[2025-1학기] 선형대수학 - 전치 행렬, 역행렬, 확대 행렬

1. 전치 행렬(Transpose Matrix)

전치 행렬은 행렬의 행과 열을 뒤바꾼 것이다. 원래 행렬의 가로줄이 세로줄이 되고, 세로줄이 가로줄이 된다.

# 원래 행렬 A

A = | 1  2  3 |
    | 4  5  6 |

# 전치 행렬 Aᵀ
Aᵀ = | 1  4 |
     | 2  5 |
     | 3  6 |

원래 행렬이 2행 3열로 구성되어 있었다면, 전치 행렬로 바꿀 때는 3행 2열이 된다.

2. 역행렬(Inverse Matrix)

어떤 행렬 A와 곱했을 때 단위 행렬 I가 되는 행렬이 역행렬이며, A⁻¹로 표기한다.

A × A⁻¹ = I  

역행렬은 정사각형 행렬에서만 구할 수 있다. 어떤 경우에는 역행렬이 아예 존재하지 않는 경우도 있는데, 이를 특이 행렬(Singular Matrix)라고 한다.

I = | 1  0 |
    | 0  1 |

여기서 단위 행렬 I는 숫자 1이 대각선에 있고, 나머지는 전부 0인 행렬이다.

3. 확대 행렬(Augmented Matrix)

두 개 이상의 행렬을 하나로 붙인 행렬을 확대 행렬이라 한다. 보통 연립 방정식을 행렬로 풀 때 사용하며, 계수 행렬과 상수항 벡터를 나란히 합친 행렬을 말하는 것이다.

2x +  y = 5  
3x + 4y = 6

위와 같은 연립 방정식이 있다고 했을 때, 계수만 뽑은 것을 계수 행렬이라고 하고 아래와 같이 나타낼 수 있다.

| 2   1 |  
| 3   4 |

등호 오른쪽에 있는 상수항 5와 6은 상수항 벡터에 해당되며, 이를 한 행렬로 합친 것이 확대 행렬이다.

| 2   1   |  5 |  
| 3   4   |  6 |

확대 행렬은 가우스 소거법이나 가우스 조르단 소거법에서 많이 사용한다. 원래의 계수 행렬과 상수항 벡터를 한 번에 다룰 수 있어서 계산이 편해진다.