미적분학의 기본정리

김록기·2023년 9월 15일

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미적분학

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FTC는 제가 좋아하는 위키피디아 문서들 중 하나입니다.

들어가며

상상해보세요. 여러분이 컨테이너를 싣고 다니는 커다란 트럭을 한 대 가지고 있습니다.

그리고, 여러분 친구가 여러분이 운전하는 트럭의 컨테이너에 들어갔습니다. 그리고, 여러분이 운전을 하기 시작합니다. 당연히 여러분 친구는 밖이 완전히 안보입니다. 게다가, 컨테이너 내부는 외부와의 통신도 완전히 단절되어 있습니다.

여러분은 창문을 통해서 밖을 보아서, 지금 어디에 있는지 실시간으로 파악할 수 있지만, 친구는 그렇지 않습니다.
여러분은 계기판을 통해서, 트럭의 현재속도를 실시간으로 알 수 있지만, 친구는 그렇지 않습니다.
그러나, 친구가 컨테이너에서 내리자마자, 여기가 어디인지 정확히 말하는겁니다!

여러분의 친구가 컨테이너 안에서 느낄 수 있는 정보는 무엇일까요? 트럭이 갑자기 멈추거나, 커브길에서 회전을 하는 등의 변화를 감지할 수 있습니다. 즉, 친구가 알 수 있는 것은 트럭의 가속도입니다. 친구가, 트럭 속에서 가속도를 감지하는 것, 이것이 미분에 해당합니다.

그런데 여러분의 친구는 어떻게 트럭의 전체 위치를 알 수 있을까요? 바로 가속도의 정보를 시간에 따라 누적하여 트럭의 속도 변화를 계산하고 (처음 속도를 아니깐 현재의 속도를 알게되고), 그 속도를 다시 시간에 따라 누적하여 트럭이 위치변화를 계산할 수 있기 때문입니다. 이것은 적분에 해당합니다. 그리고 처음 위치를 알고 있다면, 적분결과로부터 도착위치도 알수 있는 것이지요.

미적분학의 기본 정리는 이 두 개념, 즉 미분과 적분이 관계에 있다는 것을 보여줍니다.

여러분이 창 밖을 보면서 쉽게 알 수 있는 대역적인 정보를 친구는 컨테이너 안에서의 국소적인 정보만으로도 알 수 있게 됩니다.

미적분학의 기본정리가 중요합니다.

미적분학의 기본정리를 발견하는 순간 심장이 멎는 줄 알았다 -아이작 뉴턴

적분에 대한 짧은 생각

적분은 기본적으로 어떤 함수 아래의 영역의 넓이를 구하는 연산입니다. 이해하기 쉽게 말하면, 그래프 아래의 면적을 찾는 것이죠. 그렇지만, 적분의 개념은 그것보다 훨씬 깊고 다양한 의미를 가지고 있습니다.

제가 말하고 싶은 것은, 적분이라는 개념이 단순히 '함수 아래의 영역의 넓이를 구하는 연산' 이상의 깊은 의미와 다양한 확장을 가지고 있으며, 그 모든 것을 한마디로 표현하는 것은 불가능하다는 것입니다.

제 주관적 느낌에는, 모름지기 적분이란, 미적분학의 기본정리와 동등한 느낌의 정리가 성립하는 (함수를 입력으로 받는) 선형연산자입니다. 그럼, 그 미적분학의 기본정리와 동등한 느낌의 정리는 도대체 뭔데? 그건, 이제 적분이 뭐냐에 따라서 다르겠지요. 예를 들어서, 리만적분의 경우는, 이 포스트에서 말하는 미적분학의 기본정리입니다. 적어도, 저는, (구체적으로 잘 알고 있는) 수학 정리들에 대해서는, 이건 미적분학의 기본정리야라는 식의 생각을 가지고 있고, 과감하게 말해서 (제가 모르는) 모든 적분에 대해서도, 미적분학의 기본정리가 (모습이 바뀐채) 성립하고 있다는 것이 저의 생각입니다.

( 이런 과격한 주장에 불편한 느낌이 드실텐데, 그 느낌이 사실은 맞습니다. 단순히, 미적분학의 기본정리가 제 입장에서 중요하게 느껴지는 이유를 전달하고자 하는 거에요.)

미적분학의 기본정리로 바라보는 적분

역사적으로 적분과 미분의 개념은 독립적으로 발전해왔습니다. 두 개념은 본래 독립적이었지만, 미적분학의 기본정리를 통해 이 두 연산이 깊게 연관되어 있음이 밝혀졌습니다. 이 정리는 함수를 적분한 후 다시 미분하면 원래의 함수를 얻을 수 있음을 보여줍니다. 이것은 두 연산 사이의 깊은 연관성을 밝혀낸 기념비적인 발견이었습니다.

미분과 별개로의 적분을 알려주지 않고, 적분은 미분의 역연산이다라는 관점으로 적분을 배우는 것이 처음 미적분학을 배울때, 유용할 수 있습니다. 적어도, 한국의 7차교육과정은 그런 식으로 되어있거든요.

그러한 방식의 교육과정을 제가 동의한다는 것이 전혀아니라, 제 입장은 (난 모르는 교육적인) 유용함이 있으니깐, 그러한 방식으로 교육과정을 정했겠지라는 식의 이해를 하면서도 그런 교육과정에 대해서 비판적인 입장입니다.

적분이란 개념은 애시당초 미적분학의 기본정리가 성립되도록 짜맞춘 것이 아니거든요. 역사적으로, 적분과 미분은 전혀 다른 종류의 개념이고, 적분은 미분의 역연산이야와 같은 생각으로 미분이나 적분이 만들어 진 것이 아닙니다.

다만, 미적분학의 기본정리 없이는 적분의 참 의미를 이해하는 것이 불가능 하다는 것 만큼은 분명해 보입니다.

미분

트럭 속의 친구처럼, 국소적인 정보에만 의존하여 결정되는 값을 구하는 것이 미분입니다. 처음 미분을 배울때, 국소적인 정보에만 의존하여 결정되는 값의 예시로서 접선과 속도를 예시로 듭니다. 두 예시에서 확인 할 수 있듯이, 미분에 대해서 생각할 때는 대역적인 상황에 전혀 관심을 가지지 않는 것이 핵심입니다.

접선이란?

접선은 한 점에서만 그 곡선에 닿는 직선을 의미하는데, 이 설명은 다소 간단화된 것입니다. 더 정확히는, 접선은 그 지점 근처에서만 보면 한 점에서만 그 곡선과 만나는 직선이라고 할 수 있습니다.

미분의 핵심적인 특징 중 하나는, 그 결과가 미분하는 점 주변의 정보에만 의존한다는 것입니다. 그래서 접선을 생각할 때, 해당 접점의 근처만을 보면 됩니다. 다른 부분에서 그 접선이 곡선과 만나더라도 우리의 관심사가 아닙니다. 우리의 주요 관심은 그 접점 근처에서의 동작입니다.

속도란?

평균 속도: 위치변화와 위차변화에 사용된 시간을 기반으로 계산됩니다. 예시로, 5시간 동안 시작점으로 부터 300km떨어진 곳에 도착하였다면 운전한 자동차의 평균 속도(의 절대값)는 60km/시간입니다.
(순간) 속도: 특정 순간의 속도를 나타냅니다. 자동차의 속도계가 나타내는 숫자가 순간속도라 생각하면 맞습니다. 도로에서 운전할 때 속도계가 가리키는 숫자가 지속적으로 변합니다. 즉, 그때 그때 속도가 다르다는 것을 의미합니다. 다시 말해서, 속도는 특정 시점을 기준으로 국소적인 위치정보에 의해서 결정됩니다.

당신이 급발진하여 1초 동안 정지상태에서 100m를 이동했다고 가정합시다. 이 때의 평균 속도는 100m/1s = 100m/s 입니다.

하지만, 그 1초 동안의 모든 순간에서의 속도가 100m/s였을까요? 아닙니다. 왜냐하면, 이동을 시작할 때 당신은 정지상태였기 때문에 그 순간의 속도는 0m/s였습니다. 그러면서 계속 가속하면서 속도는 증가했을 것입니다.

자동차의 속도계는 순간속도를 보여주기 때문에, 1초 동안 계속 변하면서 특정 값들을 가리켰을 것입니다. 처음에는 0m/s에서 시작해 1초의 끝에 가까워질수록 점점 높은 값을 가리킬 것입니다.

그렇다면, 1초 후에 계기판이 가리키는 순간속도가 100m/s가 될까요? 아닙니다. 평균 속도가 100m/s로 주어진 상황에서, 급발진을 시작할 때의 속도는 0m/s였습니다. 1초 동안의 움직임으로 평균 속도가 100m/s가 되려면 중간 어느 순간의 계기판이 가리키고 있는 속도는 100m/s보다 큰 값이 되어야 합니다.

만약, 1초 후의 계기판이 가리키고 있는 속도가 100m/s였다고 가정하면, 그 이전의 모든 순간들에서의 계기판은 100m/s보다 작은 값을 가르키고 있을 것입니다. 그렇다면, 0초부터 1초의 평균속도는 100m/s가 될 수 없습니다. 즉, 가정이 틀렸습니다. 따라서, 1초 후의 계기판이 가리키고 있는 속도는 100m/s보다 반드시 높아야 할 것입니다.

그렇다면, 자동차 계기판이 가르키고 있는 속도는 무엇을 의미하는 걸까요?

속도의 정의

보통 순간속도라는 용어를 대신 해서 속도라는 용어를 사용합니다. 단 이 문단에서만, 속도 대신 순간속도라는 용어를 사용해서, 평균속도와 구분을 명확히 하겠습니다.

순간속도는 어떤 특정한 순간에 물체가 가지고 있는 속도를 의미합니다. 일상 생활에서는 우리가 주로 경험하는 속도가 순간속도입니다. 예를 들어 자동차의 속도계가 가리키는 숫자나, 자전거를 타고 갈 때 느끼는 바람의 세기는 그 순간의 속도를 반영합니다.

순간속도는 한 시점의 속도를 찾기 위해 시간 구간을 점점 줄여가며 구하는 평균속도입니다. 다시 말해, 그 시점 주변의 아주 작은 시간동안의 평균속도를 구하고, 그 시간 구간을 0에 가깝게 줄여나가면 그 시점의 순간속도를 얻을 수 있습니다.

시각 $t$ 에서의 위치를 $f(t)$ 라고 합시다. 순간속도는 다음과 같이 정의됩니다:

$\lim_{{\Delta t} \to 0} \frac{f(t_0 + \Delta t) - f(t_0)}{\Delta t}$

이 식은 (극한 기호을 제외하면) 시각 $t_0$ 에서 $t_0+\Delta t$ 의 시각까지의 평균속도를 나타내며, 결론적으로, 순간속도는 그 순간에서의 평균속도의 극한입니다.

구체적인 예시로서의 미적분

미분

우리가 어떤 함수 $F(t)$ 에 대하여 특정 시점에서의 접선의 기울기를 알고 싶을 때, 미분을 사용합니다. 이 기울기는 그 지점에서 함수가 얼마나 빨리 증가하거나 감소하고 있는지를 의미합니다.

예시: 만약 어떤 자동차가 시간에 따라 위치를 나타내는 함수 $F(t)$ 가 있다면, 특정 시점에서의 함수 $F$ 의 그래프의 접선의 기울기는 그 시점에서의 속도를 나타냅니다.

적분

함수 $f(x)$ 와 x축 사이의 영역의 면적을 계산하고 싶을 때, 적분을 사용합니다.

예시: 앞서의 자동차의 속도를 나타내는 함수 $f(t)$ 에서, 특정 시간 구간 동안의 면적은 그 구간 동안 자동차의 최종적인 위치변화를 나타냅니다.

정적분

함수 $f$ 가 실수 $x$ 를 입력으로 받아서 실수 $f(x)$ 를 반환하는 함수라 가정합시다. 그리고, $f$ 의 정의역이 구간 $[a,b]$ 라 합시다. ( $a<b$ )

함수 $f$ 가 $[a,b]$ 에서 정의되어 있습니다.
구간 $[a,b]$ 를 다음과 같이 $n$ 개의 수를 이용해서, 작은 구간들로 분할합시다. $[a,b]=[x_0,x_1]\cup [x_1,x_2] \cup \cdots [x_{n-1},x_n]$ 여기서, $x_i$ 들은 다음을 만족합니다.
$a=x_0<x_1<x_2<\cdots<x_n=b$
위의 분할에 대해서, 다음을 분할의 크기라 합시다.

가장 긴 구간의 길이. 명확히 말해서, $\max_{i={1,\ldots,n}} \{x_i-x_{i-1}\}$
각각의 구간 $[x_{k-1},x_k]$ 에 대해서, $C^*_{k}\in [x_{k-1},x_k]$ 를 ( $[x_{k-1},x_k]$ 안에서) 선택합시다.

분할 $[a,b]=[x_0,x_1]\cup [x_1,x_2] \cup \cdots [x_{n-1},x_n]$ 에 대해서, 다음을 리만합이라고 부릅니다.

$\sum_{k=1}^n f(C^*_k) (x_k-x_{k-1})$ .

리만합은 $f$ 의 넓이의 추정치입니다.
리만합은 분할과 그 분할에 대해 선택된 점 $C_k^*$ 들에 의존합니다.

정적분의 정의

다음을 만족시키는, 실수 $\int_a^b f(t)dt$ 가 존재하면, 함수 $f$ 가 구간 $[a,b]$ 에서 리만적분이 가능하다고 말합니다. 그리고, $\int_a^b f(t)dt$ 를 함수 $f$ 의 $[a,b]$ 에서의 정적분이라 부릅니다.

모든 양수 $\epsilon>0$ 에 대해서, 어떤 양수 $\delta>0$ 가 존재하여, 크기(가장 긴 구간의 길이)가 $\delta$ 보다 작은 모든 $[a,b]$ 의 분할에 대해서, 선택된 점 $C_k^*\in[x_{k-1},x_k]$ 들이 무엇이든 상관없이, $\left | \int_a^b f(t) dt-\sum_{k=1}^n f(C^*_k) (x_k-x_{k-1}) \right|<\epsilon$ 이 성립합니다.

연속함수이면 리만적분이 가능합니다.

위에서 정의한 정적분을 리만적분이라고 하며 리만 적분으로 정적분을 나타내는 것이 불가능한 함수가 존재합니다.

닫힌 구간에서 정의된 (유한개의 점을 제외한) 모든 점에서 연속인 함수는 리만적분이 가능합니다.

미적분학의 기본 정리

함수 $f$ 가 실수 $x$ 를 입력으로 받아서 실수 $f(x)$ 를 반환하는 연속함수라 가정합시다. 그리고, $f$ 의 정의역이 구간 $[a,b]$ 라 합시다. ( $a<b$ )

$f$ 가 연속함수 이므로, 모든 $x$ 에 대해서 $g(x)=\int_{a}^x f(t) dt$ 이 잘 정의됩니다. 여기서, $g$ 의 의미는 무엇일까요? 그것은 다음과 같이 그래프를 그렸을때, 색칠된 부분의 넓이를 의미합니다. 단, x축 위의 넓이는 양의 부호를 가로축 아래의 넓이는 음의 부호를 가지며, 일반적으로 부호를 고려해서 계산해야, $g(x)$ 에 해당하는 값이 나옵니다.

FTC part 1

함수 $f$ 가 구간 $[a,b]$ 에서 연속이라 합시다. 그리고 $g(x)=\int_{a}^b f(t) dt$ 라고 합시다. 그러면, 함수 $g$ 도 $[a,b]$ 에서 정의된 연속함수이고, $(a,b)$ 에서 미분이 가능하며
$g'(x)=f(x)$ 가 성립합니다.

증명
$x\in (a,b)$ 라고 합시다. 그리고 $h>0$ 이라 합시다. 그러면, $g(x+h)-g(x)=\int_{x}^{x+h} f(t) dt$ 입니다.

$\lim_{h\to 0^+} \frac{g(x+h)-g(x)}{h} = \lim_{h\to 0^+} \frac{1}{h} \int_{x}^{x+h} f(t) dt$ . 한편, 최대최소정리에 따라서, 함수 $f$ 가 연속이므로, 구간 $[x,x+h]$ 에서의 $f$ 는 최대값 $M$ 과 $m$ 을 가집니다.
따라서, $\frac{1}{h} \int_{x}^{x+h} m \ dt \le \frac{1}{h} \int_{x}^{x+h} f(t) dt \le \frac{1}{h} \int_{x}^{x+h} M \ dt$ 이고, 정리하면,

$m\le \frac{1}{h} \int_{x}^{x+h} f(t) dt \le M$ 이 성립합니다.

한편, $f(u)=m$ 그리고 $f(v)=M$ 인 수를 $u,v$ 라 정의합시다. 그러면, 이 둘은 언제나 구간 $[x,x+h]$ 안에 있기 때문에, $h$ 가 0으로 가면서, $u,v$ 모두 $x$ 로 수렴합니다. 그리고 $f$ 가 연속함수 때문에, $\lim_{h\to 0^+} m=f(\lim_{u \to x}u)=f(x)$ 그리고
$\lim_{h\to 0^+} M=f(\lim_{v \to x}v)=f(x)$ 입니다. 따라서, 부등식 $m\le \frac{1}{h} \int_{x}^{x+h} f(t) dt \le M$ 과 샌드위치 정리에 의해서 $\lim_{h\to 0^+} \frac{g(x+h)-g(x)}{h}=f(x)$ 입니다.

마찬가지로, $h<0$ 이라 하고, 같은 논리를 적용하면, $\lim_{h\to 0^-} \frac{g(x+h)-g(x)}{h}=f(x)$ 을 얻습니다. 따라서, 모든 $x\in (a,b)$ 에 대해서 $g'(x)$ 가 존재하고 $g'(x)=f(x)$ 가 성립합니다.

FTC part 2

함수 $f$ 가 구간 $[a,b]$ 에서 연속이라 합시다. 그리고 함수 $F$ 가 다음을 만족하는 함수라 합시다.

조건 $F'(x)=f(x)$ .

그러면, $\int_{a}^b f(x) dx= F(b)-F(a)$ 가 성립합니다.

참고 : 함수 $f$ 가 연속이라는 조건이 없어도, FTC part 2가 성립합니다. 다만, 증명을 편하게 하기 위해서 이 글에서는 $f$ 가 연속이라는 조건을 추가하였습니다.

증명 Part 1에서 하였듯이 $g(x)=\int_{a}^b f(t) dt$ 라 합시다. 그리고, 함수 $C$ 를 $F(x)=g(x)+C(x)$ 을 만족시키는 함수라합시다. 그러면, 모든 $(a,b)$ 에 속하는 모든 $x$ 에 대해서, $F'(x)=g'(x)+C'(x)$ 이고 좌변은 조건에 의하여 $f(x)$ 이고 우변은 part 1의 결론에 의해서 $f(x)$ 입니다. 즉, $C'(x)=0$ 이라는 결론을 얻습니다. 따라서, $C(x)$ 는 상수입니다. ( $x$ 가 무엇이든 $C(x)$ 는 항상 동일한 값을 가집니다. )

$F(b)-F(a)=g(b)+C(b)-g(a)-C(a)=g(b)-g(a)+(C(b)-C(a))=g(b)-g(a)$ 입니다. 그리고, $g(b)-g(a)$ 는 단순히 $\int_{a}^b f(t) dt - \int_{a}^a f(t) dt = \int_{a}^b f(t) dt$ 입니다. 따라서, $F(b)-F(a)=\int_{a}^b f(t) dt$ 가 성립합니다.