어떤 노드가 byzantine failure일 때 발생할 수 있는 문제 상황은 크게 두 가지다. 첫 번째 문제 상황은 메시지를 보내지 않는 것이다. 즉, 분산 시스템이 N개의 노드 중 byzantine failure f개가 정상적으로 동작하기 위해서는 N - f개의 메시지만으로 합의가 이루어져야 한다. 이것을 다른 말로 quorum을 위해서 N - f개의 노드가 필요하다고 말한다.
두 번째 문제 상황은 byzantine failure인 노드가 악의적으로 다른 메시지를 보내는 것이다. 극단적으로는 quorum을 이룬 N - f개의 노드 중에서 f개가 byzantine failure가 보낸 메시지인 경우를 생각해볼 수 있다. 이 경우도 정상 동작해야 하므로 (N - f) - f 개의 메시지가 byzantine failure인 노드가 보낸 f개의 메시지보다 많아야 한다.
위의 두 경우를 대비하기 위해서 (N - f) - f > f. 즉, N > 3f이므로 f개의 byzantine failure인 노드가 있을 때 최소 3f개보다 많은 노드가 있어야 byzantine fault tolerance한 시스템이고, 이때 가장 작은 N은 3f + 1이다. 따라서 3f + 1개의 노드로 구성된 시스템에서 견딜 수 있는 faulty 노드의 최대 수는 f다.
