문제
[문제]
N개의 도시가 있다. 그리고 한 도시에서 출발하여 다른 도시에 도착하는 버스가 M개 있다.
각 버스는 A, B, C로 나타낼 수 있는데, A는 시작도시, B는 도착도시, C는 버스를 타고 이동하는데 걸리는 시간이다.
시간 C가 양수가 아닌 경우가 있다. C = 0인 경우는 순간 이동을 하는 경우, C < 0인 경우는 타임머신으로 시간을 되돌아가는 경우이다.
1번 도시에서 출발해서 나머지 도시로 가는 가장 빠른 시간을 구하는 프로그램을 작성하시오.
[입력]
첫째 줄에 도시의 개수 N (1 ≤ N ≤ 500), 버스 노선의 개수 M (1 ≤ M ≤ 6,000)이 주어진다.
둘째 줄부터 M개의 줄에는 버스 노선의 정보 A, B, C (1 ≤ A, B ≤ N, -10,000 ≤ C ≤ 10,000)가 주어진다.
[출력]
만약 1번 도시에서 출발해 어떤 도시로 가는 과정에서 시간을 무한히 오래 전으로 되돌릴 수 있다면 첫째 줄에 -1을 출력한다.
그렇지 않다면 N-1개 줄에 걸쳐 각 줄에 1번 도시에서 출발해 2번 도시, 3번 도시, ..., N번 도시로 가는 가장 빠른 시간을 순서대로 출력한다.
만약 해당 도시로 가는 경로가 없다면 대신 -1을 출력한다.
아이디어
문제에서 이동 시간C가 양수가 아닌 경우가 있다고 했고,
시간을 무한히 오래 전으로 되돌릴 수 있는 경우도 있을 수 있다고 언급했다.
이때 떠올려야하는 알고리즘은 벨만-포드 알고리즘이다!
벨만-포드 알고리즘 (Bellman-Ford algorithm)
- 간선의 가중치가 음수이고, 음의 간선이 포함된 사이클을 감지해야하는 경우 항상 벨만-포드 알고리즘을 떠올린다 ⭐️
- 음수 사이클이 있을 경우 결론적으로 정상 동작하지 않아서 음수 사이클의 존재 여부를 확인해야 한다.
-
음의 간선이 없다면 다익스트라가 더 효율적이다!
- 벨만-포드 알고리즘은 다익스트라가 음의 간선을 처리할 수 없다는 점을 개선하기 위해 등장한 알고리즘
- 다익스트라는 그리디하게 최소 비용 경로를 탐색하는 반면, 벨만-포드는 모든 경우의 수를 고려하는 DP이다.
-
벨만-포드 알고리즘의 시간복잡도는 O(VE)이다.
구현 방법
V를 정점의 개수, E를 간선의 개수라고 할 때
벨만-포드 알고리즘은 한 노드에서 다른 노드까지의 최단경로는 많아야 V-1개의 간선을 지난다는 가정을 기본으로 한다.
-
최단거리 테이블(
dist)을 초기화한다.
시작점은 0으로 초기화하고 다른 정점은 ∞로 초기화한다. -
(V-1)번 아래 과정을 반복한다
- (출발점, 도착점, 가중치)로 나타내지는 E개의 간선을 확인한다.
dist[출발점]이 아직 ∞ 상태라면 스킵한다.- 그렇지 않다면,
dist[도착점] > dist[출발점] + 가중치인 경우dist[도착점]의 값을 갱신한다.
-
만약 음의 사이클이 존재하는지 체크하고싶다면 위 과정을 한번 더 수행한다.
이때 갱신이 발생한다면 음의 사이클이 존재한다.- 그래프에서 한 노드에서 다른 노드까지의 최단경로는 많아야 (V-1)개의 간선을 지난다.
- V번째 라운드에서 갱신이 발생한다는 것은, 돌면 돌수록 값이 줄어드는 음의 사이클이 존재함을 의미한다.
제출 코드
import sys
input = sys.stdin.readline
INF = float('inf')
n, m = map(int, input().split())
edges = []
for _ in range(m):
a, b, c = map(int, input().split())
edges.append((a, b, c))
# 최단거리 테이블
dist = [INF] * (n+1)
def bellman_ford(start):
dist[start] = 0
# (n-1)번 모든 간선 검사를 반복한다. 나머지 한번은 음의 사이클을 감지하는 데 쓴다.
for i in range(n):
# print("dist:", dist)
for current, next, weight in edges:
if dist[current] == INF:
continue
if dist[next] > dist[current] + weight:
# n번째 반복에 갱신되는 최단거리가 있다면 음의 사이클 존재
if i == n-1:
return False
dist[next] = dist[current] + weight
return True
if bellman_ford(1):
for city in range(2, n+1):
print(dist[city] if dist[city] != INF else -1)
else:
print(-1)참고 사이트
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