T 분포, F 분포

STATS·2023년 7월 2일

수리통계학

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$Z \sim N(0, 1), V \sim \chi^2(r), Z \perp V$ 라고 하자. 이 때 T분포는 다음과 같이 정의한다.

T = \frac{Z}{\sqrt{V/r}} \sim t_{(r)}

T 분포의 확률 함수는 다음과 같이 유도할 수 있다.

t = \frac{z}{\sqrt{v/r}}, u = v \Rightarrow z = t\sqrt{u/r}, v = u \\ {} \\ J = \begin{vmatrix} \frac{\partial z}{\partial t} & \frac{\partial z}{\partial u} \\ \frac{\partial v}{\partial t} & \frac{\partial v}{\partial u} \\ \end{vmatrix} = \sqrt{\frac{u}{r}} \Rightarrow f_{T, U}(t, u) = f_{Z, V}(t\sqrt{\frac{u}{r}}, u) \cdot \sqrt{\frac{u}{r}} \\ {} \\ \Rightarrow f_{T, U}(t, u) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \Gamma(\frac{r}{2})2^{\frac{r}{2}}}e^{-\frac{u}{2}(1 + \frac{t^2}{r})}u^{\frac{r}{2}-1}\sqrt{\frac{u}{r}} \\ {} \\ f_T(t) = \int_0^{\infin} f_{T, U}(t, u)du = \frac{\Gamma(\frac{r+1}{2})}{\sqrt{\pi r}\Gamma({\frac{r}{2}})(1 + \frac{t^2}{r})^{\frac{r+1}{2}}}

E(T) = 0 \ (r > 1) \\ Var(T) = \frac{r}{r-2} \ (r > 2)

위 T분포는 모분산을 모르는 경우의 모평균 추정에서 자주 사용된다.

\frac{(\frac{\bar{X} - \mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}})}{\sqrt{\frac{(n-1)s^2/\sigma^2}{n-1}}} \sim T_{n-1} \Rightarrow \frac{\bar{X}- \mu}{s/\sqrt{n}} \sim T_{n-1}

$U \sim \chi^2(r_1), V \sim chi^2(r_2), U \perp V$ 라고 하자. 이 때 F분포는 다음과 같이 정의한다.

W = \frac{U/r_1}{V/r_2} \sim F_{r_1, r_2}

F 분포의 확률 함수는 다음과 같이 유도할 수 있다.

w = \frac{u/r_1}{v/r_2}, z = v \Rightarrow u = \frac{r_1}{r_2}wz, v = z \\ {} \\ J = \begin{vmatrix} \frac{\partial u}{\partial w} & \frac{\partial u}{\partial z} \\ \frac{\partial v}{\partial w} & \frac{\partial v}{\partial z} \\ \end{vmatrix} = \frac{r_1}{r_2}z \Rightarrow f_{W, Z}(w, z) = f_{U, V}(\frac{r_1}{r_2}wz, z) \cdot \frac{r_1}{r_2}z \\ {} \\ \Rightarrow f_{W, Z}(w, z) = \frac{1}{\Gamma(\frac{r_1}{2})\Gamma(\frac{r_2}{2})2^{\frac{r_1 + r_2}{2}}}(\frac{r_1}{r_2}wz)^{\frac{r_1}{2}-1}e^{-\frac{r_1wz}{2r_2}}z^{\frac{r_2}{2}-1}e^{-\frac{z}{2}}\frac{r_1}{r_2}z \\ {} \\ f_W(w) = \int_0^{\infin} f_{W, Z}(w. z) dz = \frac{\Gamma(\frac{r_1+r_2}{2})}{\Gamma(\frac{r_1}{2})\Gamma(\frac{r_2}{2})(\frac{r_1}{r_2}w+1)^{\frac{r_1+r_2}{2}}}(\frac{r_1}{r_2})^{\frac{r_1}{2}}w^{\frac{r_1}{2}-1}

E(W) = \frac{r_2}{r_2 - 2} \ (r_2 > 2) \\ Var(W) = \frac{2r_2^2(r_1 + r_2 - 2)}{r_1(r_2 - 2)^2(r_2 - 4)} \ (r_2 > 4)