(*이 시리즈의 내용은 모두 '인공지능 100점을 위한 파이썬 수학' 서적의 내용을 정리한 것입니다. 사진과 같은 자료들 또한 출처가 위 책임을 밝힙니다.)
- 움직이고 있다는 것은 모두 짧은 찰나에 보면 정지해 있는 상태라는 것.
움직이고 있는 자동차를 예로들어, 시간 t1에서 t2사이에 s1에서 s2까지 이동했다면 이 때 평균 속도는
(s2-s1)/(t2-t1)이 된다.
t2-t1을 점점 작게 만들다가 찰나의 순간이 된다면 0에 가까운 값이 된다는 것이고, 이 때 시간의 변화와 공간의 변화를 측정할 수 있다면? 이를 이용하여 도출한 식이
위 식이다.
만약 자동차를 타고 서울에서 부산까지 300km거리를 3시간 만에 갔다고 가정했을 때, 평균 속도는 얼마일까?
평균 속도는 거리를 시간으로 나눈 값이다. 300km 거리를 3시간에 이동했다면 시속 100km가 된다.
하지만 3시간 동안 매우 일정하게 100km/h의 속도로 움직이는 것은 불가능하다.
운동의 상태는 시간에 따라 다르게 변한다. 평균 속도는 전체를 두고 보았을 때의 값, 전체 거리를 걸린 총 시간으로 나눈 값이다. 3시간 동안 속도는 계속 변할 수 있고, 변화되는 상태 속 특정한 시간에서의 속도는 매 시간 달라지고 그 특정 순간의 속도를 '순간속도'라고 부른다.
- 순간 속도는 아주 짧은 시간(이상적으로 짧은 시간)의 변화 동안 변화된 거리를 나타낸다.
f(x)의 그래프가 있다. f(x)는 시간 x에 따른 이동 거리를 나타내는 식이다. 여기에 x=a, x=b일 때 값을 각각 넣으면 f(a)는 a라는 시간이 지난 후의 이동 거리, f(b)는 b라는 시간이 지난 후의 이동 거리이다.
a시간이 경과한 후 b시간이 될 때까지의 평균 속도는 b-a시간 동안 이동한 거리 f(b)-f(a)를 이용하여 나타낼 수 있다.
(a, f(a)), (b, f(b)) 두 점을 지나가는 직선을 그리기 위해,
f(a) = ca + d
f(b) = cb + d
아래 식에서 위 식을 빼면,
f(b) - f(a) = c(b-a)
이 식의 양변을 (b-a)로 나누면 직선의 기울기 c를 구할 수 있다.
여기에서 기울기 c는 두 점, a와 b 사이에서 평균적으로 변화한 정도를 의미한다.
만약 b와 a가 매우 가깝다면 b-a는 0에 가까운 값이 될 것이고, 이 때의 c값을 순간속도라고 한다.
위 그림에서, a와 b의 간격이 점점 작아질 수록 두 점을 지나가는 직선이 점선이 되어가는 것을 볼 수 있다.
즉, a와 b를 시간으로 둔다면 서울에서 출발하는 시간 a와 부산에 도착하는 시간 b를 알고, 그 때의 거리 f(a), f(b)를 알 때 b-a시간에 대한 평균 속도를 계산할 수 있다. 이 때 b와 a가 근접한 값이라면 그 특정 시간에서의 속도, 즉 순간속도를 알 수 있고, 이를 미분이라고 한다.
매우 짧은 시간을 h로 두면, 시간 a를 x로 두고 시간 b를 x+h 즉, x에서 h만큼 시간이 지난 것으로 둘 수 있다.
그리고 x와 x+h에 대한 거리 f(a), f(b)는 다음과 같다.
f(a) = f(x)
f(b) = f(x+h)
이제 위의 식은 다음과 같이 쓸 수 있다.
c는 기울기이고 h가 0으로 가까이 갈 때 c 값은 특정한 점에서 접선의 기울기가 된다. 이 값을 미분이라 부르고 df(x)/dx라고 표시한다. 즉,
위의 세 가지 공식이 모두 수학적으로 동일하다. 이 때 세번째 식이 컴퓨터를 이용한 수치미분 시 사용되는 공식이다.
