다변량 확률 분포 : 주변 확률 함수, 조건부 확률 함수

주변 확률 함수

결합 확률 함수는 $n$개의 확률 변수를 모아 놓은 확률 벡터에 대한 확률 함수로 생각할 수 있었다.
반대로 결합 확률 함수를 알고, 그 중 한 확률 변수의 확률 함수를 알고 싶을 때는 주변 확률 함수를 이용하면 된다. 예를 들어 $f_{X_1, X_2, ..., X_n}(x_1, x_2, ..., x_n)$을 알 때, $X_1$의 확률 함수를 알고 싶다면 결합 확률 함수에서 $X_1$의 주변 확률 함수를 추출할 수 있다.

더 구체적인 예시로, 이전에 사용했던 과목 별 수능 점수에 대한 표본 공간 $\Omega$를 이용하자.

그리고 확률 변수 X를 학생의 수학 점수, 확률 변수 Y를 학생의 영어+국어 점수라고 정의하자.
그렇다면 $X, Y$의 결합 확률 함수는 $p_{X, Y}(x, y)$로 주어진다.

만약 알고 싶은 것이 오직 학생의 수학 점수라고 하자. 그렇다면 X와 Y의 결합 확률 함수로부터 X의 확률 함수를 추출 할 수 있어야 한다. 혹은 $p_X(x)$를 구할 수 있어야 한다.

파티션을 이용한 주변 확률 함수 도출

$X$의 확률 함수를 추출하기 위해 파티션을 이용하면 다음과 같다.

왜냐하면 $Y=0, Y=1, ..., Y=100$은 MECE 조건을 만족하기 때문에, 사건 $p_X(x) = P(X=x)$은 $\sum_{i=0}^{100} p_{X, Y} (X= x, Y = i)$와 동일하다.

이를 일반화하면 이산 확률 변수와 연속 확률 변수의 주변 확률 함수를 다음과 같이 구할 수 있다.

이산 확률 변수의 주변 확률 함수

연속 확률 변수의 주변 확률 함수

조건부 확률 함수

조건부 확률은 표본 공간을 $\Omega$ 내의 특정 사건으로 축소시켰을 때, $\Omega$ 내의 어떤 사건이 일어날 확률이었다.

그리고 확률 변수의 서포트도 표본 공간으로 볼 수 있었기 때문에, 확률 변수 간에도 조건부 확률 함수를 정의할 수 있다.

예를 들어 위의 예시에서 수학이 70점인 학생의 언어 영역 점수 합이 80~100점 사이일 확률을 구하고 싶다면,

위의 조건부 확률을 계산하면 된다.

이산 확률 변수의 조건부 확률 함수

연속 확률 변수의 조건부 확률 함수

이산 확률 변수의 경우와 달리, 확률 밀도 함수의 함수값은 확률을 의미하지 않기 때문에 조건부 확률을 새로 정의해야 한다.

연속 확률 변수의 조건부 확률 함수도 표본 공간을 ${Y=y}$로 한정 했을 때의 $X$의 확률 함수로 볼 수 있다.