

 위와 같이 표시한 관계를 '확률의 곱셈정리(product rule, multiplicative rule)'이라고 합니다. 확률의 곱셈정리는 조건부 확률과 매우 밀접한 관계에 있다는 것입니다.

 즉, 사건 A와 B가 서로 독립이라면, 아래 공식이 성립됩니다.

2. 독립, 종속에 대한 곱셈정리 예시

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1) [독립사건] 스페이드 카드 뽑기 (복원추출)

• 문제
  52장의 카드 중, 첫 번째 뽑은 카드 무늬가 스페이드이고, 이 카드를 다시 집어넣는다.(복원추출) 그리고 두 번째 뽑은 카드 무늬도 스페이드일 확률은?
  
  
• 각 사건의 확률 정리
  ① 첫 번째 뽑은 카드가 스페이드일 확률 = P(A)
  ② 두 번째 뽑은 카드도 스페이드일 확률 = P(A∩B)
  ③ 두 번째 뽑은 카드가 스페이드일 확률 = P(B)
  
  
• 비교 방법
  ① P(B|A) = P(A∩B)/P(A) 결과 구하기
  ② P(B|A) = P(B) 결과 구하기
  ③ 위 ①, ② 결과 비교 후, 독립 또는 종속 확인하기

 위 사항들을 이용해, 해당 문제가 독립인지 종속인지 확인해봅시다.

2) [종속사건] 스페이드 카드 뽑기 (비복원추출)

• 문제
  52장의 카드 중, 첫 번째 뽑은 카드 무늬가 스페이드이고, 이 카드를 다시 집어 넣지 않는다.(비복원추출) 그리고 두 번째 뽑은 카드 무늬도 스페이드일 확률은?
  
  
• 각 사건의 확률 정리
  ① 첫 번째 뽑은 카드가 스페이드일 확률 = P(A)
  ② 두 번째 뽑은 카드도 스페이드일 확률 = P(A∩B)
  ③ 두 번째 뽑은 카드가 스페이드일 확률 = P(B)
  
  
• 비교 방법
  ① P(B|A) = P(A∩B)/P(A) 결과 구하기
  ② P(B|A) = P(B) 결과 구하기
  ③ 위 ①, ② 결과 비교 후, 독립 또는 종속 확인하기

 위 사항들을 이용해, 해당 문제가 독립인지 종속인지 확인해봅시다.

3. 독립과 배반, 종속

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 독립 P(B|A)=P(B)는 사건 A가 발생하던지, 발생하지 않던지 상관없이 사건 B가 일어날 확률은 같다는 의미입니다. 예를 들어, 미국에서 동전 던지기한 결과가 한국에서 주사위 던지기한 결과에 영향을 주지 않는 것처럼 각 사건은 독립적으로 동작합니다.

 여기서 독립과 배반을 혼동할 수 있습니다. 배반은 독립과 전혀 다른 개념입니다. 배반은 각 사건 A와 B의 교집합이 없는 상태를 의미합니다. 두 개념을 비교해봅시다.

• 독립 사건 : 사건 A가 발생해도 B가 발생할 확률에 영향을 주지 않는 사건
  → P(A∩B) = P(A)•P(B)
  
  
• 배반 사건 : 사건 A와 B가 동시에 발생하지 않는 사건
  → P(A∩B) = 0
  
  
• 종속 사건 : 사건 A가 발생했을 때, 사건 B의 발생 확률에 영향을 주는 사건
  → P(A∩B) = P(A|B)•P(B)

4. 조건부 확률의 곱셈 정리

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 ① 위 조건부 확률의 곱셈 정리에 의해서 다음과 같은 곱셈 정리 관계식을 알고 있습니다.

 ② 위 식을 n개의 사건으로 일반화 시키면 다음과 같습니다.

 ③ 위 식을 귀납적으로 정의해봅시다.

 위와 같이 일반화한 식을 '조건부확률의 연쇄법칙(chain rule for conditional probability)'

5. 조건부확률의 곱셈 공식 예시

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• 문제
  52장의 카드를 한 장 씩 5번 차례로 뽑을 때, {9, 4, A, 4, 7} 이 나올 확률은?
  (각 숫자, 문자는 4개씩 있다고 가정)
  
  
• 목표
  P(A∩B∩C∩D∩E) : {9, 4, A, 4, 7}이 순서대로 나올 확률
  
  
• 사건 정리
  
  ① P(A) : 첫 번째 9를 뽑을 확률
  ② P(B|A) : {9} 뽑은 후, 4 뽑을 확률
  ③ P(C|A∩B) : {9, 4} 뽑은 후, A 뽑을 확률
  ④ P(D|A∩B∩C) : {9, 4, A} 뽑은 후, 4 뽑을 확률
  ⑤ P(E|A∩B∩C∩D) : {9, 4, A, 4} 뽑은 후, 7 뽑을 확률

 위와 같이 정리했을 때, 문제를 풀어봅시다.

 순서대로 뽑는 문제이지만, 각 순서마다 확률을 구해야 하므로 조합(Combination)을 이용하여 풀이한다는 점 참고하자.

💡 정리

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1. 조건부 확률을 이용한 곱셈정리(확률의 곱셈정리)는 아래와 같은 관계식을 갖는다.
   
   
   
2. 각 사건이 독립인 A와 B의 조건부 확률을 이용한 곱셈정리는 다음과 같다.
   
   
   
3. 각 사건이 배반인 A와 B의 곱셈정리는 다음과 같다.
   
   
   
4. 조건부 확률에 대한 곱셈정리를 일반화 한 관계식(조건부확률의 연쇄법칙)은 다음과 같다.

   • 종속 사건
     
     
     
   • 독립 사건
     

참고 자료

• [확률과 통계] 11. 확률과 곱셈정리(1), Multiplicative Rule of Probability
• [확률과 통계] 12. 확률과 곱셈정리(2), Multiplicative Rule of Probability