Spin group

김록기·2025년 2월 20일

디렉과 스피너

물리학 역사에서 스피너가 중요한 개념으로 자리 잡게 된 계기는 바로 디렉 방정식의 발견이다.

필자는 물리학과 거리가 멀기 때문에, 여기서는 전자의 스핀 양자화 현상을 직관적으로 이해할 수 있도록 자석 수리검의 예시를 들어 설명하고자 한다.

전자는 자석이다 고로 전자는 회전한다.

실제로는 회전하지 않는다. 회전한다카면 너무 빨리 (상대성이론이 말하는 속도제한을 아득히 초월하여) 회전한다카드라.

회전하는 전자를 상상해보자. 일반적으로 전하를 가진 입자는 궤도 각운동량에 따라 자석처럼 행동하는 특성이 있다. 즉, 회전하는 전하가 자기장을 만들어내는 고전적인 원리를 통해, 입자는 자기모멘트를 가지게 된다. 전자는 실제로 물리적으로 회전하지 않지만, 이 회전하는 것처럼 상상하는 것은 외부에 자기장을 발산한다는 사실을 직관적으로 이해하는 데 큰 도움이 된다.

이동하는 전자는 사실 수리검이다.

이제 매우 단순한 상상을 해보자. 자석 수리검을 생각하자. 뾰족한 부분이 N극 또는 S극이라 하고, 반대편은 반대극이라 상상하자. 일반적인 물체라면 던진 힘과 각도에 따라 도착 지점이 다양할 텐데, 여기서는 이 자석 수리검을 완전히 똑바로 던진다고 하자. 만약 자기장이 일정하게 작용하는 장치 내에서 자석의 극(던진 방향을 기준으로 N 또는 S)이 미리 결정된다면, 자석수리검 언제나 정해진 두 지점 중 하나에 도달할 것이다.

실제로, 전자를 쏘는 경우를 실험해보니 전자는 마치 자석 수리검을 던진 것 처럼 항상 두 곳 중 하나에 도달하였다. 그러나 이 현상은 매우 비직관적이다. 사람들은 전자를 단순한 공처럼 생각했기 때문에, 이동 방향과 극이 정렬하는 수리검과 같은 현상을 기대하기 어려웠다. 전자는 이미 회전하고 있었을 것이므로 던진 방향과 (자석의) 극이 랜덤하다고 생각하는게 맞지 않을까?

다시말해서, 만약 전자가 이동 방향과 무관하게 단순히 회전한다고 가정한다면, 이산적인 검출 결과를 설명할 수 없다.
주의, 내 글은 전자의 회전축이 항상 이동방향과 평행하단 말 따위를 하려는 것은 아니다. 이산적인 검출 결과가 이상하단 말을 하고 싶은 것임.

스피너는 양자화된 스핀을 설명하기 위한 도구로 이해된다.

디렉 방정식 이전에도 스핀 문제는 이미 화두에 올랐습니다. 1922년의 슈턴–게르라흐 실험에서 전자와 같은 입자들이 예상치 못한 이산적인 궤적을 보이면서, 이들의 각운동량이 양자화되어 있다는 이상한 결과가 나타났습니다. 이러한 실험 결과에 기반해, 1925년경에 오토 깁스미트와 알렉산더 울렌벳 등은 전자의 고유한 회전, 즉 스핀이라는 개념을 제안했습니다. 그러나 당시에는 전자의 스핀을 완전히 설명할 수 있는 이론적 틀이 부족했고, 이러한 한계를 극복하기 위해 디렉 방정식이 등장하게 된 것입니다.

저 전자 던지기 실험의 이름은 슈턴–게르라흐 실험이다. 이것은 전자의 스핀이 양자화되어 있다는 기존의 예측에 대한 실험적 검증이다. 그 당시 학자들은 이미 양자역학에 익숙해져 있었기에 전자의 스핀이 양자화되어 있다는 이론과 실험 결과에 큰 불편함을 느끼지 않았을지도 모르지만, 실제로 그 스핀을 기술할 수 있는 방정식은 존재하지 않았다. 이제 디렉 방정식의 등장이 이 공백을 메워, 전자의 스핀과 반물질의 존재 등 양자역학적 현상을 정량적으로 설명할 수 있게 되었다.

스피너는 수리검 벡터를 뜻한다. (그러나 아니다.)

다시 단순히 회전하는 전자를 상상해보자. 전자의 회전 상태를 표현하려면, 전자의 회전축을 나타내는 벡터를 그리고, 그 벡터의 길이로 회전 속도를 표시하면 될 것이다. 이 관점에서 슈턴–게르라흐 실험을 바라보면, "전자는 언제나 이동 방향을 회전축으로 삼고 회전한다"라는, 어쩌면 이상한 해석에 빠질 수도 있다. 그러나 이것은 올바른 해석이 아니다.

사실, 전자의 회전 상태를 단순한 벡터로 기술하는 것은 근본적으로 불가능하다. 전자가 회전하는 모습을 단순히 수리검처럼 생각하는 것은 직관적으로 편리하지만, 전자의 회전 상태를 정확히 기술하기 위해서는 단순 벡터 이상의 수학적 구조, 즉 스피너라는 개념이 필요하다.

어쨌든, 전자의 회전에서 "양자화된" 물리량이 도출될 수 있다는 사실은 실험을 통해 분명해진다. 오늘날 이를 전자의 스핀이라고 부른다. 당시 물리학자들은 이 사건을 해석하기 위해, 이미 익숙했던 슈뢰딩거 방정식에서 스핀을 기술하는 방정식을 도출하는 것이 당연한 수순으로 여겨졌지만, 그 과정은 결코 쉬운 일이 아니었다. 그 이유는 전자의 회전이 단순한 벡터가 아니라, 스피너라는 특별한 수학적 대상으로 이해되어야만 했기 때문이다.

디렉 방정식은 바로 이 점을 명확히 보여준다. 단순한 물리적 벡터로는 전자의 회전을 나타내는 양자 상태를 완벽하게 기술할 수 없음을 드러낸 것이다. 디렉은 방정식을 유도하는 과정에서 한계에 부딪혔고, 그때 돌파구로 "아, 이 숫자들은 사실 행렬이구나!"라는 통찰을 얻었다. 간략히 살펴보자.

디렉방정식 그리고 스피너

디렉은 상대론적 에너지-운동량 관계 $E^2 = p^2c^2 + m^2c^4$ 를 선형화하여, 시간과 공간에 대해 1차 미분으로 구성된 방정식을 만들고자 했다. (시간은 단순히 시공간에서 하나의 축이므로, 시간과 공간이 같은 차수 미분인 방정식이 상대성이론 관점에선 자연스럽다.) 즉, 전자 에너지를

E = \boldsymbol{\alpha} \cdot \mathbf{p} \, c + \beta m c^2

와 같이 선형적으로 표현하려 했다. 여기서 $\boldsymbol{\alpha}$ 와 $\beta$ 는 상수 계수로 도입되었는데, 만약 이들이 단순한 숫자(스칼라)라면 위 식을 제곱했을 때 $E^2$ 가 원래의 에너지-운동량 관계와 일치해야 한다.

이 과정을 전개하면,

E^2 = (\boldsymbol{\alpha} \cdot \mathbf{p} \, c + \beta m c^2)^2

가 되어, 이를 $E^2 = p^2c^2 + m^2c^4$ 와 같게 만들기 위해서는 $\boldsymbol{\alpha}$ 와 $\beta$ 가 반드시 다음과 같은 조건을 만족하는 것이어야 한다는 결론에 이르게 된다.

$\alpha_i^2 = 1$ (각각의 $\alpha$ 성분의 제곱은 항등원)
$\beta^2 = 1$
$\alpha_i$ 와 $\alpha_j$ ( $i \neq j$ )는 서로 반(anti)교환: $\alpha_i \alpha_j + \alpha_j \alpha_i = 0$
$\alpha_i$ 와 $\beta$ 역시 반(anti)교환: $\alpha_i \beta + \beta \alpha_i = 0$

이러한 조건들은 단순한 스칼라 값으로는 만족시킬 수 없으며, 반드시 행렬을 도입해야 함을 의미한다. 디렉은 바로 이 점에서 “아, 이 숫자들은 사실 행렬이구나!”라는 통찰을 얻어, 4×4 행렬(감마 행렬)을 사용하고, 그 결과 4성분의 파동함수(스피너값을 가지는 파동함수)를 도입하게 된다.

이렇게 함으로써, 디렉 방정식은 전자의 회전 상태(고전적인 회전 상태를 나타내는 단순한 벡터가 아니라)를 기술하기 위해 단순한 벡터로는 불충분하다는 것을 명확히 보여준다. 전자의 회전 상태를 회전축과 회전속도로 표현하는 단순한 기하학적 벡터만으로는 전자의 양자적 회전 특성을 완벽하게 설명할 수 없었고, 그 대신 스피너 가 필요했던 것이다. 여기서, 스피너는 단순히 4성분으로 구성된 실수 순서쌍인데, 보통 복소수 순서쌍을 선호함.

(엥? 스피너는 걍 복소수 순서쌍? 사실 그러함.)

이 돌파구는 전자의 스핀이라는 고유한 양자화된 물리량을 상대론적으로 기술할 수 있게 만들었으며, 동시에 반물질의 존재도 예측하는 결과로 이어졌다.

표현론과 입자물리

양자 상태는 언제나 힐베르트 공간의 벡터로 표현된다는 전제 하에, 입자란 무엇인가를 설명해보도록 하겠다.

한 입자의 양자 상태는 그 힐베르트 공간의 한 원소로 표현되며, 이 상태는 그 입자의 모든 물리적 특성(예: 에너지, 운동량, 스핀 등)을 담고 있다.

위의 말이 참이되게 하려면, 구체적으로 물리적 특성 정보를 담는 힐베르트 공간을 구성하는 방법이 필요하다. 여기서 표현론은 그 공백을 매꾸어 주는 중요한 도구로 사용된다.

가장 기초적인 아이디어는 이러하다. 모든 물리적 특성은 입자 상태의 대칭성으로부터 기술되어야 한다. 예를 들어, 운동량은 입자 상태의 평행이동(Translation) 대칭성에 의해 결정된다. 쉽게 말해서, 평행이동을 수행하면 운동량이 보존되며, 이 보존 법칙을 만들어내는 대칭성이 바로 평행이동이다. 이는 물리량 자체를 대칭성으로부터 정의하는 아이디어의 근본적인 본질을 보여준다.

뇌터의 정리(Noether's theorem)는 모든 연속 대칭성이 보존 법칙과 대응한다는 강력한 원리를 제시한다. 구체적으로, 물리계의 행동(액션)이 어떤 연속 대칭성을 갖는다면, 그 대칭성에 대응하는 보존 법칙이 반드시 존재한다. 예를 들어,

평행이동(Translation) 대칭성은 운동량 보존을,
시간 평행이동 대칭성은 에너지 보존을,
회전 대칭성은 각운동량 보존을 보장한다.

우리가 전통적인 뉴턴적 사고에서는 에너지나 운동량과 같은 물리량으로부터 대칭성을 관찰하고 이해해왔다. 그러나 여기서는 그 순서를 거꾸로 하여, 대칭성을 출발점으로 삼고, 그 대칭성으로부터 물리량을 정의하는 방법을 모색하고자 한다. 즉, 입자 상태의 대칭성(예: 평행이동, 회전 등)을 근본 원리로 삼아, 그에 따른 보존 법칙과 물리량(운동량, 에너지, 스핀 등)이 어떻게 자연스럽게 도출되는지를 설명하고자 표현론이 필요하다는 것이다.

중력을 제외하고 생각해보면 우리의 세상을 지배하는 대칭성은 로렌츠변환과 평행이동(Translation)이다. 따라서, 우리는 푸엥카레 군 (단순히 로렌츠변환과 평행이동을 포함하는 군으로, $G =SO(1,3) \ltimes \mathbb{R}^4$ )을 생각할 것이다.

구체적으로 말해서, 우리는 푸앵카레 군이 힐베르트 공간 $\mathcal{H}$ 의 사영 공간 $P\mathcal{H}$ 위에서 작용하는 것을 고려하자는 것이다. 여기서 $P\mathcal{H}$ 란, 힐베르트 공간의 벡터들이 전역적인 복소수 배수에 대해 동등하게 취급되어 '물리적 상태'를 나타내는 공간을 의미한다.

물리 상태 공간 $P\mathcal{H}$ 위에서 푸앵카레 군의 작용은 대칭성을 기술하는 기본 도구이다. 단순히 말해서, 모든 $g\in G$ 그리고 모든 $|v \rangle \in \mathcal{H}$ 에 대해서 $g\cdot |v \rangle=\lambda|v\rangle$ 인 경우 (다시 말해서 $P\mathcal{H}$ 기준으로는 불변인 경우)는 우리의 양자상태가 $G$ 에 대한 대칭성이 있음을 알 수 있다.

실제 이론은 $G$ 의 부분군에 대한 대칭을 통해서 기술되는데, 예를 들어 평행이동(Translation) 대칭성을 논할 때는, $\mathbb{R}^4$ 와 동형(isomorphic)인 부분군, 즉 4차원 평행이동군 $T(4)={I}\times \mathbb{R}^4 \leq G$ 를 고려한다. 이 평행이동군은 시공간의 모든 평행이동을 포함하며, 그 작용을 통해 힐베르트 공간 $\mathcal{H}$ 의 양자 상태들이 어떻게 변하는지를 규명할 수 있다.

구체적으로 말하면, 모든 $g \in T(4)$ 와 모든 $|v\rangle \in \mathcal{H}$ 에 대해, 만약 $g \cdot |v\rangle = \lambda |v\rangle$ (단, $\lambda$ 는 복소수 스칼라)라면, 이는 $|v\rangle$ 가 평행이동 대칭성을 보존하는 상태임을 의미한다. 이러한 상태들은 평행이동 작용에 대해 프로젝티브하게 불변이므로, 뇌터의 정리에 의해 보존되는 물리량이 존재하는데, 그것의 이름이 4-운동량이다.

4-운동량은 시공간의 평행이동 대칭성에 의해 보존되는 물리량으로, 시간 평행이동과 공간 평행이동에 대응하여 에너지와 3-운동량을 하나로 묶은 4차원 벡터이다. 구체적으로, 자연 단위계에서는 $P^\mu = (E,\, \vec{p})$
와 같이 표현되며, 여기서 $E$ 는 에너지, $\vec{p}$ 는 운동량을 나타낸다. 뇌터의 정리에 따르면, 시공간 전체의 평행이동(즉, 4-차원 평행이동) 대칭성에 대응하는 보존 법칙은 바로 이 4-운동량의 보존이다.

그럼 그 힐베르트 공간이 대체 뭘까? 우리가 흔히 "모든 양자 상태가 하나의 거대한 힐베르트 공간에 담긴다"라고 이야기하지만, 실제 계산과 해석에서 우리가 사용하는 것은 Lie 군의 불가약 표현으로 구성된, 보다 구조화된 표현 공간이다. 이 표현 공간은 대칭군의 작용 아래서 물리 상태들이 어떻게 변하는지를 명확하게 규정해준다.

그리고 스피너는 단순히 Spin group의 비가약표현의 표현공간의 원소로 정의된다.

Universal Covering

여기서 수학이야기로 돌아가고자 한다.

Lie group의 가장 기초적인 예시는 $U(1)$ 로, 이는 다음과 같이 정의된다.

$U(1) = \{ z \in \mathbb{C} \mid |z| = 1 \}.$

여기서 군의 연산은 복소수의 곱셈으로 주어진다. $U(1)$ 는 원 위의 모든 점들로 구성되며, 이는 매끄러운 다양체로서의 구조를 가지고 있으므로 Lie group의 기본적인 예시로 자주 사용된다.

$U(1)$ 의 group으로서의 identity는 단순히 $1\in \mathbb{C}$ 인데,

여기서 Tangent Space를 그린다면 다음과 같다.

이때, 우리는 Tangent Space의 원소를 다시 $U(1)$ 으로 대응시키는 함수를 생각할 수 있는데, 이는 다음과 같다.

영상링크

수식으로는 그냥 실수 $\theta$ 를 $e^{i\theta}$ 에 대응시킨다. 이 대응은 Universal covering의 매우 좋은 예시이고, universer covering를 소개하기위해서 위의 그림을 가지고 왔다.

Covering space의 정의를 먼저 확인해보자.

Covering space

$X$ 를 위상 공간이라고 하자. $X$ 의 '''덮개(covering)'''란 연속 사상

\pi : \tilde{X} \rightarrow X

를 말하는데, 이는 $X$ 의 임의의 점 $x \in X$ 에 대해 다음 조건을 만족해야 한다.

각 $x \in X$ 에 대해, $x$ 의 어떤 열린 이웃 $U_x$ 와 어떤 이산 공간 $D_x$ 가 존재하여 $\pi^{-1}(U_x)= \bigsqcup_{d \in D_x} V_d$ 와 같이 표현되며, 여기서 각 $V_d$ 는 열린 집합으로서, $\pi$ 를 $V_d$ 에 제한한 사상 $\pi|_{V_d}:V_d \rightarrow U_x$ 가 위상동형(즉, homeomorphism)가 된다.

이때, 각 열린 집합 $V_d$ 를 '''시트(sheet)'''라고 부른다. 만약 $U_x$ 가 연결되어 있다면, 시트들은 전단사에 대해 유일하게 결정된다.

또한, 각 $x \in X$ 에 대해 $\pi^{-1}(x)$ 를 $x$ 의 '''섬유(fiber)'''라고 부른다. 만약 $X$ 가 연결되어 있고 ( $\tilde{X}$ 가 공집합이 아니라면), $\pi$ 는 surjective임이 보이며, 모든 $x \in X$ 에 대해 $D_x$ 의 원소의 개수가 일정한데, 이 값을 덮개의 '''차수(degree)'''라고 한다.

만약 $\tilde{X}$ 가 경로 연결(path-connected)이라면, 덮개 $\pi : \tilde{X} \rightarrow X$ 를 '''경로 연결 덮개(path-connected covering)'''라고 부른다.

예시 확인

우리의 함수

\theta \mapsto e^{i\theta}

는 실수 $\mathbb{R}$ 의 값을 $S^1$ 위에 덮어씌우는(covering) 사상이다. 이 사상은 마치 초록색 회오리처럼 말려 있는 실이 $S^1$ 위에 투영되는 모양을 떠올리게 한다. 그래서 정의에서 덮개 맵을 나타내는 기호로 $\pi$ 를 사용한다.

이제, $S^1$ 의 어떤 열린 구간, 예를 들어 $(-1,1)$ 의 전상을 생각해보자. 즉,

\pi^{-1}((-1,1))

를 상상하면, 회오리가 여러 조각으로 나누어져 있는 모습을 볼 수 있다. 이 각각의 조각을 sheet라고 부르며, 각 sheet는 $(-1,1)$ 과 위상동형(즉, 모양이 같음)입니다.

또한, 이러한 sheet의 개수는 무한(더 정확히는 가산 무한)하므로, 덮개의 차수(degree)는 가산 무한이다.

마지막으로, 초록색 회오리처럼 말려 있는 실(덮개공간)은 경로 연결(path-connected)되어 있으므로, 이 덮개 맵은 경로 연결 덮개(path-connected covering) 이다. 게다가 우리의 예시는 universal covering이다. 이제 universer covering의 정의를 확인하자.

정의

먼저,

p: \tilde{X} \to X

를 단순 연결(즉, 경로 연결되고 모든 닫힌 경로가 수축될 수 있는)인 덮개라고 하자. 만약

\beta: E \to X

가 또 다른 단순 연결 덮개라면, 유일하게 결정되는 위상동형(즉, homeomorphism)

\alpha: \tilde{X} \to E

가 존재하여, 다음과 같은 관계가 성립한다:

\beta \circ \alpha = p.

이 관계를 설명하는 다이어그램은 다음과 같이 나타낼 수 있다:

\begin{array}{ccc} \tilde{X} & \xrightarrow{\alpha} & E \\ & \searrow_{p} & \downarrow_{\beta} \\ & & X \end{array}

즉, $\tilde{X}$ 에서 $E$ 로 가는 $\alpha$ 를 거친 후 $X$ 로 가는 $\beta$ 의 합성은, 바로 $\tilde{X}$ 에서 $X$ 로 가는 $p$ 와 동일하다.

이 의미는, 단순 연결 덮개인 $p$ 가, 다른 모든 단순 연결 덮개와 동치(equivalence) 관계에 있어서 유일하게 결정됨을 나타내며, 이러한 이유로 $p$ 를 공간 $X$ 의 '''유니버설 커버링(universal covering)'''이라고 부른다.

유니버설 커버링 정의 읽기

유니버설 커버링의 정의를 이해하려면, 먼저 단순 연결성부터 확실하게 알고가야한다.

단순 연결성은 아래 두 가지 예시를 비교해보면 쉽게 이해할 수 있다.

$\mathbb{R} \to S^1$ 의 경우
- 여기서 $\mathbb{R}$ 은 단순 연결. 즉, $\mathbb{R}$ 에서는 모든 닫힌 경로가 수축될 수 있다.
$S^1 \to S^1$ 의 경우
- 여기서 도메인인 $S^1$ 은 단순 연결이 아니다. $S^1$ 에는 수축되지 않는 닫힌 경로가 존재한다.
- 그러므로 이 덮개 맵은 단순 연결 덮개가 아니며, 유니버설 커버링의 조건을 만족하지 않는다.
- 그러나 $z\mapsto z^k$ 와 같이 함수를 만들면 (단순은 아님) 연결 덥개이긴함.

즉, 단순 연결 덮개가 유일하게 결정되어야 한다는 정의에 따르면, $\mathbb{R} \to S^1$ 는 유니버설 커버링으로 인정되지만, $S^1 \to S^1$ 는 그렇지 않다는 것을 알 수 있다.

단순 연결 덮개로서의 유니버설 커버링 이해

만약 $X$ 가 경로 연결, 국소 경로 연결, 그리고 세미로컬 단순 연결 조건을 만족한다면, $X$ 의 단순 연결 덮개가 존재하며, 이 경우 모든 단순 연결 덮개는 서로 동치(즉, 위상동형에 의해 동일한 위상적 구조를 가짐)이다.

즉, $X$ 의 단순 연결 덮개는 유일하다, 그게, 이를 유니버설 커버링(universal covering)이라고 부르는 이유다.

다만, 일반적으로 $X$ 에 연결성이 없으면 단순연결덮개가 동치라는 보장이 없다. 서로 다른 위상을 가진 단순 연결 덮개가 존재하는 경우 유니버설 커버링이 없다고 표현한다.

복소 곡면으로서 유니버설 커버링 이해
역사적으로, 유니버설 커버링 개념은 리만이 복소해석학에서 다가 함수 (Multivalued function) 문제를 우아하게 해결하기 위해 도입한 아이디어에서 비롯된다. 복소 함수의 정의역을 연속적으로 확장할 때, 서로 다른 경로를 따라 확장을 하면 각기 다른 분기(branch)가 나타나는 문제가 발생한다. 리만은 이 문제를 해결하기 위해, 원래의 함수 정의역 대신 복수의 시트(sheet)를 가진 덮개공간(Covering Space)을 구성하여, 각 점 위에 함수의 모든 분기를 동시에 담아내는 방식을 제안했다.

예를들어서 로그 함수 ( $f(x)=\ln(x)$ )를 복소수 영역으로 확장하여 정의하는 문제를 고려하자. 실제로 로그함수의 정의역을 확장하는 방법은 단순히 복소평면(정확히는 원점을 제외한)에서 $1\in \mathbb{C}$ 에서 출발하여 $1/z$ 를 경로적분하여 얻는다.

그리고 문제는 이러한 정의가 잘 동작하지는 않는다는 것이다. 예를 들어서 복소로그함수 $\log(z)$ 에서 $\log(i)$ 를 계산하기 위해서, 단위원을 따라서 반 바퀴도는 경로를 생각하자. 그러면,

$\log(i) := \int_{\Gamma} \frac{1}{s} ds, \ \Gamma:[0,\pi]\to \mathbb{C},\quad \Gamma(\theta)=e^{i\theta}$

경로함수 미분은

\Gamma'(\theta)=\frac{d}{d\theta}e^{i\theta}=ie^{i\theta}.

따라서, 경로적분은 다음과 같이 계산된다.

\begin{aligned} \log(i) &= \int_{\Gamma} \frac{1}{s}\, ds \\ &= \int_{0}^{\pi} \frac{1}{\Gamma(\theta)}\, \Gamma'(\theta)\, d\theta \\ &= \int_{0}^{\pi} \frac{1}{e^{i\theta}}\, \Bigl(i e^{i\theta}\Bigr)\, d\theta \\ &= \int_{0}^{\pi} i\, d\theta \\ &= i\pi. \end{aligned}

따라서, $\log(i)=i\pi$ 가 된다. 그렇다면, 임의의 경로 $\Gamma$ 에 대해서 이 계산은 언제나 동일한 값을 줄까?

그렇지 않다. 예를들어서, 단위원을 따라서 $n \times{\frac{1}{2}}$ 바퀴을 도는 경로를 따라서 적분하면 $\log(i)=i\pi n$ 이 될것이다.

따라서, $\log(i)$ 의 정의는 단순히 $\{i\pi n : n\in \mathbb{Z}\}$ 가 되는 것이 맞고 이 불편함이 사실 유니버설 커버링 개념의 점화이다.

리만이 이 다가함수문제를 해결한 방법은 기존의 도메인 (아까의 예시에서는 $\mathbb{C}\setminus\{0\}$ )을 덥개공간(Covering space) 바꾼 것이다. 순진하게 말해서 리만이 제시한 덥개공간은 1에서 출발하여 어떤 복소수 $z$ 에 도착하는 경로 $\Gamma$ 들의 공간이다.

정말로 덥개공간의 원소 $\tilde{z}$ 에 대한 $\log(\tilde{z})$ 는 단순히 $\tilde{z}$ 에 대응하는 경로를 따라서 $\frac{1}{z}$ 를 적분하는 것으로 계산된다.

다만 디테일을 이해하기 위해서는 호모토피라는 개념을 알아야한다. 호모토피는 누가 봐도 같은 적분 값을 만들어내는 경로들을 통채로 하나의 대상으로 간주하는 수학적 언어이다. 예를들어서 아래 그림에서 보이는 두 경로를 생각해보자.

$\Gamma_1(t)=e^{i\pi t}, \quad 0\le t \le 1$
$\Gamma_2(t)=\left(\frac{3}{4}+\frac{1}{4}\cos (2\pi t)\right)e^{i\pi t}, \quad 0\le t \le 1$

이 두 경로는 시작점과 끝점이 동일하며, 구멍 뚫린 복소평면 $\mathbb{C}\setminus\{0\}$ 내에서 연속적으로 변형시켜 서로 같게 만들 수 있다. 이 개념을 수학에서는 호모토피라고 부르며, 이러한 상황에서는 두 경로가 호모토픽하다고 표현한다.

이것이 함의하는 바는 두 경로의 적분값이 같다는 것이다. 적분값이 같은 이유는, 경로 $\Gamma_1$ 을 따라간 후 $\Gamma_2$ 를 반대 방향으로 따라가는 경로(즉, $\Gamma_1-\Gamma_2$ )를 연속적으로 변형시키면 점으로 바뀌기 때문이다. (엄밀히 말해서, 모든 $t$ 에 대해서 1의 값을 가지는 상수경로로 바뀌기 때문이다.) (Null homotopic)

그래서 리만은 각 점까지의 경로의 호모토피 동치류(즉, 서로 연속적으로 변형 가능한 경로들)를 하나의 점으로 취급하는 방식으로 덮개공간을 구성했다.

이 덮개공간의 추상화는 branched covering 개념과 밀접한 관련이 있다.

다만, 여기 예시로 든 덮개공간은 simply connected하므로, 그 덮개는 universal covering이다. (경로 연결 공간의 simply connected covering은 유일하게 결정되며, 그래서 universal property도 만족함.)

단순연결인 이유는 사실 설명하기 다소 복잡하지만, 그 사실은 이 공간에서 log를 정의하면 함수가 더 이상 다가함수가 아닌 것과 밀접하게 관련되어 있다. 그러니까 리만이 이 덮개공간을 만들때부터 단순연결성을 의도했다고 이해하면 된다. 원래 도메인, 즉 $\mathbb{C} \setminus\{0\}$ 가 다가 함수 문제를 겪는 근본 원인은 이 공간이 단순연결이 아니기 때문임을 먼저 이해해보자.

Spin Group Intuitution

Spin Group은 Rotation Group $R$ 의 유니버설 커버링으로서 결정된다. 회전군은 경로 연결 위상공간이기 때문에 유일한 유니버설 커버가 존재하며, 그 Covering space $S$ 가 바로 Spin Group의 정체가 된다. 물론, 이는 오직 위상적 구조만 고려한 것이다.

이제 $S$ 가 Lie 그룹이 되고, Universal covering map이 군 준동형사상이 되도록 하기 위해서는 먼저 $S$ 에 적절한 그룹 연산을 정의해주어야 한다 (Covering Group). 또한, 그 위에 부드러운 (smooth) 구조를 부여해야 하는데, 이는 Hilbert's fifth problem와 관련되어 있다. 이 과정을 통해, 물리에서 쓰이는 Spin Group이 완성된다.

놀랍게도, 주어진 유니버설 커버링 공간을 Lie 그룹 구조로 만드는 방식은 본질적으로 유일하게 결정된다. 즉, $S$ 에 대해 그룹 구조와 부드러운 구조를 부여하여 Covering map을 군 준동형사상으로 만들면, 그 결과로 얻어지는 Spin Group은 언제나 유일하다.

연결 위상공간이 아닌 경우에는 여러 Spin Group이 가능함 (로렌츠 군)
연결되지 않은 위상군의 경우에는, Covering group—즉, Spin Group—이 여러 개가 될 수 있다. 예를 들어, 로렌츠 군(full Lorentz group)은 여러 개의 연결 성분을 가지므로, 그에 대한 유니버설 커버링을 구성할 때 단일한 결과를 얻지 못하고, 여러 다른 Spin Group이 가능해진다.

반면, proper orthochronous Lorentz group처럼 연결된 부분에 대해서는 유일한 유니버설 커버가 존재한다.

로렌츠군에 대응되는 Spin Group은 사실 이를 말하는 것이다.

즉, 연결 위상공간이 아닌 경우에는 군 구조를 올리는 과정에서 다양한 선택지가 존재할 수 있으며, 이로 인해 Spin Group의 구조가 여러 가지로 나타날 수 있다.

Construction?

Lie group와 Lie algebra를 공부하면, 자연스럽게 Spin Group을 구성하는 방법을 배우게 된다. 이 방법은 Lie algebra—즉, 군의 항등원에서의 접공간—를 이용하여 주어진 군을 Covering space를 구성하는 아이디어이다.

리만의 아이디어와 유사하게, 이 방법도 기본적으로 경로들을 이용한다. 예를 들어, 주어진 군 $SO(2)=U(1)$ 를 생각하면, $SO(2)=U(1)$ 의 Lie algebra $\mathbb{R}i$ 의 원소들을 사용하여 $SO(2)=U(1)$ 를위의 특수한 경로를 표현할 수 있다. 바로 그 경로는 $\exp$ 함수를 통해 생성되는 경로 $t \mapsto \exp(i\theta t)$ 인 것이다. ( $X=i\theta$ 인경우)

즉, Lie algebra의 원소 $X$ 에 대해 $\exp(tX)$ ( $t\in \mathbb{R}$ )는 $SO(n)$ 상의 경로를 나타내며, (t=1)일 때 $\exp(X)$ 가 군의 원소가 된다. 이러한 방식으로, Lie algebra의 정보를 기반으로 군 전체를 "덮는" 경로들을 구성하여, Spin Group과 같이 원래 군의 유니버설 커버링을 구성할 수 있다.