알고리즘 :: 백준 :: DP :: 1912:: 연속합

문제

문제링크

n개의 정수로 이루어진 임의의 수열이 주어진다. 우리는 이 중 연속된 몇 개의 수를 선택해서 구할 수 있는 합 중 가장 큰 합을 구하려고 한다. 단, 수는 한 개 이상 선택해야 한다.

예를 들어서 10, -4, 3, 1, 5, 6, -35, 12, 21, -1 이라는 수열이 주어졌다고 하자. 여기서 정답은 12+21인 33이 정답이 된다.

문제접근

• n의 범위가 10만까지이므로 $O(n)$ 정도로 풀어야한다.
• 은근히 까다로운 문제. i번째 숫자를 선택하느냐, 선택하지 않느냐로 점화식을 전개하는 순간 문제가 수렁에 빠진다.
• 핵심은 1번째 숫자부터 i번째 수까지 연속으로 더하는 것과 i번째 숫자부터 시작하는 것 중 어느것이 이득인지 파악하는 것이다.
• 문제의 예시를 통해 알고리즘을 파악해보자.
  • a[0] = 10 = dp[0] 으로 시작한다.
  • a[1] + dp[0] = 6이 a[1] = -4보다 크므로 더하는게 이득이다.
  • a[2] + dp[1] = 9가 a[1] = 3보다 크므로 더하는게 이득이다.
  • ...
  • a[7] + dp[6] = -14가 a[7] = 12보다 작으므로 여기서 새롭게 시작하는게 이득이다.
  • a[8] + dp[7] = 33 이 a[8] = 21보다 크므로 더하는게 이득이다.
  • a[9] + dp[8] = 32 이 a[9] = -1보다 크므로 더하는게 이득이다.
  • 여기서 dp[0] ~ dp[9]까지 중 가장 큰 값이 33이므로 답을 찾을 수 있다.
• 이번 문제의 교훈은 DP는 꼭 점화식으로만 푸는 건 아니다라는 것이다.

코드

#include <iostream>
using namespace std;

int main() {
	ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(nullptr), cout.tie(nullptr);
	int n;
	cin >> n;
	
	int arr[100001];
	for (int i = 0; i < n; ++i) cin >> arr[i];
	
	int answer, dp[100001];
	fill_n(dp, n, -1000);
	answer = dp[0] = arr[0];
	for (int i = 1; i < n; ++i) {	
		dp[i] = max(dp[i - 1] + arr[i], arr[i]);
		answer = max(answer, dp[i]);
	}
	cout << answer << '\n';
}

다른 풀이 (O(n))

#include <cstdio>
int n, a[100000];
int solve() {
	int ret = -1000, sum = 0, max = -1000;
	for (int i = 0; i < n; ++i) {
		sum += a[i];
		if (sum < 0) sum = 0;
		if (sum > ret) ret = sum;
		if (max < a[i]) max = a[i];
	}
	return (ret == 0) ? max : ret;
}
int main() {
	scanf("%d", &n);
	for(int i = 0; i < n; ++i) scanf("%d", &a[i]);
	printf("%d\n", solve());
}

결과