선형대수 전체적인 느낌

강재윤·2024년 9월 10일

매트릭스의 의미는 현재 벡터가 가리키고 있는 세계를 바꾸는 일을 의미한다.

예를 들어보자

차원에서 백터란

백터란 '스케일된 두 백터의 합'으로 이해를 해야한다. 예를 들어보자.

$\begin{bmatrix}1\\3\\ \end{bmatrix}$

라는 행렬은 $1\hat{i} + 3\hat{j}$ 로 표현할 수 있다.
여기서 1은 스칼라값, $\hat{i}$ 는 단위벡터이다.
또한 $\hat{i}$ 의 값은

$\begin{bmatrix}1\\1\\ \end{bmatrix}$ 이 된다. 이는 $\hat{j}$ 도 마찬가지이다.

여기서, $\hat{i}$ , $\hat{j}$ 은 단위벡터이면서, xy 좌표계의 "기저벡터"이다. 그렇다면 기저벡터란 무엇인가.

기저벡터

기저벡터의 정의는
"벡터 공간의 기저는 공간 전체를 생성하는 선형 독립인 벡터의 집합이다."

왜 그런지 살펴보자.
여기서 우리는 1, 3을 스칼라라고 했다. 그리고 이 스칼라들이 스케일하는 실제 대상들이 기저 벡터가 되는 것이다. 그렇다면, 이 스케일하는 값들을 변화시켜본다면 어떻게 될까.

$\begin{bmatrix}-2\\3\\ \end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix}1\\-4\\ \end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix}-5\\-89\\ \end{bmatrix}$ ...

2차원에서 존재하는 모든 벡터들을 표현할 수 있을 것이다.

하지만, 만약 기저벡터가 같은 직선 상에 존재한다면 어떨까? 그렇다면, 벡터의 끝점과 원점을 잇는 한 직선밖에 표현을 할 수 있을 것이다.

예를 들어, $\hat{i}$ 는 $\begin{bmatrix}1\\0\\ \end{bmatrix}$ , $\hat{j}$ 는 $\begin{bmatrix}-1\\0\\ \end{bmatrix}$ 같은 상황 말이다.

결국 어떤 기저벡터를 가지냐에 따라 표현할 수 있는 차원이 달라지는 것이다.
그렇다면, 이 개념을 3차원에 적용시켜 보자.

span

위에 있는 그림은, 두 벡터로 나타낼 수 있는(생성)모든 벡터들을 표현한 차원이다. 이렇게 기저벡터로 표현할 수 있는 모든 공간을 span이라고 한다. 따라서 여기서는 현재 2차원이 span이다.

여기다가 벡터 한개를 선형결합해보자.

그렇다면, 이 세번째 벡터가 두벡터가 표현할 수 없던 차원의 방향성을 가지고 있다면, 3차원의 모든 지점을 표현할 수 있을 것이다. 따라서 3차원이 span이 된다.

선형종속

하지만, 벡터가 만약 이미 있던 2차원의 방향성만을 가지고 있다면(흰색부분 위에 벡터가 존재한다면) 여전히 이 같은 2차원밖에 표현할 수 없을 것이다.
생성에 아무것도 더하지 못하는 것이다. 이런 경우를 우리는 선형 종속이다라고 표현한다.

선형독립

그러면 이제 선형변환을 알아보자.

선형변환은 행렬이다.

우리가 필요한 것은 결국 '두 기저벡터 $\hat{i}$ , $\hat{j}$ 의 도달점' 이다.
위에서 봤듯이, 기저벡터를 스칼라로 스케일해서 벡터들을 표현하는 것이다. 그렇다면, 기저벡터를 변형시킬 수 있다면 어떻게 되는 것일까?

$\begin{bmatrix}-1\\2\\ \end{bmatrix}$ 를 예로 들어보자.

단순히 $\hat{i}$ , $\hat{j}$ 만을 변환한 것이다. 여기서 중요한 것은 '선형'변환이라는 것이다.

선형변환

.

이는 선형변환인가? 아니다. 공간 내 점들이 움직이는 모습을 생각해본다면 점들은 곡선 위를 움직이게 되고, 이는 선형이 아니게 된다. 선형 변환은 2가지 특징을 가진다.

모든 직선은 휘지 않고 직선인 상태를 유지한다.
원점은 제자리에 고정되어 있는다.

이는 곧

여기까지 알아보고, 마저 하던 기저벡터의 변환을 알아보자.

위 사진에서 알 수 있듯이, 선형변환내에서 벡터는 여전히 벡터를 기저벡터를 스칼라로 스케일한 벡터로 표현할 수 있다는 것을 알 수 있다.

위에 대한 식을 보면 다음과 같다. 기저벡터만이 변환된 것이다.

이 식을 통해, 우리는 선형변환을 2x2 매트릭스로 벡터가 어떻게 표현하는지를 알게 되었다.

$\begin{bmatrix}1&3\\-2&0\\ \end{bmatrix}$ 이라면 $\hat{i}$ 은 $\begin{bmatrix}1\\-2\\ \end{bmatrix}$ , $\hat{j}$ 은 $\begin{bmatrix}3\\0\\ \end{bmatrix}$ 으로 변환되는 것을 의미한다.

그렇다면, 이 식을 컴퓨터 비전 관점에서 봐보자.

sheer(전단)

여기 $\begin{bmatrix}1&1\\0&1\\ \end{bmatrix}$ 이라는 매트릭스가 있다. 그렇다면 $\hat{i}$ 은 변환되지 않고, $\hat{j}$ 만 x축으로 1만큼 더해졌다고 볼 수 있다.

시각화하면 이렇다. 추가로

선형종속으로 선형변환하는 경우는 이렇게 될 것이다.

이젠 회전한 후, 전단하는 경우를 살펴보자.

회전 후 전단

이 벡터를

회전시킨 후,

전단하는 것이다. 이에 대한 매트릭스 표현은 다음과 같다.
또한, 이를 합성해서 표현하는 방법은 다음과 같다.

(아랍어 표현으로 오른쪽에서 왼쪽으로 읽어야한다. f(g(x))도 동일한 것처럼)

결국 이 두 식은 같은 의미를 가지는 것이다.

그렇다면, 이 식을 한번 시각화없이 어떻게 변환되는지 유추해보자

$\hat{i}$ 의 이동만을 살펴보면,

그다음, M2의 변환으로 인해,

잘 생각해보자. 중요하다.

왜 첫번째 행렬에서는 앞에 $\hat{i}$ 의 영향만 받았는데, 두번째 선형변환에서는 행렬 전체를 곱하나요?

첫번째 행렬에서는 $\hat{i}$ 의 값만이 존재했다. 하지만 sheer된 이후로 백터는 $\begin{bmatrix}1\\1\\ \end{bmatrix}$ 값을 가지니까, $\hat{j}$ 도 동시에 존재한다고 보는게 맞는 것이다.

$\hat{j}$ 도 동일하게 계산한다. 그래서 우리가 암기한 식이 다음과 같은 것이다.

이에 대한 개념으로 $M_1M_2 = M_2M_1$ 이 성립하는지도 알 수 있다.

그래서 다른 것이다. 이는 동일하게 결합법칙도 증명할 수 있다.

(AB)C = A(BC)
앞에 있는 식이 C변환 -> B변환 -> A변환이고,
뒤에 있는 식도 C변환 -> B변환 -> A변환이기 때문이다.

3차원에서의 선형변환

3차원에서도 달라지는 것은 없다. 기저벡터가 3개로 늘어난 것 뿐이다.

$\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}$ 이 첫번째 열, 두번째 열, 세번째 열로 변하는 것이다. 이를 식으로 바꾸면 다음과 같다.

행렬식

이제는 행렬식이다. 행렬식은 '넓이가 얼마나 스케일되는지'를 나타내는 것이다.

영역의 넓이가 0이 되는 것이다. 이는 매우 중요하다. 해당 행렬에 의한 변환이 차원 자체를 낮추는지 여부를 계산할 수 있기 때문이다.
또한, 행렬식이 0이면 기저벡터들이 선형종속이라는 것도 이를 의미하기 때문이다.