Note: 썸네일 출처는 여기. 다만, 나는 저분과 전혀 다른 종류의 글을 적을 것이라 이 글과 썸네일을 제외한 직접적인 관련은 없음.

Prove: If both $X$, $Y$ are connected, second countable and locally Euclidean, and $f : X \to Y$ is bijective and continuous, then $f$ is a homeomorphism. -어떤 강의록의 연습문제에서 본 문제.

나는 위 문제를 1 주일을 고민했지만, 해결할 수 없었다. 저기에 왜? 저 문제에 connected 조건이 있는지 second countable이 있는지 예상조차되지 않았다.

그리고, 나는 이 문제가 위상 다양체에 차원을 도입해야하는 이유를 간접적으로 알려주는 문제임을 알게 되었다. 그러니까, 위 문제를 다음과 같은 훨씬 쉬운 문제로 바꿀 수 있다.

Prove : If both $X$, $Y$ are connected, second countable and locally Euclidean of the same dimension and $f : X \to Y$ is bijective and continuous, then $f$ is a homeomorphism.

쉬운 문제로 바꾸는 과정과 쉬워진 문제의 해법은 여기에 있으니, 그건 여기서는 다루지 않겠다.

다만, 저기서 나오는 invariance of domain theorem과 Topology 개념들에 대한 리뷰 정도는 적으면서 글을 적고자는 한다.

차원의 본질에 대한 고민

차원은 벡터공간의 기저의 개수이다.

차원은 대수학적 개념이다.

그래서 ... $\mathbb{R}^n$의 차원은 $n$이다. 한편, 차원은 기하학적 개념이다. 그러니까, 서로다른 $n$과 $m$에 대해서 $\mathbb{R}^n$과 $\mathbb{R}^m$은 (자명하지 않지만) 위상적으로 다르다.

(놀랍게도) 차원은 위상적 개념이기도 하다.

그리고 이전에 말한 나의 경험처럼 (어려운 문제에) 차원을 도입하면 쉬운 문제로 바뀐다.

그러니까 차원의 도입은 문제 해결에 매우 유용하다.

왜냐하면 차원이 도입되면 엄청나게 강력한 정리들을 사용할 수 있기 때문이다. 예를들어서, 나의 경험에서는 아래의 정리를 사용하였다.

Brouwer invariance of domain theorem : Let $U$ be an open subset of $\mathbb{R}^n$, and let $f:U\to \mathbb{R}^n$ be a continous injective map. Then $f(U)$ is also open.

다시, 차원이 필요한 순간.

나는 문제 해결을 마무리하기 위해 Invariance of domain의 증명을 찾아보았다. 그것은 어려운 문제에 차원을 도입하기 위한 것이 아니었다. 차원을 도입하여 얻은 간단한 연습 문제를 해결하기 위한 것이었다.

차원의 도입은 여전히 유용하다. 예를 들어, 이 문서에서도 이런 말을 한다.

The reason I was looking for a proof of the invariance of domain theorem was that it comes up in the very last stage of the solution to Hilbert’s fifth problem, namely to establish the following fact:
(Hilbert’s fifth problem) Every locally Euclidean group is isomorphic to a Lie group.

그러니까, 힐베르트 5번 문제를 해결하는 데에도 차원의 도입(Domain invariance를 적용할 수 있는 쉬운 문제로 문제를 단순화하는 과정)이 아이디어로 사용되었다는 것이다.

Deep dive to Lie...

그렇다면, 이제 궁금증이 더욱 생긴다. 그렇다면 힐베르트 5번 문제는 뭐지? 그리고 어떻게 이 문제를 invariance of domain을 사용할 수 있는 쉬운 문제로 바꾸지?

극단적으로 단순히 말해서, Topological group이 Lie Group일 필요충분조건을 제시하라는 문제인 것이다. (힐베르트 5번 문제가 무엇인지는 완전히 합의가 되지 않았다고 한다.) 이게 무슨 의미인지, 간략히 소개하고자한다.

History of Lie group

그렇다면, Lie group은 어디서부터 온 것 일까?

리 군(Lie group)은 미분 방정식연구에서 나온 개념이다. 예를들어서, 다음과 같은 미분방정식을 생각하자.

The heat equation :
$u_{xx} = u_t$.

만약, $x,t,u$를 변수변환하여 $x_1,t_1,v$으로 바꾸어도 열방정식$v_{x_1x_1} = v_{t_1}$이 성립하면, 이 변수 변환이 stable하다고 정의하자. Lie는 이러한 변수변환들의 모임을 stability group이라고 불렀다.
다음은 Stable transformation of the heat equation의 예시이다.

$u(x,t) = \frac{1}{(1+4st)^{1/2}} e^{\frac{-sx^2}{1+4st}}f(\frac{x}{1+4st},\frac{t}{1+4st})$, where $f(x,t)$ is a solution of the heat equation.

그렇다면, 어떻게 group이 미분방정식의 대칭성을 조사하는데 이용되는 걸까?