아주 가끔 나는 (시간이 날 때) Modular form과 관련된 수학 공부를 한다. 그것은 미래에, Monstrious Moonshine에 관한 수학 블로그글을 쓰기 위해서이고, 직접적인 이유는 이 영상에 감동을 받았기 때문이다. The bridge between number theory and complex analysis

라마누잔 Tau 함수를 볼 마다, 저 사람은 어쩌다 저런걸 궁금해하게 되었나?라는 생각이 든다.

아, 먼저 라마누잔 Tau 함수에 대해서 간단한 소개를 해보자.

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현대 Modular form이론의 출발점은 어디에 있을까? 누군가는 분명 라마누잔의 Tau 함수를 이야기 할 것이다.

라마누잔의 Tau함수이야기를 하기전에, 이 수식의 형태가 하늘에서 뚝 떨어진 것은 아님은 명시하고 가도록 하겠다.

$\prod_{n>0} (1-q^n)$은 오일러에 의해서 연구되었으며, 여러 수학자들에 의해서 라마누잔이 궁금해했던 대상 자체는 이미 궁금해할 만한 것이었다.

그러나, 그가 궁금해 하던것은 끔찍한 것 이었다. 바로, $q \prod_{n>0} (1-q^n)^{24}$의 계수이다. (아니, 저걸 계산할 생각을 한다고? 24번 거듭제곱하는게 ㅈ으로 보이나? 게다가 개쩌는 관찰을 해? )

라마누잔 $\tau$함수의 계수는 여기서 찾아 볼수 있다. https://oeis.org/A000594
(아래의 글은 내가 노가다한게 아니라, 주어진 수열이용해 GPT4로 작성하였는데, 오류가 있으면 알려주길 바란다.) 그러니까, 처음 라마누잔 $\tau$의 처음 27개 항은 다음과 같다.
$\Delta(z) = q - 24q^2 + 252q^3 - 1472q^4 + 4830q^5 - 6048q^6 - 16744q^7 + 84480q^8 - 113643q^9 - 115920q^{10} + 534612q^{11} - 370944q^{12} - 577738q^{13} + 401856q^{14} + 1217160q^{15} + 987136q^{16} - 6905934q^{17} + 2727432q^{18} + 10661420q^{19} - 7109760q^{20} - 4219488q^{21} - 12830688q^{22} + 18643272q^{23} + 21288960q^{24} - 25499225q^{25} + 13865712q^{26} - 73279080q^{27} +\ldots$

그리고, 라마누잔은 계수들을 직접 계산해보고 엄청난 것을 발견하였다. 그러니까,
6번째 계수, -6048이 2번째 계수, -24와 3번째 계수,252의 곱, $-24\times 252=-6048$이라는 것을 발견했다.

GPT4가 작성한 27개의 계수를 보고 알 수 있는 것들

• 2번째 계수(-24)와 3번째 계수(252)의 곱은 6번째 계수(-6048)과 같습니다.
• 2번째 계수(-24)와 5번째 계수(4830)의 곱은 10번째 계수(-115920)와 같습니다.
• 3번째 계수(252)와 4번째 계수(-1472)의 곱은 12번째 계수(-370944)와 같습니다.
• 2번째 계수(-24)와 7번째 계수(-16744)의 곱은 14번째 계수(401856)와 같습니다.
• 3번째 계수(252)와 5번째 계수(4830)의 곱은 15번째 계수(1217160)와 같습니다.
• 4번째 계수(-1472)와 5번째 계수(4830)의 곱은 20번째 계수(-7109760)와 같습니다.
• 2번째 계수(-24)와 11번째 계수(534612)의 곱은 22번째 계수(-12830688)와 같습니다.
• 3번째 계수(252)와 7번째 계수(-16744)의 곱은 21번째 계수(-4219488)와 같습니다.
• 2번째 계수(-24)와 13번째 계수(-577738)의 곱은 26번째 계수(13865712)와 같습니다.

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• 7번째 계수(-16744)와 4번째 계수(-1472)의 곱은 28번째 계수와 같아야 합니다.
  엥? 28번째 계수는 아예 안 알려 줬는데? (물론, 저런 패턴 자체는 이미 오래전에 알려져 있는 것이긴 하지만,) GPT4 매우 무섭군 ㄷㄷ

그리고 그는, 일반적으로 두 서로소 $n,m$에 대해서 $n\times m$번째 계수는 $n$번째 계수와 $m$번째 계수의 곱이라고 추측하였다. 이것이 라마누잔의 추측 중 하나이고, 나중에 모두 증명되었다.

이 놀라운 특징는 현대 Modular form이론의 동기이다. 그러니까, Modular form이란 라마누잔의 $\tau$함수와 같은 것을 의미한다.

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Modular Form이 왜 중요한데?

필자는 그 이유를 설명하기에는 수학적으로 매우 미숙하다. 그러나, Modular form이 (해석적인 것을 넘어서는) 매우 강력한 성질을 가지고 있다는 것 정도는 공감한다.

라마누잔이 던진 떡밥은 20세기 수학에서 너무나 중요한 위치를 차지하였고 그렇게 발전한 수학의 위대한 결과중 하나가 페르마의 마지막 정리의 증명이다.

페르마의 마지막 정리(Fermat's Last Theorem, FLT)
$x^n+y^n=z^n\ (n\ge3)$에는 자명하지 않은해의 쌍$(x,y,z), \ xyz\ne0$이 존재하지 않는다.

페르마 마지막 정리 증명 논문의 Introduction 중에서

A well known conjecture which grew out of the work of Shimura and Taniyama in the 1950's and 1960's asserts that every elliptic curve over $\mathbb{Q}$ is modular. ... Frey made remarkable observation that this conjecture should imply Fermat's Last THeorem.

그리고 저 추측의 골자는 다음과 같다. 원래, 모듈러함수는 타원곡선에 대응된다. 그런데, 임의의 타원곡선이 주어질때, 그것이 모듈러 함수로 부터 나온 것인지는 불분명하다. 이게 강력하다는 느낌을 전달하려면, 저기서 말하는 대응이라는 것이 뭔지 알아야한다.

그러니까, 모듈러 함수 계수와 타원곡선의 (유리수) 해의 대응관계라서 전자로 후자를 알아내는 것이 그 반대 방향보다 압도적을 쉽다.(그니까, 계수는 계산해서 구하지만, 해를 구하려면 그냥 브루투포스로 대입해서 끔찍한 방식으로 구해야한다.) 그래서 어떤 타원곡선이 모듈러 함수에 대응된다는 것은 (해를 구하지 않고도, 해에 대한 정보를 얻을 수 있으므로) 엄청나게 귀한 일이다.

그러니, 모듈러 함수와 타원 곡선의 대응은 (반대 방향이) 엄청나게 비자명한 것인데, 그게 맞다고 추측한 것의씨앗이 바로, 라마누잔의 $\tau$함수에 대한 관찰이다.

생각해보자, (고통스러운?) 계산을 해서 계수들의 패턴을 직관적으로 찾아낸다는게... 무섭지 않은가? 내가 볼때는 수학의 본질은 잘 짜여진 이론이 아니라, 날것 그대로의 패턴 인듯 하다.

마치며

사실 라마누잔 추측은... 아직도 살아있다. (원래 수학자들은, 질문을 부풀리기를 참 좋아한다...) 그러니까, 여기서 언급한 라마누잔의 관찰은 이미 증명되었고, 매우 관련된 더 궁금한 것을 현대 수학자들이 라마누잔의 추측이라고 부르고 있는 셈이다.

그럼 이만. 아직도, 살아있는 라마누잔 보며 글을 마친다.

극소 L - 함수에 관한 라마누잔 추측은 참인가? | 최도훈(고려대학교)