[Algorithm] BaekJoon : 11054. 가장 긴 바이토닉 부분 수열 by Python

[문제 바로가기] https://www.acmicpc.net/problem/11054

📌문제 설명

수열 S가 어떤 수 Sk를 기준으로 S1 < S2 < ... Sk-1 < Sk > Sk+1 > ... SN-1 > SN을 만족한다면, 그 수열을 바이토닉 수열이라고 한다.

예를 들어, {10, 20, 30, 25, 20}과 {10, 20, 30, 40}, {50, 40, 25, 10} 은 바이토닉 수열이지만, {1, 2, 3, 2, 1, 2, 3, 2, 1}과 {10, 20, 30, 40, 20, 30} 은 바이토닉 수열이 아니다.

수열 A가 주어졌을 때, 그 수열의 부분 수열 중 바이토닉 수열이면서 가장 긴 수열의 길이를 구하는 프로그램을 작성하시오.

입력
첫째 줄에 수열 A의 크기 N이 주어지고, 둘째 줄에는 수열 A를 이루고 있는 Ai가 주어진다. (1 ≤ N ≤ 1,000, 1 ≤ Ai ≤ 1,000)

출력
첫째 줄에 수열 A의 부분 수열 중에서 가장 긴 바이토닉 수열의 길이를 출력한다.

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💡 문제 풀이

최장 증가 부분 수열(LIS)를 응용하여 해결할 수 있는 문제였다.

기존 LIS 알고리즘을 구현했을 때는 DP를 이용하여 좌측에서 우측 방향으로 증가하는 부분 수열을 찾았다면
이번에는 증가했다 감소했을 때 가장 긴 부분 수열을 찾는 것이 문제였다.

가장 긴 바이토닉 부분 수열은 증가했다 감소하는 가장 긴 부분 수열이다.
따라서, 이 수열의 중앙을 기준으로 반을 나누면 좌측→우측, 우측→좌측 모두 LIS를 찾는 문제처럼 보였다.

따라서, 양 끝 방향을 시작점으로 지정한 후 DP를 이용하여 LIS를 구한 뒤 각 숫자가 가지고 있는 길이의 합을 통해서 가장 긴 바이토닉 부분 수열을 찾았다.

문제의 예시로 주어진 수열 S를 DP로 표현하면 위와 같다.
양 옆 방향의 LIS를 구한 후 합했을 때 가장 큰 값을 가지는 기준값을 찾으면 된다. → 가장 긴 바이토닉 수열의에서 증가, 감소의 변환이 이루어지는 기준 값이 된다.

이 때, 양방향의 LIS를 더했기 때문에 기준값이 중복이 되므로 -1을 해주면 된다.

코드는 다음과 같다.

import sys

N = int(input())
numbers = list(map(int, sys.stdin.readline().split()))

DP = [1] * len(numbers) # 좌 → 우 방향의 LIS
reverse_DP = [1] * len(numbers) # 우 → 좌 방향의 LIS

for i in range(1, len(numbers)): # 좌 → 우 방향
    for j in range(i):
        if numbers[i] > numbers[j]:
            DP[i] = max(DP[i], DP[j]+1)

for i in range(-2, -len(numbers), -1): # 우 → 좌 방향
    for j in range(-1, i, -1):
        if numbers[i] > numbers[j]:
            reverse_DP[i] = max(reverse_DP[i], reverse_DP[j]+1)

answer = 0

for idx in range(len(numbers)):
    answer = max(answer, DP[idx] + reverse_DP[idx])
print(answer-1)

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