(ADsP) 19. 시계열 분석

1) 시계열 분석 개요

(1) 시계열 분석의 개념
1. 시계열 분석의 개념

• 시계열 분석은 일정 시간 간격으로 기록된 자료들에 대하여 특성을 파악하고 미래를 예측하는 분석방법이다. 가까운 미래에 있을 날씨 예측, 주식 예측, 판매 예측 등의 목적으로 사용된다.
• 주가, 환율, 월별 재고량, 일일 확진자 수 등이 시계열 자료에 해당한다.

2. ⭐시계열 자료의 자기상관성⭐

• 시계열 자료의 자기상관성에 관해서는 앞서 '더빈 왓슨 검정'편에서 잠시 살펴본 바 있다. 조금 더 자세히 살펴보기로 한다.
• 주식이나 기온 등의 시계열 자료들은 자기상관성을 가지고 있다. 이말은 서로 이웃하는 자료들끼리 일종의 상관관계를 가진다는 말이다. 수학적으로 풀어보면 하나의 잔차항의 크기가 이웃하는 다른 잔차항의 크기와 서로 일정한 관련이 있따는 말과 같다. 시계열 자료는 인접한 자료들과 상호 연관성을 가진다는 의미다.
• 여기서 공분산의 개념을 살펴봐야 한다. 공분산은 두 개의 확률 변수의 선형관계를 나타낸다. 하나의 확률 변수의 증감에 따른 다른 확률 변수의 증감 경향에 대한 측도다. 분산이라는 개념을 확장하여 두 개의 '확률 변수'의 흩어진 정도를 표현한 것이 공분산이다.
• 공분산이 시계열 분석에서 중요한 이유는 바로 시계열 자료의 자기상관성 때문이다. 시계열 자료는 서로 인접한 이웃 자료들끼리 자기상관성을 갖는다고 말했다. 그렇기 때문에 확률변수의 흩어짐 정도를 의미하는 공분산이 어느 정도인지, 다시 말해 어느 정도 상관성을 갖는지가 중요한 것이다. 여기서 만약 두 확률변수의 공분산이 '0'이라면 그건 자기상관성이 없는 독립전인 확률변수로 봐야한다.
• 그런데 어디서 많이 들어본 개념 아닌가? 그렇다. 바로 상관관계와 관련이 있는 개념이다. 공분산은 자료들의 평균이나 편차에 대해 정규화가 안 된 값이다 보니 그 정도나 비교가 어렵다. 그래서 공분산값을 정규화한 것이 바로 상관계수다.
• 따라서 대부분의 시계열 자료들은 자기상관성을 가지기 때문에 공분산은'0'이 아니다. 또 시계열 분석에서는 상관분석에서 중요하게 다루어지는 상관계수와 같이 상관성의 정도를 나타내는 '자기상관계수'개념이 중요하다. 이것은 시계열 분석 방법에서 다루기로 한다.

3. ⭐시계열 분석의 자료⭐

• 시계열 분석의 자료는 크게 정상성 시계열 자료와 비정상성 시계열 자료로 구분되는데, 대부분의 시계열 자료는 비정장성 시계열 자료다.
• 그런데 문제는 시계열 분석을 수행하려면 정상성 자료여야 하는데, 정상성이란 평균이 일정할 것, 분산이 시점에 의존하지 않을 것 등의 일정한 조건을 요구한다. 따라서 자료가 대부분 비정상성이므로 이를 정상성 시계열 자료로 변환해야 한다.

(2) ⭐시계열 자료의 정상성 조건⭐
1. 일정한 평균

• 모든 시점에 대하여 평균이 일정해야 한다. 그렇지 않다면 차분을 통해 정상화할 수 있다.
• 차분이란 현 시점의 자료 값에서 전 시점의 자료 값을 빼는 것이다. 만약 연중 기온을 예측하는 것과 같은 계절적인 주기가 있는 경우에는 여러 시점 전의 자료 값을 빼는 계절차분을 사용한다.

2. 일정한 분산

• 모든 시점에 대하여 분산이 일정해야 한다. 그렇지 않다면 변환을 통해 정상화할 수 있다.
• 자료 값에 지수 혹은 로그를 취해 변환하여 시간에 따라 변하는 분산의 크기를 안정시킬 수 있다.

3. 시차에만 의존하는 공분산

• 공분산은 단지 시차에만 의존하고 특정 시점에 의존하지 않는다.
• t는 시점, s는 시차라고 했을 때, 't시점과 t+s시점의 공분산'과 't시점과 t-s'시점의 공분산'은 서로 같다.
• 아래 그림을 보면, X축이 시간의 흐름을 나타는데 특정한 시간의 관점을 '시점'이라 하고, 시점과 시점 간의 차이를 시차라고 한다. 공분산의 특정 시점에 의존하지 않는다는 말은't시점과 t+s시점의 공분산'과 't시점과 t-s시점의 공분산'은 서로 같다는 의미다. 다만 시차, 즉 시점과 시점 간의 차이에 따라 공분산 값은 다를 수 있다.

(3) 자기상관계수
1. 자기상관계수(ACF : Autocorrelation Function)

• 시계열 분석에는 자기상관계수는 시간의 흐름에 따른 자기상관관계를 나타낸다. 중요한 것은 어떤 특정한 시점이 아니라 '시간의 흐름'에 따른 변수 간의 상관관계 변화라는 점이다. 앞서 공분산이 특정 시점이 아니라 시차에 의존한다는 말이 이해가 갈 것이다.
• 만약 시계열 자료가 시간의 흐름에 따라 일정한 패턴을 보인다면 그것은 바로 변수들이 자기상관성을 갖고 있기 때문이다.
• 시계열 분석에서는 자기상관함수를 시계열 자료가 시간에 의존하지 않고 무작위성을 띠는지 확인하는 데 사용한다. 만약 시계열 데이터가 무작위성을 띠지 않는다면 시계열 분석을 통한 미래 시점의 예측도 가능하다.
• 자기 상관함수는 특정 시점 t에서의 값과 t로부터 l만큼의 시차를 갖는 t+l시점에서의 값의 상관계수(자기상관계수)를 나타내는 함수다.
• 자기상관함수는 시차 l을 x축으로, 상관계수는 y축으로 하는 그래프로 표현가능하다. 시차 l=0인 경우에는 자신과의 상관계수를 의미하며, 항상 1이다. 일반적으로 자기상관계수는 시차가 증가하면서 자기상관계수는 값이 감소한다.

2. 부분자기상관계수(PACF : Partial Autocorrelation Function)

• 자기상관함수는 두 시계열 확률변수 간의 상관관계를 보여주지만, 부분자기상관함수는 두 시계열 확률변수 간에 다른 시점의 확률변수 영향력은 통제하고 상관관계만 보여준다.
• 예를 들어, 교회가 많을수록 범죄 발생률이 높다는 연구가 있다고 가정하자. 이 연구의 결론이 과연 옳은 분석 결과일까? 교회가 많다는 것은 인구수가 많다는 것이다. 그렇다면 범죄발생률이 높은 것이 과연 교회 때문일까? 이때 영향을 주는 인구라는 요소를 제외하고 오로지 교회와 범죄발생률만을 놓고 상관관계를 분석해본다면 바로 이것이 부분자기상관계수 개념이다.
• 부분자기상관계수는 시점 t와 시차l을 갖는 t+l시점 사이에 존재하는 l-1개의 자료값이 자기상관계수에 미치는 영향을 제거한 상관계수다. 일반적으로 부분자기상관계수는 특정 시점 이후 급격히 감소한다.

(4) ⭐시계열 분석 기법⭐
1. 이동평균법

• 이동평균법은 시계열 데이터에서 일정 기간별로 자료를 묶어 평균을 구하는 방법이다.
• 시간이 지남에 따라 평균 계산에 포함되는 자료가 바뀌기 때문에 이동평균법이라고 한다. 변동이 많은 시계열 데이터의 평균을 구함으로써 여러 요인으로 인한 변동을 없앨 수 있따.

2. 지수평활법

• 이동평균법은 장기적인 추세를 파악하는 데는 효과적이나 m기간에 따라 평균의 수가 감소하는 단점이 있따.
• 지수평활법은 이런 문제점을 해결하기 위해 사용하는 방법으로 최근 자료가 과거 자료보다 예측에 효과적이라는 가정하에 최근 데이터일수록 큰 가중치를 부여하고, 오래된 데이터일수록 작은 비중을 부여하는 방식을 사용해 평균을 계산한다.

2)시계열 모형

(1) ⭐자기회귀(AR:Autoregressive)모형⭐

• 자기회귀 모형은 시계열 자료를 설명하기 위한 모형 중 하나로서 t라는 시점에서의 값 yt는 이전 시점들 n개에 의해 설명될 수 있음을 의미한다.
• 특정 시점 t로부터 k번째 이전 시점들은 각각의 다른 가중치 값 Φk를 가지고 있다.
• AR(n)모형을 사용하기 위한 적절한 n의 값을 결정하기 위해서는 부분자기상관함수를 사용한다.

(2) 이동평균(MA:Moving Average)모형

• 자기회귀모형이 이전 시점들의 자료값들에 의한 선형결합이라면 이동평균 모형은 이전 시점의 백색잡음들의 선형결합으로 표현할 수 있다.
• 백색잡음들의 선형결합으로 이루어져 있기 때문에 항상 정상성을 만족하는 모형이다.
• MA(n)모형을 사용하기 위한 적절한 n의 값을 결정하기 위해서는 자기상관함수를 사용한다.

(3) ⭐자기회귀누적이동평균 모형⭐

• 자기회귀누적이동평균(ARIMA: Autoregressive Integrated Moving Average)모형은 비정상 시계열 자료를 자둘 수 있는 모형으로 현실에 존재하는 대부분의 시계열 자료를 설명할 수 있다.
• 비정상 시계열이기 때문에 차분이나 변환을 통해 정상화할 수 있다.
• 가장 이상적인 p, d, q값을 R을 활용하여 찾아보자.

(4) ⭐분해 시계열

• 시계열은 추세요인, 계절요인, 순환요인, 불규칙요인 등으로 구성되며, 이들 요인이 서로 복잡하게 혼합되어 하나의 시계열 데이터를 구성한다.
• 분석 목적에 따라 특정 요인만 분리해 분석하거나 제거하는 작업을 하게 되는데, 이를 분해 시계열이라고 한다. 주로 회귀분석과 함께 사용한다.
• 분해 시계열은 추세요인(Trend), 계절요인(Seasonal), 순환요인(Cyclical), 불규칙요인(Irregular)의 4가지 요인으로 구성되어 있다.

(5) ⭐시계열 분석 예시⭐

• R 패키지 중 datasets 패키지가 보유한 Nile 데이터를 사용하여 시계열 분석을 활용해보자.
• Nile 데이터는 아스완댐에서 측정한 나일강의 연간 유입량에 관한 데이터다.