📊 표본 공간과 사건

1. 확률과 통계의 관계

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 아래는 확률과 통계에 대해 이론적인 관점으로 정의 내린 것입니다.

• 확률(probability) : 어떤 일이 일어날 가능성
• 통계(statistics) : 어떤 현상을 종합적으로 한눈에 알아보기 쉽게 일정한 체계에 따라 숫자로 나타내는 것

 아래는 확률과 통계에 대한 또 다른 일반적인 정의를 내린 것입니다.

• 확률(probability) : 오랜시간동안 경험적으로 쌓아온 확률현상에 대한 경험적 인식을 바탕으로 이론화한 것
• 통계(statistics) : 자료를 수집한 뒤 분석, 해석 및 표현을 다루는 수학의 한 분야

 결국 통계에서는 어떤 자료 또는 현상을 종합적으로 표현하기 위해 숫자를 이용하는데, 이 숫자가 확률이다. 즉, 통계를 알기 위해서는 확률 지식을 알아야 합니다. 좀 더 쉽게 파악하기 위해 아래의 그림처럼 확률과 통계의 관계를 표현할 수 있습니다.

2. 확률의 종류

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 확률의 종류는 크게 세 가지로 나눌 수 있습니다.

1. 수학적 확률 : 어떤 환경에서든 동일한 결과값으로 일어나는 확률
2. 통계적(경험적) 확률 : 동일조건&독립적으로 무한반복했을 때 발생하는 확률
3. 주관적 확률 : 관찰자의 주관에 따라 다르게 표현되는 확률

3. 표본 공간 (Sample Space)

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 우리는 먼저 '확률이론'에 대해 배우기 전에 '집합이론'에 대해 알아야 합니다. 이 집합이론은 표본 공간(sample space)의 정의로부터 시작합니다.

표본 공간 : 통계적 실험(확률 현상)에서 발생가능한 모든 결과에 대한 집합

 예를 들어, 두 개의 동전을 던지는 실험(확률 현상)에서 앞면과 뒷면이 나오는 표본 공간(집합)은 다음과 같습니다.

• 확률 현상 : 두 개의 동전을 던지는 상황

S = {앞앞, 앞뒤, 뒤앞, 뒤뒤}

 이렇게 표본 공간(집합)은 확률 실험(확률 현상)에서 발생 가능한 모든 결과에 대한 집합을 나타내기 때문에, 이 결과들을 가지고 부분집합을 만들 수 있습니다. 이 표본 공간의 부분 집합을 사건(events)이라고 합니다.

사건 : 표본 공간(집합)의 부분 집합

 예를 들어, 어떤 제품 중에서 3개를 검사한 후 정품과 불량품으로 구분할 때, 불량품의 개수가 1개 이상인 사건을 구하기 위해 먼저 표본 공간(집합)을 알아야 합니다.

• 확률 현상 : 세 개의 제품을 정품과 불량품으로 검사하는 상황
• 조건 : 정품을 T, 불량품을 F

S = {TTT, TTF, TFT, FTT, TFF, FTF, FFT, FFF}

 여기서 불량품이 1개 이상인 사건(events)은 다음과 같습니다.

• 사건 : 불량품 1개 이상인 사건

사건 A = {TTF, TFT, FTT, TFF, FTF, FFT, FFF}

4. 사건 (Events)

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사건 : 표본 공간(집합)에서 특정한 조건을 만족하는 결과를 모아 놓은 부분 집합

 사건(events)는 위 정의와 같이 표본 공간에서 특정한 조건을 만족하는 결과의 집합이라고 합니다. 여기서 특정한 조건에 따라 사건의 종류를 다음과 같이 나눌 수 있습니다.

1. 전사건(total event) : 표본공간 S의 모든 원소를 포함하는 사건

2. 공사건(null event) : 표본공간 S의 어떤 원소도 포함하지 않는 사건

3. 여사건(complementary event) : 표본공간 S의 사건 E에 속하지 않는 S의 모든 원소들의 집합인 사건

4. 합사건(union event) : 두 사건 E와 F에 대해 E와 F중 적어도 한 쪽은 일어나는 사건

5. 곱사건(intersection event) : 두 사건 E와 F에 대해 E와 F가 동시에 일어나는 사건

6. 배반사건(mutually exclusive event) [ P(AnB)=Ø ] : 두 사건 E와 F에 대하여 한 쪽이 발생하고 다른 쪽은 발생하지 않는 사건

7. 독립사건(independent event) [ P(AnB)=P(A)xP(B) ] : 두 사건 E와 F에 대하여 한 쪽이 발생하든 말든 다른 쪽은 상관이 없는 사건

 그러면 간단한 문제를 풀어봅시다.

[문제]
 한 개의 주사위를 굴리는 상황에서 3이하의 숫자가 나올 사건(E)과 홀수만 나올 사건(F)에 대한 표본공간, 합사건, 곱사건, E의 여사건, 표본공간에 대한 총 사건 개수를 구하시오.

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[풀이]

• 확률 현상 : 한 개의 주사위를 굴리는 상황
  
  
• 표본공간 S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
• 사건 E = {1, 2, 3}
• 사건 F = {1, 3, 5}
• 합사건 E∪F = {1, 2, 3, 5}
• 곱사건 E∩F = {1, 3}
• 여사건 ~E = {4, 5, 6}
• 총 사건 개수 = 2⁶ = 64개

💡 정리

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1. 통계에 사용되는 숫자는 확률로써, 두 학문 사이에 상관성이 존재한다.
   
   
2. 확률의 종류는 크게 수학적 확률, 통계적(경험적) 확률, 주관적 확률로 나눌 수 있다.
   
   
3. 표본 공간은 어떤 사건에 대해 발생할 수 있는 모든 결과의 집합이며, 표본 집합의 부분 집합을 사건이라 한다.

참고 자료 :

• [확률과 통계] 1. 표본 공간, Sample Space
• [확률과 통계] 2. 사건, Events