[2025-1학기] 선형대수학

전치 행렬은 행렬의 행과 열을 뒤바꾼 것이다. 원래 행렬의 가로줄이 세로줄이 되고, 세로줄이 가로줄이 된다.원래 행렬이 2행 3열로 구성되어 있었다면, 전치 행렬로 바꿀 때는 3행 2열이 된다.어떤 행렬 A와 곱했을 때 단위 행렬 I가 되는 행렬이 역행렬이며, A⁻¹로

기본행 연산 할 때 가장 어려웠던 부분이 어떤 것을 먼저 교환하고, 치환하고, 가우스 소거를 적용하는지 찾는 것이었다. 수업 들으면서 교수님께서 매우 빠르게 계산하시는 것을 보고 놀랐던 기억만 남았다.물론 빨리 푸는 게 중요한 것은 아니지만 효율적인 방식으로 접근하는

사다리꼴 행렬은 다음과 같은 조건을 만족한다.모든 피봇은 그 아래 있는 행의 피봇보다 오른쪽에 있다. (계단처럼 오른쪽으로 내려간다.) 피봇이 있는 열의 아래쪽 원소는 모두 0이다.0으로만 이루어진 행은 맨 아래에 위치한다.사다리꼴 행렬의 조건을 모두 만족하면서 추가

벡터(Vector) : 속도, 자기장과 같이 크기와 방향을 갖는 물리적인 양(값)을 의미한다.스칼라(Scalar) : 길이, 면적, 질량과 같이 크기만을 갖는 양(값)을 의미한다. 스칼라는 '실수'이다.단위 벡터(Unit Vector): 크기가 1인 벡터를 말한다.역벡

행렬 : 수 또는 문자를 괄호 () 또는 [] 안에 직사각형의 모양으로 배열한 것을 말한다. 괄호 안의 수나 문자를 그 행렬의 성분 또는 원소라 한다.행의 개수가 m개, 열의 개수가 n개인 행렬을 크기가 m × n 행렬 또는 m × n 차원 행렬이라고 한다.정방(정사

주대각선 성분 이외의 모든 성분이 0인 정방행렬을 대각행렬(Diagonal Matrix)라고 한다.두 대각행렬의 곱도 대각행렬이다.두 행렬의 곱에서 어느 한 행렬이 대각행렬이면, 두 행렬의 곱은 각 행이나 각 열의 배수로 바뀐다.대각행렬이 정칙이기 위한 필요 충분 조건

선형방정식(Linear Equation)은 변수의 최고차 항의 지수가 1이다.연립일차방정식(System of Linear Equation), 선형계(Linear System) : 동일한 변수에 대한 선형방정식의 유한개의 묶음을 말한다.해 집합(Solution Set)

사다리꼴 행렬(Row Echelon Form Matrix)은 다음과 같은 모양과 특징을 가진 행렬이다.모든 원소가 0으로 구성된 행은 맨 아래의 행에 위치시킨다.임의의 연속된 두 행에 대하여, 밑에 있는 행의 선두 운소는 위에 있는 행의 선두 원소보다 오른쪽에 놓여야

동차(질)연립일차방정식(Homogeneous System of Linear Equations) : 선형방정식에서 b=0인 방정식을 말한다.동차선형방정식은 오른쪽의 상수항(절편값)이 모두 0이다. 항상 해가 존재하며, 상수항이 0이 아닌 방정식은 비동차선형방정식(Nonh

선형결합(일차결합)은 벡터들을 어떤 스칼라(수)로 곱하고 더한 것을 말한다. 같은 차원이 여러 벡터들을 실수배하여 더한 식이다.벡터(선형)방정식 : 선형방정식의 계수를 열벡터로 표현하고, 벡터 b를 선형결합으로 나타내는 것을 말한다.선형방정식의 해를 구한다는 것은 열벡

벡터의 내적은 벡터 두 개를 곱해서 하나의 숫자(스칼라)를 만들어내는 연산이다. 직각(수직) 판별 및 정사영 등에 사용된다. 내적은 실수값임을 잊지 말아야 한다.직교(Orthogonal)는 벡터들이 서로 수직이라는 것을 의미하며, 결국 내적이 0이 된다.두 벡터가 이루

각 행에서 원소를 하나씩 고르되, 열이 서로 겹치지 않게 고른다.기본 곱에 부호를 붙이면 행렬식(Determinent)가 된다.전도 : 어떤 큰 자연수가 작은 자연수보다 먼저 나타나 있을 때 전도되었다고 말한다.전도수 : 하나의 순열에서 나타나는 전도의 총 개수를 전도

동차선형방정식 Ax = b는 Det(A)이 0이 아닐 때, 자명한 해를 갖는다.여인수들로 구성된 행렬을 여인수 행렬(Cofactor Matrix)라고 하며, 이 여인수 행렬의 전치행렬을 수반행렬(Adjoint Matrix of A)라고 한다. 기호로는 adj(A)로 나

벡터의 내적은 스칼라 값 1개가 나오지만, 벡터의 외적은 방향과 크기를 가진 또 다른 새로운 벡터를 만들어 낸다.외적은 교환 법칙이 성립하지 않는다. u × v가 0이라면 u, v가 같은 방향이거나 평행한 경우이다. 외적 벡터가 존재하지 않는다.외적과 내적에 대해서 다

벡터공간은(Vector Space)은 영벡터를 포함해야 하며, 덧셈과 스칼라 곱을 자유롭게 할 수 있어야 한다.벡터공간 V에서 V 자신과 {0}은 V의 부분공간들 중 하나이다. 이러한 부분공간을 V의 자명한 부분공간(Trivial Subspace)라고 하며, 특히 {0

기저(Basis) : 해당 공간의 기준점이 되는 부분이다.하나의 벡터공간에 기저가 될 수 있는 집합은 여러 개가 있을 수 있다. 그러나 그 벡터공간의 기저를 이루는 집합들의 각 원소의 개수는 모두 같다.차원은 기저의 개수와 동일하다.표준 기저(Standard Basis

우리는 평면에서 (3, 2)라는 점을 보통 x축 1칸, y축 1칸 기준으로 본다. 나만의 새로운 축을 만들어서 그 축을 기준으로 벡터를 표현하면 좌표가 달라지는 것은 당연하다. 여기서 그 기준이 되는 축이 바로 기저(Basis)이다.기저 B가 표준 기저(가장 기본적으로

1. 선형 방정식과 선형 변환 선형 방정식은 우리가 흔히 보는 식인 이다. 여기서 A는 행렬, x는 입력 벡터, y는 출력 벡터이다. 이걸 함수로 보면 입력 x를 넣으면 결과 y가 나오는 것이라 볼 수 있다. 그래서 이걸 변환(Transformation) 또는 사상

보통은 행렬 A가 벡터 x를 바꾸면, 벡터의 방향과 길이도 바뀐다. 그런데 특정한 벡터들은 방향이 안 바뀌고 길이만 λ배 바뀐다. 이렇게 방향이 안 바뀌는 벡터를 고유 벡터(Eigenvector)라고 하며, 이때 곱해진 숫자 λ를 고유값이라 한다.고유값을 고유치라고도

고유값을 구했을 때 어떤 고유값이 한 번만 나올 수도 있고 여러 번 반복될 수도 있다. 여기서 대수적 중복도(Algebraic Multiplicity)는 그 고유값이 몇 번 나왔는지를 말한다.특성 방정식을 계산할 때 Sarrus 법칙이나 여인수 전개를 사용하는 것도 좋

1. 대각화

내적은 두 벡터가 얼마나 같은 방향을 향하고 있는지를 숫자로 말한 것이다. 우리는 내적을 공부할 때 서로 얼마나 같은 방향인지를 잘 살펴보고, 성분끼리 곱해서 더해야 한다.내적(Inner Product)과 도트 곱(Dot Product) 그리고 스칼라 곱(Scalar

정사영(Orthogonal Projection)은 벡터를 다른 벡터 방향으로 그림자처럼 내려보낸 것을 말한다. 예를 들어, 우리가 벡터 u와 v 두 개를 갖고 있다고 하자. 그런데 u를 v 방향으로 그림자처럼 내리고 싶다고 하면, 여기서 그 그림자 벡터가 바로 정사영

Gram-Schmidt는 서로 직각도 아니고 길이도 제멋대로인 벡터들을 서로 직각인(= 직교) 기준 벡터들로 바꾸는 방법이다.직교 벡터가 훨씬 계산이 쉽고, 정사영도 정확히 되고 수학적으로 안전한 방식이기 때문이다.v1 방향으로 비쳐긴 그림자를 빼면 진짜 새로운 방향