ZFC 공리의 목록

공리명	의미	논리식(자유변수는 $\forall$로 양화)
외연 공리	집합은 원소의 모임이다.	$X = Y \leftrightarrow (z \in X \leftrightarrow z \in Y)$
공집합 공리*	공집합이 존재한다.	$\exists Z : z \not\in Z$
짝 공리*	$X, Y$로부터 $Z = \{ X, Y \}$를 정의할 수 있다.	$\exists Z : z \in Z \leftrightarrow (z = X \lor z = Y)$
합집합 공리	$X = \{ Y_i \}$로부터 $Z = \bigcup Y_i$를 정의할 수 있다.	$\exists Z : z \in Z \leftrightarrow \exists x \in X (z \in x)$
멱집합 공리	$X$로부터 $\mathcal{P}(X)$를 정의할 수 있다.	$\exists Z : z \in Z \leftrightarrow (w \in z \rightarrow w \in X)$
분류 공리꼴**	$X$로부터 $Y = \{ y \in X : \phi(y) \}$를 정의할 수 있다. ($\phi$는 1차 논리식)	$\exists Z : z \in Z \leftrightarrow (z \in X \land \phi(z))$
무한 공리	모든 자연수를 포함하는 집합이 존재한다.	$\exists Z : \varnothing \in Z \land (z \in Z \rightarrow z \cup \{ z \} \in Z)$
정칙 공리	$\in$은 정렬 순서이다.	$\exists x \in X : \forall y \in X [ y \not\in x]$
치환 공리꼴	$X$로부터 $f[X]$를 정의할 수 있다. ($f$는 class function)	$[\forall x \in X \; \exists! y :\phi(x, y)] \rightarrow [\exists Y \; \forall x \in X \; \exists y \in Y : \phi(x, y)]$
선택 공리	집합족 $\{ X_i \}$에 대해 각 $X_i$의 원소를 하나씩 선택할 수 있다.	$\varnothing \notin X \rightarrow \exists f : X \rightarrow \bigcup X [ x \in X \rightarrow f(x) \in x ]$

Remarks.

• 정칙 공리는 다음과 동치

• (*)로 표시된 공리는 분류 공리꼴로부터 유도할 수 있다.

• (**)로 표시된 공리는 치환 공리꼴로부터 유도할 수 있다.

  • 분류 공리꼴의 내용은 “X가 집합이다 → f[X]가 집합이다(f는 함수)”이라는 것이다. f가 함수임을(즉, f의 정의역이 집합임을) 선결적으로 요구함에 유의하라.

공리의 필요성

정리. 다음의 정리들은 선택 공리를 필요로 한다.

• $f: X → Y$가 전사일 때, 어떤 $X$의 부분집합 $Z$에 대해 $f\vert_Z$는 전단사이다.

• $\varnothing \not\in \{X_i\}$일 때 $\prod X_i \neq \varnothing$이다.

• 정렬 원리: 임의의 집합에 정렬 순서를 줄 수 있다.

• 초른의 보조정리: $(X, <)$의 임의의 체인이 $X$에서 상계를 가진다면, $X$는 극댓값(maximal element)을 가진다.

정리. 다음의 정리들은 치환 공리꼴을 필요로 한다.

• ω + ω가 존재한다.

• 서수 완전성 정리. 모든 정렬 순서는 서수와 순서 동형이다.