구배 (Gradient)

기초적인 미분적분학에서, 유클리드 공간 $\mathbb{R}^n$에서 정의된 함수 $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$을 다루는 맥락에서, 우리는 gradient(기울기)를 다음과 같이 정의한다.

함수 $f$가 $\mathbb{R}^n$에서 정의된 스칼라 함수일 때, 그 기울기(gradient)는 벡터 미분 연산자로 정의된다. 구체적으로, $f$의 기울기 $\nabla f$는 $f$의 각 변수에 대한 편미분으로 이루어진 벡터로 주어진다:

여기서 $\frac{\partial f}{\partial x_i}$는 $f$를 $x_i$에 대해 편미분한 값을 의미하며, 이 벡터는 함수 $f$의 변화율을 나타낸다. 즉, $\nabla f$는 함수 $f$가 특정 지점에서 가장 빠르게 증가하는 방향과 그 크기를 나타낸다.

이와 같이 정의된 gradient는 $\mathbb{R}^n$에 정의된 Vector field의 가장 유명한 예시이다.

독자 헷갈리게 만들기
잘 관찰해보면, 편미분 $\frac{\partial f}{\partial x_i}$들은 마치 $\nabla f$의 component처럼 보인다. 그리고 $df = \frac{\partial f}{\partial x_1} dx_1 + \cdots + \frac{\partial f}{\partial x_n} dx_n$이므로, 또한, $\frac{\partial f}{\partial x_i}$들은 $df$의 component인 것으로 보인다.

헷갈리지 않기 위해서는 정의를 살펴보아야 한다.
사실, 미분기하의 언어에서는 $\frac{\partial f}{\partial x_i}$은 $df$의 component로서 기능하지만 (일반적으로는) $\nabla f$의 component로 작용하지 않는다. 이게 무슨말이냐면, 우리가 흔히 보는 $\nabla f$에서 $\frac{\partial f}{\partial x_i}$가 마치 component처럼 적히는 그 수식은 Tangent vector들들이 정규직교하기 때문에 나오는 결과이지, $\nabla f$의 정의가 결코 아니라는 입장을 (미분기하학 언어가) 주장하고 있다는 것이다. 다만, $df$의 component는 언제나 $\frac{\partial f}{\partial x_i}$이라 볼 수 있다. 다시말해서,

이다.

예를들어서
아래와 극좌표변환 $x=r\cos \theta, y=r\sin \theta$을 생각하자. 단, $\theta\in [-\pi,\pi)$

• 중심에서 가까운 원의 반지름이 작은 경우, 동일한 각도 변화에 해당하는 아크 길이 변화는 작다.
• 반면, 중심에서 멀어질수록, 동일한 각도 변화에 해당하는 아크 길이가 변화가 커지게 된다.

독자를 매우 헷갈리게 해보자

사실, 위 그림에 있는 3쌍의 화살표를 서로 동일한 것으로 간주하고 싶기 때문에, 우리는, 극 좌표 평면 ($r,\theta$ 표현에서) 그린 화살표의 크기를 보이는 것과 다르게 왜곡시켜서 정의한다. 그런 이유로, 극좌표계로 표현한 점 $(r,\theta)$에서 출발하여 $\theta$ 방향으로 1만큼 변화함을 나타내는 화살표를 $\hat{\theta}$라 적을때, 이 화살표의 크기는 단순히 $r$이다. 마찬가지로, $\hat{r}$을 정의 할 수 있는데, 이 화살표는 X-Y평면으로 옮겨도 크기 왜곡이 없으므로, $\hat{r}$의 크기는 1이다. 이러한 생각은 우리가 극좌표변환하여 적분할때하는 흔히 보는 미분형식 표현 $rdrd\theta=dxdy$에 고스란히 드러난다.

즉, $\hat{\theta}$의 크기가 항상 1이 아니므로, $\hat{r},\hat{\theta}$은 직교하지만 정규직교하지 않는다.

다시 본론으로 돌아가서

우리가 헷갈리지 않도록 차근차근 살펴보자. 먼저, 함수 $f(x,y) = x^2$에 대해 생각해보자. 이 함수를 극좌표계 $(r, \theta)$로 변환하면, 다음과 같은 관계를 이용할 수 있다:

이때 $f(x,y)$는 다음과 같이 표현된다:

이제, $df$를 구해보자. 미분기하에서 $df$는 함수 $f$의 미분 형식으로, 이는 $f$의 각 변수에 대한 변화율을 표현하는데, 다음과 같은 꼴로 쓸 수 있다:

반면 잘 알려진 공식으로 $\nabla f$를 구하면, 다음과 같이 구해진다.

$\nabla f = \begin{pmatrix} \frac{\partial f}{\partial r} \\[6pt] \frac{\partial f}{\partial \theta} \end{pmatrix}$가 아니다. 즉, 편미분들은 Gradient의 component를 의미하지 않는다.

설득의 시간

미적분학에서 우리는 함수의 변화율을 나타내기 위해 gradient $\nabla f$와 미분 형식 $df$를 사용한다. 이 두 개념은 수학적으로 깊이 연결되어 있으며, 서로 쌍대적인 관계에 있다. 이 쌍대성을 이해하는 것은, 특히 미분기하학에서 중요한데, 그 이유를 이해하기 위해 우리는 미적분학 수준에서도 이 관계를 명확히 해야 한다.

미분기하학 언어에 따르면, 정의상 $df$와 $\nabla f$의 쌍대성은 자명하다. 그러니까, 미분기하학 언어에서 왜 그렇게 $\nabla f$를 정의하는가를 이해하며 공부하기 위해서, (미적분학 수준에서) 쌍대성을 이해하고 있는것이 요구 된다.

$\nabla f$와 $df$의 쌍대성은 무엇을 의미할까?

단순히 $f:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$을 상상하자. 그리고 함수 $f$의 그래프를 삼차원 유클리드 공간 내부의 곡면으로 바라보자.

이제, 우리가 점 $p$에서 벡터 $v$만큼 움직이고자 할 때 (이때, $v$는 $\nabla f(p)$와 같은 방향이 아니어도 된다), 그 $v$에 대응하는 $f$의 변화량을 고려하자. 이때의 함수 $f$의 변화량은 다음과 같이 표현된다:

한편, $\nabla f(p)$는 곡면 위의 점 $(p,f(p)) \in \mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}$에서 가장 가파르게 증가하는 방향과 그 방향으로의 증가율을 나타내는 벡터이다. 따라서 우리가 조사하고자 하는 $v$와 $\nabla f(p)$의 방향이 일치할수록 함수 $f$는 더 많이 증가하게 된다. 이런 맥락에서 $\langle \nabla f, v \rangle$는 $f$의 변화량과 거의 같다.

실제로, $v$가 충분히 작다면, 이 근사는 들어맞는다.

한편, $v=(x_1,x_2)$라 적을 때,

가 성립한다. ( 여기서, 두 tangent vector $(1,0), (0,1)$의 직교성은 가정되지 않음)

위의 수식의 우변을 단순히 $df(v)$라고 바꾸어도 괜찮다.

위에서, $dx_1 (v) := x_1$ 그리고 $dx_2 (v) := x_2$를 사용함. (여기서, $v=(x_1,x_2)$)

다시 말해서, $df(v)$와 $\langle \nabla f, v \rangle$는 모두 주어진 방향 $v$에서의 함수 $f$의 변화량을 나타낸다. 그러므로 수학적으로 이 쌍대성은 다음과 같이 표현된다:

사실 아래의 수식은 gradient의 정의로 사용된다. 그래서 등호가 맞음!

여기서 이 $v$를 tangent vector field라 부른다. 대략적으로, 의미는 다음과 같다. 각 점 $p\in \mathbb{R}^2$에 대해서, tangent vector $v_p$를 대응시키는 함수이다. 여기서 Tangent vector $v_p$란 함수 $f$ ($p$ 근방에서의) 변화량을 측정하려는 벡터(대략적으로 편미분 연산들$\frac{\partial}{\partial x_i}|_p$들로 생성된 벡터 공간의 원소로 볼 수 있다)라 간주된다. 다만 수학적으로는, 상당히 fancy하게 정의된다.

다시 예시로 돌아가기 위해

그럼, $df$와 $\nabla f$의 쌍대성을 구체적으로 확인해보자. 다시, 함수 $f(x,y) = x^2$를 생각하자. 그리고 $r, \theta$로 극좌표 변환을 하자. (아니 왜 굳이 어렵게 가는데?)

이번에는 극좌표에서의 gradient를 구하는 공식을 모르는 가운데, 쌍대성만을 가지고 gradient를 구해보려고 한다.

다만, 이 과정을 설명하기 위해서는, 다음 내용을 집고 넘어가야만 한다.

변수변환 기초

유클리드 공간 $\mathbb{R}^2$를 생각하자. 그리고 함수 $f:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$을 생각하자. 이때, $df$는 다음과 같이 적힌다.

그리고 점 $( x_0,y_0) \in \mathbb{R}^2$ 에 대해서, 접벡터 $v=(v_x, v_y)^\top$를 생각하자. 정의에 의하여,

이다. 즉, $v=(1,0)^\top$은 단순히 $\frac{\partial }{\partial x}$의 역할을 하고, $v=(0,1)$은 단순히 $\frac{\partial }{\partial y}$의 역할을 한다.

이제, 변수변환 $r(x,y),\theta(x,y)$를 생각하자. 이때,

이므로, $\hat{r}:=(\frac{\partial x}{\partial r}, \frac{\partial y}{\partial r})^\top$에 대해서,

이 성립함을 알 수 있다. 마찬가지로, $\hat{\theta} :=(\frac{\partial x}{\partial \theta}, \frac{\partial y}{\partial \theta})^\top$에 대해서,

야코비안 $J$는 다음과 같이 적히며,

$J = \begin{vmatrix} \begin{aligned} \dfrac{\partial x}{\partial r} \\ \dfrac{\partial y}{\partial r} \end{aligned} & \begin{aligned} \dfrac{\partial x}{\partial \theta} \\ \dfrac{\partial y}{\partial \theta} \end{aligned} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \begin{aligned} \cos \theta \\ \sin \theta \end{aligned} & \begin{aligned} -r\sin \theta \\ r\cos \theta \end{aligned} \end{vmatrix} = r$

따라서 $r\ne 0$ 인 경우, 접벡터 $v_x\hat{x} + v_y \hat{y} := (v_x,v_y)^\top$를 다음과 같이 기술 할 수 있다.

$f(x,y) = x^2$의 구배를 $r,\theta$로 구하기.

가장 간단한 방법은, $\nabla f$를 $\hat{x}$와 $\hat{y}$를 기준으로 다음과 같이 적은뒤, 변수변환 공식을 쓰는 것이다.

$f(x, y) = x^2$이므로, $\frac{\partial f}{\partial x} = 2x$, $\frac{\partial f}{\partial y} = 0$이다. 따라서,

한편, $\nabla f$를 $r, \theta$에 대해서 나타내었을 때, 다음과 같다고 가정하자.

여기서 $a$는 $r$ 방향 성분, $b$는 $\theta$ 방향 성분이다. 즉, 위의 두 식을 명확히 적으면 다음과 같다

1. $\nabla f= 2x \hat{x}$
2. $\nabla f= a \hat{r} + b \hat{\theta}$

위의 두 식이 같아야 하므로, $2r\cos \theta \hat{x} = a \hat{r} + b \hat{\theta}$를 만족시켜야 한다. 위에서 기술한 변수변환 공식$\hat{x},\hat{y} \to \hat{r}, \hat{\theta}$을 사용하면 바로 $a,b$를 구할 수 있다.

행렬 계산을 하면:

결과적으로 $a$와 $b$는 다음과 같다:

쌍대성을 확인하기.

먼저, $\hat{x},\hat{y}$는 $\mathbb{R}^2$의 정규 직교기저이다. 따라서, 변수변환 행렬이 곧 내적을 정의하는 행렬과 연관이 있다. 그러니까, 그러니까, 만약 $v=a\hat{r} + b\hat{\theta}$와 $w=c\hat{r} + d\hat{\theta}$를 내적하고 싶으면, 먼저 행렬 $J$을 곱해서 각각을 변수변환하고 그것의 dot product를 하면된다.

여기서 $J$는 다음과 같다.

그러니까, tangent vectors $v,w$의 내적은 다음과 같이 계산된다.

where $v=a\hat{r} + b\hat{\theta}$ and $w=c\hat{r} + d\hat{\theta}$

다시 말해서, 아래 행렬이 곧 내적을 결정한다.

이 행렬이 정의하는 내적을 기준으로 쌍대성을 확인해보자.

먼저 $v$에 $\hat{r}$을 대입하여, 좌변 $df(\hat{r})=\frac{\partial f}{\partial r}$이다.

그리고, 우변의 $\nabla f = a\hat{r}+b\hat{\theta}$라 두면, 단순히 우변은 다음과 같다.

따라서 $a=\frac{\partial f}{\partial r}$이다.

이제, $v$에 $\hat{\theta}$을 대입하여

따라서 $b= \frac{1}{r^2}\frac{\partial f}{\partial \theta}$이다.

구배의 정의 그리고 리만기하학

미적분학 수준에서는 함수의 기울기(gradient)를 구하는 과정에서, $\nabla f$는 단순한 벡터 필드로 다룬다. 미적분학에서는 이를 쌍대성을 크게 고려하지 않고도 이해할 수 있다. 즉, $\nabla f$는 함수가 가장 빠르게 증가하는 방향과 그 크기를 나타내는 벡터로서 쉽게 다룰 수 있다. 하지만, 리만기하학에서는 $\nabla f$와 미분 형식 $df$ 사이의 쌍대성이 중요한 역할을 하며, 이를 이해하지 않고는 $\nabla f$를 올바르게 계산하기 어렵다.

리만기하학에서는 벡터 필드의 기하학적 성질을 다루기 위해, 계량 텐서(metric tensor)를 사용한다. 이는 벡터들 사이의 거리와 각도를 정의하는데 필수적이다. 리만기하학에서는 $\nabla f$를 계량 텐서를 통해 계산하는 방식이 도입되며, 이는 두 번째 계산 방식으로 볼 수 있다. 이를 더 깊이 이해하기 위해, 먼저 구배의 정의를 살펴보겠다.

구배의 정의

리만기하학에서 함수 $f$의 구배(gradient) $\nabla f$는 다음과 같은 방식으로 정의된다. 내적 공간에서, 구배는 미분 형식 $df$와 계량 텐서 $g_{ij}$의 관계를 통해 정의되며, 이는 함수 $f$의 변화량을 특정 방향에서 측정하는 데 사용된다.

보다 구체적으로, 구배 $\nabla f$는 미분 형식 $df$와 쌍대적인 벡터 필드이다. 즉, 임의의 벡터 $v$에 대해 다음과 같은 관계가 성립시키는 벡터로서 정의된다.

여기서 $\langle \cdot, \cdot \rangle_g$는 리만 계량을 통한 내적을 의미하며, $g_{ij}$를 사용하는 내적 연산이다. 리만기하학에서는 좌표계가 곡선 좌표계이기 때문에, 이러한 내적을 통해 벡터의 크기와 방향을 정확하게 정의할 수 있다.

리만기하학에서 구배를 계산하는 방식

리만기하학에서, 구배 $\nabla f$는 계량 텐서 $g_{ij}$를 사용하여 다음과 같이 계산된다:

여기서 $g^{ij}$는 계량 텐서의 역행렬이며, $x^j$는 좌표 성분이다. 그리고, 위 수식은 인덱스가 위아래로 쌍을 이루면 그에 대해 자동으로 합(sum)이 이루어진다는 의미이다.

예: 극좌표계에서의 구배

예를 들어, 예시 문제에서 $r,\theta$에 대한 구배 $\nabla f$를 계산하려면, 다음과 같은 계량 텐서를 사용해야 한다:

여기서, $g_{12}=g_{21}=0$인 이유는, $g$를 아래와 같이 계산하였을때, $drd\theta$ 대응하는 성분이 0이기 때문이다.

$g = dx^2 + dy^2 = d(r \cos \theta)^2 + d(r \sin \theta)^2 \\ = (\cos \theta \, d r - r \sin \theta \, d \theta)^2 + (\sin \theta \, d r + r \cos \theta \, d \theta)^2 \\ = (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) \, d r^2 + (r^2 \sin^2 \theta + r^2 \cos^2 \theta) \, d \theta^2 \\ \quad + (-2 r \cos \theta \sin \theta + 2 r \sin \theta \cos \theta) \, d r \, d \theta \\ = d r^2 + r^2 \, d \theta^2.$

역행렬은 자명히,

이고 따라서 극좌표계에서의 구배는 다음과 같이 구해진다:

결론

리만기하학에서는 구배 $\nabla f$와 미분 형식 $df$의 쌍대성을 이해하는 것이 필수적이다. 미적분학에서는 이러한 관계가 직관적으로 단순하게 다루어질 수 있지만, 리만기하학에서는 계량 텐서를 통해 이 관계가 보다 정확하고 체계적으로 정의된다. 따라서, $\nabla f$를 올바르게 계산하기 위해서는 계량 텐서를 이용한 계산 방식이 필수적이다.