소개

열 전도 방정식이란 다음과 같이 기술된다.

$u_t = u_{xx}$

여기서, $u(t,x)$는 시간 $t\in [0,T]$ 위치 $x\in[0,l]$에서의 온도를 의미한다.

위의 방정식을 $n$차원 공간으로 확장하면 다음과 같다.

$u_t = \Delta u.$

$\Delta u$는 $\nabla u$라는 벡터장의 발산이며, 열이 빠져나가는 정도를 의미한다. 의미를 이해하기 위해서는, 가우스의 발산정리 및 flux integral에 대해서 먼저 살펴보아야 한다. 가우스의 발산 정리에 따르면, 어떤 영역의 경계에 대한 벡터장의 flux integral은, 이것은 영역내의 유체가 벡터장에 의해서 빠져나가는 정도를 계산하는 적분인데, 영역 내부의 벡터장의 발산의 적분과 같다.

즉, 우리는 발산을 유체가 폭발하여 나가려는 정도로 이해할 수 있으며, 발산을 모두 적분하여 적분영역에서 얼마나 많은 유체가 소실 또는 유입되었는지 알 수 있다.

또한, 유체가 유입되는 source 또는 빠져나가는 sink가 없는 경우에는 (회전하는 경우이다.), 유체의 흐름을 나타내는 벡터장의 발산이 0이어야함을 의미적으로 이해할 수 있다.

그러나 푸리에의 법칙을 따르는 열류의 회전은 0이어야하고, 열은 온도의 구배에 따라 흐르는 유체로 간주된다. 그리고 (유체로 간주한 것은 물리학적으로 틀렸지만) 이것은 온도의 존재를 공리적으로 정당화하는 현대 열역학의 법칙들에 위배되지 않으므로, 푸리에의 열전도 방정식 유도는 정당하다고 할 수 있다.

여튼, 열은 오직 온도차이에 의해서 발생하고, 반대로 온도차이가 있으면, 열이 발생한다. 그리고 이러한 논리는 열전도 방정식 유도과정의 핵심이다. 열류 발산은 현재 온도에 의존하며, 온도의 라플라시안$\Delta$으로 기술된다(온도의 함수로 표현된다는 것이 중요). 그리고 열류 발산이 있으면 온도가 변화해야한다. (열류가 빠져나가면 온도가 내려가야하고 열류가 들어오면 온도가 올라가야한다.)

열 전도 방정식의 성질

Maximum Principle

최대 원리(Maximum Principle)는 열 전도 방정식의 중요한 성질 중 하나로, 특정 조건하에 고체 내부의 온도 분포에 관한 중요한 정보를 제공한다. 이 원리는 내부에 열원이 없는 고체에 대해, 최고 온도 지점이 초기 상태에서 발생하거나 고체의 경계에서만 발생한다는 것을 의미한다.

이는 열 전도 방정식을 만족하는 함수 가 공간과 시간에 걸쳐 특정 영역 내에서 어떻게 변화하는지를 나타낸다.

우리는 1차원 고체 막대에 대한 열전도 방정식 $u_{t}=u_{xx}$, $0\le t \le T$, $0\le t \le l$
에서 Maximum principle을 설명하고 증명하고자 한다.

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If $u(x,t)$ satisfies the equation, $u_{t}=u_{xx}$ in a rectangle (say, $0\le x \le 1$, $0\le t \le 1$) in space time, then the maximum value of $u(x,t)$ is assumed either initially $t=0$ or on the lateral side ($x=0$ or $x=1$)

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증명

증명하기 앞서서, (고등학교 수준의) 미적분학의 매우 중요한 사실을 집고 넘어가고자 한다.

• 최대값 존재 함수 $f: \mathbb R \to \mathbb R$가 닫힌 구간 $[a, b]$에서 연속이면, 함수 $f$는 구간 $[a, b]$에서 최댓값과 최솟값을 가진다.

마찬가지로, $u$도 (정사각형영역 $0\le t \le 1$, $0\le t \le 1$에서) 최댓값과 최솟값을 가진다.

• 미분계수 판정법 함수 $f:[0,1]\to \mathbb{R}$이 $(0,1)$에서 미분가능한 연속함수라 하자. 그리고, $x=c$에서 $f(x)$가 최댓값을 가진다고 하자. 그러면, $c$는 경계$\{0,1\}$에 속하거나 $f'(c)=0$이다.

• 이계도함수 판정법 함수 $f:[0,1]\to \mathbb{R}$이 $(0,1)$에서 두번 미분가능한 연속함수라 하자. 그리고, $x=c$에서 $f(x)$가 최댓값을 가진다고 하자. 그러면, $c$는 경계$\{0,1\}$에 속하거나 $f''(c)\le 0$이다.

예시 만약 $t_0,x_0$가 정사각형 내부($0 < t_0 < 1$, $0 < t < 1$)에 있고, $u(t_0,x_0)$에서 최대값을 가진다면,

• $u_t(t_0,x_0) = 0$이어야 하고, 따라서 $u_t=u_{xx}$이므로
• $u_{xx}(t_0,x_0) = 0$이어야 한다.

함수 $v$를 $v(x,t)= u(x,t) +\epsilon x^2$으로 정의하자. 여기서, $\epsilon >0$은 임의의 양수이다.

그러면,

$v_t-v_{xx} =-2\epsilon<0$ 이다.

만약 $t_0,x_0$가 정사각형 내부($0 < t_0 < 1$, $0 < t < 1$)에 있고, $v(t_0,x_0)$에서 최대값을 가진다면,

• $v_t(t_0,x_0) = 0$이어야 하고, 따라서 $v_t<v_{xx}$이므로
• $v_{xx}(t_0,x_0) > 0$이어야 한다.

그러나, 이 경우는 이계도함수 판정법$v_{xx}(t_0,x_0) \le 0$에 의하여 모순이다.

따라서, 최대값은 정사각형의 경계에 있어야한다. 만약, $t_0=1$에서 최댓값을 가진다고 가정하자.

$v(x,1)$에 대해서, 미분계수 판정법을 적용하여 $v_x(x_0,1)$에서 최대값을 가진다면,

• $v_x(x_0,1)=0$ 그리고 이계도함수판정법에 의해서 $v_{xx}(x_0,1) \le 0$이다.
• 그러나, $v_t(x_0,1)\ge 0$ 이므로, $0\le v_t(x_0,1) < v_{xx}(x_0,1)$이고, 이는 모순이다.

$v_t(x_0,1)\ge 0$인 이유 : ($\because v(x_0,1)\ge v(x_0,1-\delta$) for all $1>\delta>0$)
$v_t(x_0,1)=\lim_{\delta \to 0^+} \frac{v(x_0,1)-v(x_0,1-\delta)}{\delta}\ge 0.$

따라서, ($v$가 최대값을 가지므로) $v$의 최대값은 $t=0$ 또는 $x=0$ 또는 $x=1$에 있어야 한다.

$t=0$ 또는 $x=0$ 또는 $x=1$에서의 $u$의 최대값을 $M$이라 하자. 그러면, $v=u+\epsilon x^2$이므로

$\max v = \max_{x=0 \text{ or } x=1 \text{ or } t=1} v \le \max_{x=0 \text{ or } x=1 \text{ or } t=1} u + \epsilon$

즉, $v \le M + \epsilon$이다. 따라서, 정사각형 내부의 $(x,t)$에 대해서

$u(x,t) \le M + \epsilon(1-x^2) \le M+\epsilon$이다. $\epsilon$을 0으로 보내어,

$u(x,t) \le M$을 얻는다.

Maximum principle의 의의

열전도 방정식에 의하면, 온도 분포가 시간이 지남에 따라 부드러워지는 이유는 최대 원리(Maximum Principle)가 열전도 과정에서 온도 분포의 극단값이 어떻게 변화하는지를 설명하기 때문이다. 최대 원리를 함수 $u$에 적용하면 최대 온도가 초기 조건이나 경계 조건에서만 발생함을 알 수 있다. 마찬가지로, 이 원리를 $-u$에 적용하면 최소값도 초기 조건이나 경계 조건에서만 발생한다는 것을 알 수 있습니다. 이것이 의미하는 바는 다음과 같다:

• 온도의 극단값은 시간이 지남에 따라 내부에서 새롭게 생성되지 않는다: 이는 열전도 과정이 시간에 따라 온도 분포를 더 균일하게 만들며, 초기에 존재하지 않았던 온도의 극단적인 변화나 "스파이크"가 시간이 지남에 따라 내부에서 발생하지 않음을 의미한다.

• 온도 분포의 평활화(smooth): 온도 분포가 시간이 지나면서 부드러워지는 현상은 열이 고온 지역에서 저온 지역으로 흐르면서 온도 차이를 줄여가는 과정 때문이다. 최대 원리는 이러한 열의 흐름이 온도 분포를 점차적으로 더 평활하게 만들며, 궁극적으로는 온도가 더 균일한 상태로 수렴하게 됨을 보여준다.

• 온도 변화의 예측 가능성: 최대 원리와 최소 원리는 온도 분포의 변화를 예측하는 데 있어서 중요한 도구이다. 이 원리들은 특정 시간에 온도 분포가 어떤 형태를 취할지에 대한 이해를 돕고, 시스템이 어떻게 반응할지 예측할 수 있는 기반을 제공한다.

이러한 이유로, 최대 원리와 함께 최소 원리는 열전도 방정식을 해석하고 이해하는 데 있어 매우 중요합니다. 이 원리들은 열전도 과정이 시간에 따라 온도 분포를 어떻게 평활화시키는지, 그리고 이러한 변화가 어떻게 초기 조건과 경계 조건에 의해 결정되는지에 대한 깊은 통찰을 제공한다.

초기 및 경계조건의 중요성

Maximum principle은 초기$t=0$의 온도분포와 경계의 온도분포가 가지고 있는 정보의 중요성을 시사한다.

이러한 물리학적 직관의 수학적 기술은 다음과 같다.

• 경계에서의 온도$u(0,t)=u(1,t)$가 0이라고 하자. 그러면,
  $0=0\cdot u = (u_t-u_{xx})\cdot u = \frac{1}{2}\frac{d}{dt}(u^2)-(u_xu)_x +u_x^2$이다. 여기서 양변을 $x$에 대해 적분하고 ($t$에 대한 미분의 순서를 바꾸어) 다음을 얻는다.
  $\frac{d}{dt}\int \frac{1}{2} u^2 dx=\left.u_xu\right|_{x=0}^{x=1}-\int u_x^2 dx=-\int u_x^2 dx\le0$을 얻는다. 즉,
  $\int \frac{1}{2} u^2 dx$은 점점 감소한다. ($u$가 시간에 대해서 연속적으로 미분가능하고 위치에대해서 연속적으로 두번 미분가능하다고 가정한다),

위의 사실을 응용하면, $u_t-u_{xx}=f(x,t)$ (diffusion equation)의 해의 유일성을 증명할 수 있다. (단, 초기 및 경계(시간에 따른) 데이터가 주어져야함)

• $u_1$ 그리고 $u_2$가 경계에서의 온도$u_i(0,t)=u_i(1,t)$가 0인 주어진 열전도방정식의 해라고 하자. 그러면, $\int \frac{1}{2} (u_1-u_2)^2 dx$가 점점 감소하므로,
  $\int \frac{1}{2} (u_1(x,t)-u_2(x,t))^2 dx\le\int \frac{1}{2} (u_1(x,0)-u_2(x,0))^2 dx$을 만족한다.

즉, $t=0$일때의 $u_1,u_2$ 분포는 시간에 지남에 따라서 점점 가까워지며, 초기 분포가 비슷하다면(즉, 우변이 0에 가깝다면) 현재 분포가 비슷하다 (좌변이 0에 가깝다.).

• $u_1$ 그리고 $u_2$가 경계에서의 온도$u_i(0,t)=u_i(1,t)$가 0인 주어진 열전도방정식의 해라고 하자. 그러면 $u_1(x,t)-u_2(x,t)$에 대해서 Maximum principle을 적용하면, $u_1(x,t)-u_2(x,t)$의 최댓값은 초기에 있으므로, (마찬가지로 $-u_1(x,t)-u_2(x,t)$의 최댓값이 초기에 있으므로)
  $|u_1(x,t)-u_2(x,t)| \le \max |u_1(x,0)-u_2(x,0)|$이 성립한다.

이것이 시사하는바는 초기의 두 분포가 uniform하게 비슷하다면, 시간에 지나도 그들은 uniform하게 비슷함을 의미한다.

확산방정식과 해

이전에, 다룬 Maximum principle은 오직 정의역이 제한된 경우에만 (유한한 길이의 고체막대의 열전도 현상처럼) 성립한다. 즉 그렇다면, $u$의 정의역을 무한히 늘리면 어떻게 될까? 이 경우, 매우 신기한 일이 벌어진다.

위의 방정식은 (열전도방정식과 완전히 같지만) 확산(diffusion) 방정식이라고 부르는 것이 좋다. Diffusion이라는 이름은, 비가역성을 강조하기 때문이다.

비가역적 과정: 한 번 확산이 일어나면, 물질의 원래 농도 분포로 돌아가는 것은 자연스럽게 일어나지 않는다. 초기 상태를 정확히 복원할 수 없는 비가역적 과정이다.

$u_t = u_{xx}, \quad x \in \mathbb{R}, \ 0<t<\infty$

$u(x,0)=\phi(x)$

여기서 $u(x,t)$는 위치 $x$와 시간 $t$에서의 물질의 농도(또는 온도)를 나타내고, $\phi(x)$는 초기 농도(또는 온도) 분포를 나타내는 함수이다.

Source function

Source function $S(x,t)$이란, (Green function) 편미분방정식 풀이과정에 등장하는 특수한 함수로, 다음을 만족한다.

• $S$는 $u$와 동일한 (초기조건은 다른) 편미분방정식 (여기서는) $S_t=S_{xx}$를 만족한다.
• Source function과 초기조건을 결합하여, 임의의 초기조건에 대한 해를 구할 수 있다. 자세히 말해서,
  $u(x,t)=\int S(x-y,t) \phi(y) dy$는 편미분 방정식
  $u_t = u_{xx}, \quad x \in \mathbb{R}, \ 0<t<\infty$
  $u(x,0)=\phi(x)$의 해이다.

그렇다면, 저러한 $S$를 어떻게 찾을 수 있을까? $S(x,t)$, 즉 소스 함수(또는 그린 함수)를 찾는 과정은 편미분 방정식의 특성과 해의 구조에 대한 깊은 이해를 필요로 한다.

전략 1
먼저, 변수의 개수를 줄여야한다. 다시말해서, $S(x,t)$를 $f(p), \ p=h(x,t)$로 나타내고자 하는 것이다. 그럼 $h$를 어떻게 설정해야 할까? 스스로 고민 하기 위하여 (필요없는) 계산을 수행하자. (윗줄과 아랫줄이 같음을 인지할 것)
$S_t = f'(p)\frac{\partial{p}}{\partial t}$
$S_{xx} = f'(p)\frac{\partial^2 p}{\partial x^2}+f''(p)\left(\frac{\partial p}{\partial x}\right)^2$

$f$를 쉽게 구하기 위해서는, $p$가 잘 설정되어서 위의 $f$에 대한 조건식이 간단해져야 할 것이다.

전략 2
대칭성을 활용해야한다. 편미분방정식에서 대칭성이란, 단순히 특정 변수변환을 적용해도 그 함수가 해라는 것을 의미한다. 예를들어서, $u$가 해일 때, $t$ 대신 $2t$를 대입하면, $\frac{\partial}{\partial t}u(x,2t)$가 달라지므로, 더이상 해임을 보장할 수 없다. Diffusion equation에서 찾을 수 있는 대칭성은 다음과 같다.

• 모든 $y$에 대해서 Translation $u(x-y,t)$ 역시 해이다.
• 모든 $a$에 대해서 dilated $u(\sqrt{a} x, at)$ 역시 해이다.

Source function Motivation
Translation에 대한 관찰은 다음과 같은 수식이 쓰여진 동기를 드러낸다.

$u(x,t)=\int S(x-y,t) \phi(y) dy$

더 나아가서, $\phi(y)$가 무엇이든 간에, $S_{xx}= S_{t}$를 만족한다면, $u_{xx}=u_t$를 만족한다. 왜냐하면,

$u_{xx}=\frac{\partial^2}{\partial x^2}\int S(x-y,t)\phi(y)dy=\int S_{xx}(x-y,t)\phi(y) dy$ 이고

$u_t = \frac{\partial}{\partial t}\int S(x-y,t)\phi(y)dy=\int S_{t}(x-y,t)\phi(y) dy$ 인데,
적분기호 내부가 동일하므로, 두 식이 같기 때문이다.

그리고, 우리의 source function은 (임의의) $\phi$에 대해서,
$u(x,0)=\phi(x)=\int S(x-y,0)\phi(y) dy$를 만족해야한다.

미적분학의 기본정리에 의하여, (단, $\phi$가 양 끝($-\infty,\infty$)에서 0이 됨을 가정.)

$\phi(x)=\int_{-\infty}^x \phi'(y) dy$ 이고, 다르게 적으면,
$\phi(x) = \int H(x-y)\phi'(y)dy$, where
$H(x)=1$ for $x\ge 0$ and $H(x)=0$ for $x<0$이다. 위의 함수 $H$를 헤비사이드 함수라고 부른다.

그리고 $H(x,0)$이 헤비사이드이고, $t>0$에 대해서는 $H_{xx}=H_t$와
$u(x,t)=\int H(x-y,t) \phi'(y) dy$를 모두 만족시키는 함수 $H$ (이 걸 찾는 것이 핵심이므로 설명을 미루도록 하겠다.)에 대해서 우리는 다음을 얻는다.

$u(x,t)=\int H(x-y,t) \phi'(y) dy, \ t\ge 0$.

부분적분법을 적용하여,

$\int H(x-y,t) \phi'(y) dy = \left. H(x-y)\phi(y) \right|_{y=-\infty}^{y=\infty}+\int\frac{\partial}{\partial x}H(x-y,t) \phi(y) dy$

그리고, $\phi$가 양 끝($-\infty,\infty$)에서 0이 됨을 가정하여,

$u(x,t)=\int H(x-y,t) \phi'(y) dy = \int\frac{\partial}{\partial x}H(x-y,t) \phi(y) dy$를 얻는다.
즉, 우리가 찾는 source function $S$는 다음과 같다.

$S(x,t)=\frac{\partial}{\partial x}H(x,t), \quad t>0.$ ($S_{xx}=S_t$를 확인하자.)

안타깝게도, 위의 수식은 $t=0$일 때의 $S$를 기술하지 못한다. 왜냐하면, $H(x,0)$은 $x=0$에서 미분불가능하기 때문이다. 즉, $S(x,0)$은 정의되지 않는다.

간략하게 설명하자면, $H(x,0)$을 확장하여 $t>0$에 대해서도 정의할 수 있으며,(다음 쳅터에서 다룬다.) 이렇게 구한 결과는, $H(x,t)$가 $x$에 대해서 미분이 가능한 함수이다. 그래서, $H(x,t)$를 편미분하여, $S(x,t)$를 다음과 같이 얻을 수 있고, (놀랍게도 정규분포다!)
$S(x,t) = \frac{1}{\sqrt{4\pi t}} e^{-\frac{x^2}{4 t}}=\frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma}}e^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}}, \ \sigma = \sqrt{2t}$, 이는 (위에서 보인 논리에 의해서) 다음을 만족시킨다. For $t>0$,
$u(x,t)=\int H(x-y,t) \phi'(y) dy = \int S(x-y,t) \phi(y) dy.$

그러나, $t=0$인 경우 원점에서 편미분$\frac{\partial H}{\partial x}$가 불가능하다. 다시 말해서 $S(x,0)$은 단순히 $S(x,t)=\frac{\partial}{\partial x}H(x,t)$으로 구할 수 없다.

Dirac delta function

사실 $S(x,0)=\delta(x)$라 적을 수 있다. 여기서 $\delta$는 델타 함수(distribution), 또는 디랙 델타 함수(영어: Dirac delta function)를 뜻한다. 이것은 수학자 시메옹 드니 푸아송(1815)와 오귀스탱 루이 코시(1816)가 푸리에 적분 정리를 연구하면서 처음 고안하였다.

위에서, $S(x,0)$이 정의되지 않는다고 했지만, 사실은 그렇지 않다. 함수 $S$는 diffusion kernel이라는 이름이 붙어 있는 매우 중요한 함수이고, $t=0$일 때의 $S$는 디렉델타함수라는 매우 중요한 수학적 대상이다.

(그러나, 디렉델타 함수는 함수가 아니라 분포이다. 수학적으로 엄밀하게 기술되지 못한 채로, 많은 세월동안 응용되었으며, 디렉델타함수를 엄밀하게 다루는 것은 1950년대 이후에 가능하게 되었다.)

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디렉델타 함수란 무엇인가?(by GPT4)

디렉델타 함수 $\delta(x)$는 일반적인 함수의 개념을 넘어서는 특별한 '함수'입니다. 이것은 특정 위치에서만 무한대의 값을 가지고, 그 외의 모든 위치에서는 0의 값을 가집니다. 수학적으로 엄밀하게 말하자면, 디렉델타 함수는 분포(distribution)입니다. 디렉델타 함수의 가장 중요한 특성 중 하나는 다음 적분과 같이 표현됩니다:

그리고 $f(x)$가 연속인 어떤 함수에 대하여, 디렉델타 함수는 다음과 같은 성질을 가집니다:

이 성질은 $\delta(x-a)$가 $x=a$에서만 무한대의 값을 가지고, 나머지 지점에서는 0이 되어, 적분이 $f(a)$의 값 하나만을 '픽업(pick up)'하는 것처럼 작동한다는 것을 의미합니다. 따라서, 디렉델타 함수는 특정 지점의 함수 값을 추출하는 필터 역할을 합니다. 이러한 특성 때문에 디렉델타 함수는 물리학과 공학 등 다양한 분야에서 유용하게 사용됩니다.

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분포이론에 따르면, 헤비사이드 함수 $H$의 미분(분포 도함수)는 디렉델타함수이다. 다시말해서,
$S(x,0)=\frac{\partial}{\partial x}H(x,0) = \delta(x)$이므로, $S(x,t)=\frac{\partial}{\partial x}H(x,t)$이 $S$를 $t=0$에서도 잘 정의한다.

그렇다면, 정말로, $S(x,0)$이 디렉델타 함수$\delta(x)$인가?

그렇다. 이것의 근거는 다음과 같다.

• 근거 1 만약 $S(x,0)$이 디렉델타 함수$\delta(x)$이면, $\phi(y)=\int H(x-y,0) \phi'(y) dy = \int \delta(x-y) \phi(y) dy$에 의하여, $\phi(y) = \int S(x-y,0) \phi(y) dy$를 만족시킨다.

• 근거 2 $\lim_{t\to 0^+} S(x,t)=\delta(x)$이다. (아래 참고)

근거 2는, $u$의 연속성에 의해서 요구되는 것이다. 자세히 말해서, $u(x,0)=\phi(x)$이고, $u$가 연속이므로 (불연속이면, 초기 조건이 아무 의미없고 해가 결정되지 않을 것이다.)

$\lim_{t\to 0^+} u(x,t)= \phi(x) = \lim_{t\to 0^+}\int S(x-y,t) \phi(y)dy$
이 요구된다. 그리고 임의의 (test 함수) $\phi$에 대해서 등식$\phi(x) = \lim_{t\to 0^+}\int S(x-y,t) \phi(y)dy$이 성립할 때, 우리는 단순히 $\lim_{t\to 0^+} S(x,t)=\delta(x)$이라 적는다.

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주의 : 수학적으로 완전히 엄밀하지는 않은 내용임을 감안하자.
$t>0$인 경우 $\int S(x,t) dx = 1$ 이고, 모든 $x\ne 0$에 대해서,
$\lim_{t\to 0^+} S(x,t)=0$ 그리고 $\lim_{t\to 0^+}S(0,t)=\infty$를 만족한다.

그리고, $\lim_{t\to 0^+} \int S(x-y,t) \phi(y) dy= \lim_{t\to 0^+} \int H(x-y,t) \phi'(y) dy$

$H\le 1$이고 연속이기 때문에 (다음 섹션에서 그러한 $H$를 찾는다.)

적분과 극한의 순서를 바꿀 수 있고 ( $\phi$에 대한 조건이 더 있어야, 순서 바꿀 수 있음이 증명 가능)

$\lim_{t\to 0^+} \int S(x-y,t) \phi(y) dy= \int \lim_{t\to 0^+}H(x-y,t) \phi'(y) dy$

이고, $\lim_{t\to 0^+}H(x-y,t)=H(x-y,0)$이므로
$\int \lim_{t\to 0^+}H(x-y,t) \phi'(y) dy = \phi(x)$
이다. ($\phi(-\infty)=0$ 필요)

따라서, $\lim_{t\to 0^+} S(x,t)=\delta(x)$이다.

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즉, 우리는 디렉델타 함수의 도움으로 $S(x,t)=\frac{\partial}{\partial x}H(x,t)$ for $t\ge 0$을 얻는다. ($t=0$을 포함하였다!)

$H$를 찾아라. (Solution of the diffusion equation.)

• $u$가 해이면, $(x,t)\mapsto u(\sqrt{a}x,at)$도 해이다.

그런 이유로, $x,t$ 대신 $\sqrt{a}x,at$를 대입해도 동일한 함수 중에서 특수 해$H$를 찾고자 한다. 즉,

$H(x,t)=H(\sqrt{a}x,at)$ 이러한 것을 만족하는 함수는

$H(x,t)=g(p), \ p =\frac{x}{2\sqrt{t}}$로 적을 수 있다. 여기서 2로 나눈 것은, 단순히 (이후의) 계산을 편하게 하기 위해서이다.

$H_t = \frac{dg}{dp}\frac{\partial p}{\partial t}=-\frac{x}{4t\sqrt{t}}g'(p)$

그리고

$H_x=\frac{dg}{dp}\frac{\partial p}{\partial x}=\frac{1}{2\sqrt{t}}g'(p)$ 이고 (같은 방식으로 계산하면)
$H_{xx}=\frac{1}{4t}g''(p)$이다. 따라서 ($\because H_{xx}=H_t$)
$g''+2pg'=0$이다.

이러한 미분방정식을 만족하는 $g$는 Integral factor를 곱해서 풀 수 있으며, 이 경우에는 Integral factor가 $\exp(p^2)$이다. 즉, 위의 식은 아래 식과 동치이다.
$\frac{d}{dp}[\exp(p^2)g']=0$
따라서,
$g(p)= c_1\int\exp(-p^2)dp+c_2$이다.

$c_1$과 $c_2$를 결정하기 위해서는 $H(x,0)$이 있어야한다. 우리는 다음과 같은 함수 (헤비사이드)를 제안하였다.

• $H(x,0)=1, \quad x>0$
• $H(x,0)=0, \quad x<0$
  그리고 $H(0,0)$은 어떻게 정의하든 (이 풀이법에서) 상관없다.

그러면,
$x>0$인 경우, $p\to \infty$ as $t\to 0^+$이고
$x<0$인 경우, $p\to -\infty$ as $t\to 0^+$이므로,
$\lim_{t\to 0^+} H(x,t)=c_1\int_{0}^\infty \exp(-p^2)dp +c_2, \ x>0$이고
$\lim_{t\to 0^+} H(x,t)=c_1\int_{0}^{-\infty} \exp(-p^2)dp +c_2, \ x<0$이다.

$H$가 연속이어야, $u(x,t) = \int S(x-y,t) \phi(y) dy= \int H(x-y,t) \phi'(y) dy$가 연속이 된다. (근데, 불연속점 1개 정도는 아무 영향 없음)

$H$의 연속성을 가정하여 (단 원점은 제외하고) 다음을 얻는다.

$c_1\int_{0}^\infty \exp(-p^2)dp +c_2=S(x,0)=1, \ x>0$ 그리고

$c_1\int_{0}^{-\infty} \exp(-p^2)dp +c_2=S(x,0)=0, \ x<0$.

따라서, (가우스 적분에 의해서) $c_1=1/\int_{-\infty}^\infty \exp(-p^2)dp=\frac{1}{\sqrt{\pi}}$ 그리고 $c_2=\frac{1}{2}$이다.

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$H(x,t) = \frac{1}{2} + \frac{1}{\sqrt{\pi}} \int_0^{p} e^{-p^2} dp, \ p=\frac{x}{2\sqrt{t}}.$

If $t=0$, then $H(x,0)$ is defined as the Heaviside funtion.

따라서,

$S(x,t)=\frac{\partial }{\partial x}H(x,t)=\frac{1}{\sqrt{4\pi t}}e^{-x^2/(4t)}$이고,

$u(x,t) = \int \frac{1}{\sqrt{4\pi t}}e^{-(x-y)^2/(4t)}\phi(y)dy$ 이다.

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해의 존재성과 유일성을 보장하라.

해의 존재성 증명
열방정식 해의 공식을 유도하는 과정에서, 특정 가정을 사용했다. 이 가정들은 초기 조건 함수 $\phi$가 미분 가능하고, $\phi(\pm \infty) = 0$이라는 것을 포함한다. 사실은, (적분기호와 편미분기호의 순서를 바꾸는 것까지 정당화해야하므로) 어떤 유한한 범위 $R$를 벗어나면 $\phi(x) = 0$인, 소위 말하는 compact support의 존재가 필요하다. 즉 compact support 조건과 미분가능성이 있어야, 해를 구하는 과정을 정당화할 수 있다.

하지만, 더 약한 조건을 가진 $\phi$에 대해서도 해를 찾을 수 있다. 예를 들어, $\phi(x) = e^{-x}$인 경우에는, $x = -\infty$에서 $\phi$가 무한대로 가므로, 위에서 언급된 가정에 정확히 맞지 않는다. 그럼에도 불구하고, 이 경우에 대해 우리의 공식을 적용하면 $u(x,t) = e^{t-x}$라는 해를 얻을 수 있으며, 이 해는 열방정식을 만족한다.

그러므로, 우리는 해의 존재성을 보장하는 조건을 제시하고 그 조건의 타당함을 증명하여야 한다.

해의 유일성

해가 존재한다고 해도, 유일하지 않을 수 있으며,유일성을 증명하기 위해서는 Maximum principle이 필요하다.

해가 유일하지 않음을 보여주기 위해서,

$u_t = u_{xx}$
$u(x,0)=0, x\in \mathbb{R}$을 생각하자.

그러면, $u=0$이라는 당연한 해 외에도 Tychonov’s solution이라 불리는 해들이 존재한다.

그러나 결코 여기서 결론 내리고 끝내면 안되고, 어떤 조건에서 존재성 및 유일성이 보장되는지 살펴보아야 할 것이다.

그렇다면, 해의 존재성 및 유일성을 보장하는 초기 조건은 어떻게 될까?

알려진 내용에 따르면, $u(x,t)\le Me^{A|x^2|}, \quad \forall x \in R$이라는 조건이 $t<\frac{1}{4A}$에서 해의 존재성과 유일성을 보장한다.

그러나, 논의를 단순하게 하기위해 다음 정리들을 증명하도록 하겠다.

---

정리 만약, $\phi$가 실수위에서 정의된 연속함수이고, $M$이 있어서, 다음을 만족하면

$\phi(x) \le M, \quad \forall x \in R$,

해가 존재한다. 더 나아가서, 만약
$u(x,t) \le M \quad \forall (x , t) \in \mathbb{R} \times [0,\infty)$
를 만족하면 해는 유일하다.

그리고 그 해는
$u(x,t)= \int \frac{1}{\sqrt{4\pi t}}e^{-(x-y)^2/(4t)}\phi(y)dy$ 이다.

Lemma
$\phi$가 실수위에서 정의된 연속함수이고, $M$이 있어서, 다음을 만족한다고 하자.

$\phi(x) \le M, \quad \forall x \in R$.

함수 $E$가 연속적으로 $x,t$에 대해 미분 가능하고 ( $x,t$에 대해 편미분한 것이 각각 연속이고) 그 미분한 것이 유계이고 (즉, 모든 $y$에 대해서 $\frac{\partial}{\partial x }E(x-y,t)$와 $\frac{\partial}{\partial t }E(x-y,t)$이 어떤 상수 $A$ (it may depends on $x,t$)보다 작으면) $x$에 대해서 적분가능하면 (즉, $|\int E(x,t) dx|$이 유한하면)

다음과 같이 정의된

$v(x,t)=\int \phi(y) E(x-y,t) dy$

함수 $v$가 미분이 가능하고 그 미분이 연속이다. 게다가, 적분기호와 미분기호의 순서를 바꿀 수 있다. 다시말해서,

$\frac{\partial}{\partial x }v(x,t)=\int \phi(y)\frac{\partial}{\partial x }E(x-y,t) dy$이고 $\frac{\partial}{\partial t }v(x,t)=\int \phi(y)\frac{\partial}{\partial t }E(x-y,t) dy$이다.

존재성 증명
먼저, $u$가 무한번 미분가능함을 증명하자. $S(x-y,t)=\frac{1}{\sqrt{4\pi t}}e^{-(x-y)^2/(4t)}$가 $x$와 $t$에 대해서 무한번 미분가능하고 (몇번을 어떻게 미분하든) 도함수가 유계이며 $x$에 대해서 적분가능함을 관찰하자. 다시 말해서, 자연수 $a,b$에 대해서 $A>0$이 존재해서

$\forall y \in \mathbb{R}$에 대해서, $\frac{\partial^{a+b}}{\partial x^a \partial t^b}S(x-y,t) \le A$를 만족하고 $\int |\frac{\partial^{a+b}}{\partial x^a \partial t^b}S(x-y,t)| dx$가 유한하다.

따라서 (바로 위 Lemma 참고) $u$는 무한번 미분 가능하다. 그리고, 연산자 $L:=\frac{\partial}{\partial t}-\frac{\partial^2}{\partial x^2}$에 대해서, 다음과 같이 (적분기호와) 교환가능하므로 (Lemma 연속 적용하여 증명하면 됨) $u$가 해이다.

$(\frac{\partial}{\partial t}-\frac{\partial^2}{\partial x^2}) u(x,t)=\int \phi(y) (\frac{\partial S(x-y,t)}{\partial t}-\frac{\partial^2 S(x-y,y)}{\partial x^2} )dy = 0.$

이제, $u$의 초기조건이 타당함을 증명하자. 즉, 우리는 임의의 $x_0$에 대해서, 다음을 증명하고자 한다.

$\lim_{(x,t) \to (x_0,0^+)} u(x,t) = \phi(x_0)$

먼저, $\phi(x_0)=0$인 경우를 증명하자.

$\phi(x_0)=0$이므로, 임의의 양수 $\epsilon>0$에 대해서, $\delta>0$가 존재해서, 다음을 만족시킨다. $\phi(x)$의 연속성 이용.

$|x-x_0|<\delta \implies \phi(x) <\epsilon$

따라서, 모든 $x$에 대해서,

$I=[x_0-\delta,x_0+\delta]$라 하자.

$|\int \phi(y) S(x_0-y,t) dy| \le \int_I |\phi(y)|S(x_0-y,t) dy+\int_{\mathbb{R}\setminus I} |\phi(y)|S(x_0-y,t)dy$
$\qquad \qquad \qquad \qquad \quad \ \le \int_I \epsilon S(x_0-y,t) dy + M \int_{\mathbb{R}\setminus I} S(x_0-y,t) dy$
$\qquad \qquad \qquad \qquad \quad \ \le \epsilon + 2M\int_{\delta}^\infty \frac{1}{\sqrt{4 \pi t}}e^{-y^2/(4t)}dy$

$\int_{\delta}^\infty \frac{1}{\sqrt{4 \pi t}}e^{-y^2/(4t)}dy= \int_{\delta/(\sqrt{2t})}^\infty \frac{1}{\sqrt{2\pi }}e^{-s^2/2}ds$ $(s=y/\sqrt{2t})$이고,

• $\delta/(\sqrt{2t})\to \infty$ as $t\to 0^+$이므로, $\lim_{t\to 0^+}\int_{\delta/(\sqrt{2t})}^\infty \frac{1}{\sqrt{2\pi }}e^{- s^2/2}ds =0$이다.

따라서, 마지막 항 $2M\int_{\delta}^\infty \frac{1}{\sqrt{4 \pi t}}e^{-y^2/(4t)}dy\to 0$ as $t\to 0^+$이다. 즉, $\lim_{t\to 0^+}|\int \phi(y) S(x_0-y,t) dy|\le \epsilon$이다. 한편, $\epsilon$은 임의의 양수이므로, $\lim_{t\to 0^+}u(x,t)=\lim_{t\to 0^+}\int \phi(y) S(x_0-y,t)=0$을 얻는다.

$0=\phi(x_0)$인 경우의 증명이 끝났으며, 이제 $k=\phi(x_0)$라 하자. 그리고 $\phi_0(x)=\phi(x)-k$라 하고 대응하는 해를 $u_0$라 하자. Source함수의 적분$\int S(x-y,t)dx$은 $t$에 관계없이 1이므로 $\int (\phi_0(y)+k)S(x-y,t)dy=u_0(x,t) + k$라서, $u(x,t)=u_0(x,t)$임을 얻는다. 따라서 $\lim_{t\to 0^+}u(x_0,t)=\lim_{t\to 0^+}u_0(x_0,t)+k=k$ 이다. 한편, $u$가 $t>0$인 영역에서 연속함수이고, $\phi$가 연속함수이므로, $\lim_{(x,t)\to (x_0,0^+)}u(x,t) = \lim_{t\to 0^+} u(x_0,t)= \phi(x_0)$를 만족한다.

Maximum principle

만약 $\phi:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$이 연속이고,
만약, $u(x,t) \le M$ $\forall (x,t) \in \mathbb{R} \times [0,\infty)$이고

다음 편미분방정식의 해라고 하자.

$u_{xx}=u_t$ in $\mathbb{R}\times [0,\infty)$
$u(x,0)=\phi(x)$ where $x\in\mathbb{R}$

그러면, $\sup_{x \in \mathbb{R}}\phi(x)=\sup_{\mathbb{R}\times[0,\infty)} u$이다.

증명

앞서 증명한 특수한 경우의 최대 원리를 응용하면 된다.

만약 $u(x,t)$가 직사각형 영역($0\le x \le 1$, $0\le t \le 1$)에서 방정식 $u_{t}=u_{xx}$를 만족한다면, $u(x,t)$의 최대값은 초기 $t=0$ 또는 측면($x=0$ 또는 $x=1$)에서 가정된다.
이 내용을 조금 더 일반화하면 다음과 같다.
만약 $u(x,t)$가 직사각형 영역($|x-y|\le R$, $0\le t \le T$)에서 방정식 $u_{t}=u_{xx}$를 만족한다면, $u(x,t)$의 최대값은 초기 $t=0$ 또는 측면($|x-y|=R$)에서 가정된다. 여기서, $y$는 $t=0$ 도메인의 정중앙 $\frac{\alpha+\beta}{2}$이고, $R$은 주어진 직사각형 영역의 너비/2$=(\beta-\alpha)/2$이며, $T$는 높이다.

이 정리는 주어진 직사각형 영역에서 함수 $u$가 최대값을 영역의 측면과 바닥에서 가진다고 말해준다.

직사각형 영역에 반복적으로 적용하기: $|x-y| \le R$, $0 \le t \le T$에 대한 직사각형 영역을 고려하여, $R$과 $T$를 점차적으로 증가시켜 전체 $\mathbb{R}\times [0,\infty)$ 도메인을 커버할 수 있다. 이 과정에서, 각 직사각형 영역 내에서의 최대값은 초기 또는 측면에서 발생하게 된다.

여기서 까다로운 점은 측면(the lateral side)에서 최대값을 가지는 경우를 제거하는 것이다. 만약 측면에서 최대값을 가지는 경우가 없다면, 임의의 $x_0, y_0$에 대해 $u(x_0, t_0)$보다 $x_0, t_0$를 포함한 직사각형의 바닥에서의 최대값이 더 크거나 같게 되므로, 결과적으로 $u(x_0, t_0)$는 바닥에서의 최대값과 같게 된다. 그래서 측면에서의 최대값이 나오는 경우를 해결하기 위해, 양수 $\epsilon$을 임의로 고르고, 다음과 같은 함수를 정의한다.

$v = u(x,t) - \epsilon x^2$

여기서 중요한 점은 $v$도 diffusion equation을 만족하며, 직사각형 영역 $[-R,R] \times [0,T]$에서 최대원리 적용이 가능하다는 점이다. 다만,$v(x,t) \le M - \epsilon x^2$라는 부등식으로인해서, $x$의 절대값이 커짐에 따라 $-\epsilon x^2$ 항 때문에, $v$의 값이 음의 무한대로 가기 때문에, 충분히 큰 $R$를 선택하면, 측면에서의 $v$의 값은 특정 위치에서의 $v$값 (예를들면 $v(0,0)$)보다 항상 작게된다. 다시 말해서,직사각형 영역 $[-R,R] \times [0,T]$에서 $v$가 최대값을 측면에서는 가질 수 없으므로 (아래 참고), 최대원리에 의해서 최대값을 바닥에서 가진다는 결론에 도달한다.

• $|x|>|M-v(0,0)|/\epsilon \implies v(x,t)\le M-\epsilon x^2 <v(0,0)$. 그러므로 $R$이 충분히 크면 (예를들어, $|M-v(0,0)|$보다 크면), 측면에서의 $v$ 값 $v(\pm R,t)$는 $v(0,0)$보다 작다.

그러면, 최대원리에 의해서 직사각형 영역 $[-R,R] \times [0,T]$에서 $v$의 최대값은 바닦$t=0$에서 가지며,

$\max_{[-R,R] \times [0,T]} v(x,t) \le \max_{[-R,R]} v(x,0) \le \max_{[-R,R]} \phi(x)$

• $v(x,0)=u(x,0)-\epsilon x^2\le u(x,0)$ 여기서 $u(x,0)$을 우리는 $\phi(x)$라 적었다.

$R$이 증가함에 따라서, $\max_{[-R,R] \times [0,T]} v(x,t)$과 $\max_{[-R,R]} u(x,t)$은 증가하므로,

$\sup_{\mathbb{R} \times [0,T]} v(x,t) \le \sup_{\mathbb{R}} \phi(x).$

여기서 $\epsilon\to0$하면, 다음을 얻는다.

$\sup_{\mathbb{R} \times [0,T]} u(x,t) \le \sup_{\mathbb{R}} \phi(x).$

여기서 $T$는 어떠한 값이든 상관없으므로,

$\sup_{\mathbb{R} \times [0,\infty)}u(t,x)\le \sup_{\mathbb{R}} \phi(x)$이며, 다시 말해서, 우리는 무한 영역에서도 함수가 그 최대값을 바닥에서 가짐을 알 수 있다.

유일성 증명

만약 $\phi:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$이 연속이고,
만약, $u(x,t) \le M$ $\forall (x,t) \in \mathbb{R} \times [0,\infty)$이고

다음 편미분방정식의 해는 유일하다.

$u_{xx}-u_t=f(x)$ in $\mathbb{R}\times [0,\infty)$
$u(x,0)=\phi(x)$ where $x\in\mathbb{R}$

증명

해의 존재성은 이미 증명하였으므로, 두 함수 $u_1,u_2$가 해라고 하자. (서로 같을 수 있음)

그리고 $u_1-u_2$와 $-u_1+u_2$는

$v_{xx}-v_t=0$ in $\mathbb{R}\times [0,\infty)$
$v(x,0)=0$ where $x\in\mathbb{R}$

대해서 Maximum principle을 적용하면,
$u_1-u_2\le 0$ 그리고 $u_2-u_1\le 0$을 얻는다. 따라서, $u_1=u_2$이다.

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증명하지는 않은 또 다른 성질들

시간에 따른 부드러움: 확산 방정식의 해는 시간이 지남에 따라 더욱 부드러워지는 성질을 가진다. 이는 초기 조건이 "지저분하게" 생겼다 할지라도($C^1$급), $t>0$에서는 부드러워 지며 ($C^\infty$급), 시간이 지날수록 해가 평활화되어 가며 불규칙성이 줄어든다는 것을 의미한다 (에너지:$u$제곱의 적분가 점점 줄어드는 것으로 확인 가능). 이러한 특성은 물리적 확산 과정에서 높은 농도의 물질이 낮은 농도로 이동하면서 궁극적으로 균일한 분포를 이루는 현상과 일치한다.

해의 안정성

안정성이란, 서로 다른 initial condition $u(x,0)=\phi_1$, $\phi_2$에 대해서 $\phi_1$과 $\phi_2$의 거리가 가까우면 대응되는 두 해의 거리가 가까움을 보장하는 성질이다. 이것을 보이기 위해서는 마찬가지로 Maximum principle이 필요하다. $x\in\mathbb{R}$에서의 열 방정식은 Maximum princeple이 성립하지 않으며, (따라서) 해의 안정성도 보장되지 않는다.

안정성이 성립하지 않음을 보여주기 위해서,

$u_t = u_{xx}$
$u(x,0)= \frac{1}{n} \sin (nx), x\in \mathbb{R}$을 생각하자.

그리고 위의 편미방의 해를 구하면,

$u(x,t) = \frac{1}{n} e^{n^2 t} \sin (nx)$이다. 우리는 $n$이 무한으로 감에 따라서, 초기조건이 0으로 감을 알 수 있다. 그러나, $u$는 0으로 가지 않는다. 그러니까 $t<0$인 영역에서 $\frac{1}{n} e^{n^2 t} \sin (nx)$은 발산한다.

그러나, $u$가 유계이면, 안정성이 보장된다.

확산 방정식에 의미부여

$-\infty<x<\infty$에서의 확산 방정식의 해의 이면에는 정규분포를 따르는 Source function이 존재한다. 정규분포가 열방정식의 source function로서 나오는 것은 신기하다. 그리고, 이것은 우연인 것 같다. 근데, 사실 당연한 것일 수 도 있다. 그러니까, 사실 어떤 확산 방정식을 만족시키는 다른 해를 만드는 함수가 본질적으로 정규분포의 기본 성질들을 만족시켜야했던 것은 아닐까? 확산 과정은 물질의 입자가 무작위적으로 움직이며 시간이 지나면서 공간적으로 분산되는 과정이다. 즉, 확산 방정식의 해는 수많은 무작위 이벤트의 합으로 볼 수 있으며, 중심극한정리에 따라 정규분포가 나온다는 것이 타당하다는 느낌이 직관적으로 든다. (블로그 주인 생각)

물리적 해석

이 단락은, GPT4로 생성함.

확산과 열 흐름

확산 또는 열 흐름의 맥락에서 소스 함수의 개념은 이러한 프로세스가 수학적으로 모델링되는 방식을 이해하는 데 중요한 역할을 합니다. 소스 함수 $S(x,t)$는 물질의 확산(확산의 경우) 또는 열의 소산(열 흐름의 경우)을 시간에 따른 단일 지점 소스로부터의 열 방출을 나타내는 것으로 생각할 수 있습니다. 이러한 확산 또는 소멸은 확산 방정식에 의해 제어되며, 소스 함수는 이 방정식의 기본 해법입니다.

확산의 경우, 염료를 한 지점에서 물에 방출한다고 상상해 보세요. 시간이 지남에 따라 이 염료는 퍼져나가고 특정 지점과 시간의 농도는 확산 방정식으로 설명할 수 있습니다. 이 경우 소스 함수는 처음에 한 지점에 농축된 염료의 단위 질량이 시간이 지남에 따라 어떻게 퍼지는지를 나타냅니다.

열 흐름의 맥락에서 소스 함수는 "핫스팟"에서 발생한 열이 시간이 지남에 따라 막대를 따라 또는 매체를 통해 분산되는 방식을 유사하게 나타냅니다. 시간이 지남에 따라 열은 열원으로부터 멀리 확산되어 열원 지점의 온도가 빠르게 감소하고($S(x,t) \to 0$ as $t \to \infty$ ), 매체 전체에 열이 재분배되는 결과를 초래합니다.

브라운 운동

브라운 운동은 유체 속에 떠 있는 입자의 무작위 운동을 설명하는 물리적 현상입니다. 이 운동은 확산 방정식으로 모델링할 수 있는데, 여기서 소스 함수 $S(x-y)dy$는 한 위치에서 다른 위치로 이동하는 입자의 확률 밀도 함수(pdf)를 나타냅니다. 이 해석에서 $S(x-y)dy$는 처음 $y$ 위치에 있는 입자가 $x$ 근처의 위치로 이동할 확률을 나타냅니다.

초기 확률 밀도 함수 $\phi$를 고려할 때, 가능한 모든 초기 위치 $y$에 대한 $S(x-y)\phi(y) dy$의 적분은 위치 $x$와 시간 $t$에서의 PDF $u$를 제공합니다. 이 적분은 서로 다른 위치에서 시작하는 입자의 모든 기여도를 효과적으로 합산하며, 각 입자는 소스 함수에 의해 설명된 확률에 따라 확산됩니다. 따라서 결과 함수 $u$는 확산 방정식을 만족하며 입자 또는 물질의 초기 분포가 시간에 따라 어떻게 퍼지는지를 설명합니다.

요약

이 단락은, GPT4로 생성함.

열전도와 확산의 이해 🌡️🔍

열전도 방정식 $u_t = u_{xx}$와 그 일반화인 방정식 $u_t = \Delta u$는 열이나 물질이 시간에 따라 공간을 통해 확산되는 방식을 설명하는 기본적인 수학적 모델로 사용됩니다. 이 방정식은 열이나 물질의 분포가 어떻게 변화하는지에 대한 깊은 통찰력을 제공하며, 정확한 이해를 위해 발산 정리와 같은 수학적 개념을 사용합니다.

최대 원리 및 유일성 📈🔵

열전도 방정식의 중요한 특성 중 하나는 열전도 과정에서 온도 분포의 극한값이 초기 상태 또는 영역의 경계에서만 발생할 수 있다는 최대 원리입니다. 이 원칙은 프로세스 중에 내부적으로 극단적인 온도 변화가 발생하지 않으며 분포의 극단값은 초기 또는 경계 조건에 의해서만 결정된다는 것을 강조합니다.

유일성 증명을 위한 최대값 원칙의 필요성

열전도 방정식에 대한 해의 유일성을 증명하기 위해서는 최대 원리가 필수적입니다. 이 원리를 사용하면 동일한 초기 조건과 경계 조건이 주어졌을 때 두 해의 차이가 어느 지점에서든 0을 초과할 수 없음을 보여줌으로써 해가 동일하다는 것을 효과적으로 증명할 수 있습니다.

해의 존재성과 유일성 📚✨

열전도 방정식에 대한 해의 존재와 유일성은 특정 조건 하에서 보장됩니다. 예를 들어, 초기 조건 $\phi$가 연속적이고 $u$가 유계인 있는 경우, 해는 존재할 뿐만 아니라 유일한 해이기도 합니다. 이 요건은 물리 현상을 정확하게 예측하고 모델링하는 데 매우 중요합니다.

물리적 해석 및 응용 🌍💡

소스 함수의 역할을 이해하는 것은 확산 및 열 흐름 프로세스를 모델링하는 데 매우 중요합니다. 확산 방정식의 소스 함수는 단일 점 소스에서 열 또는 물질이 확산되는 것을 나타내며, 브라운 운동과 같은 현상을 설명하는 데 적용될 수 있습니다. 열전도 방정식과 확산 방정식을 통해 우리는 자연계에서 열이나 물질의 이동과 분포에 대한 수학적 이해와 예측 능력을 키울 수 있습니다.

추가 논의

이것도 gpt 4로 생성함.

열 전도와 확산의 수학적 이해를 심화하고 싶다면, 다음과 같은 주제들을 탐구하는 것이 좋습니다. 이 주제들은 열전도 방정식과 확산 방정식을 더 깊이 이해하고, 더 넓은 맥락에서 이러한 개념들을 적용하는 방법을 탐색합니다. 📚🔢

🖥️ PDE를 위한 수치적 방법

• 유한 차분법(Finite Difference Method): 열전도 방정식과 확산 방정식을 수치적으로 풀기 위한 기법을 탐구해봅니다. 이 방법은 PDE의 해를 근사적으로 찾는 데 사용됩니다. 💻
• 유한 요소 분석(Finite Element Analysis): 복잡한 구조물에서 열전도 방정식의 해를 찾기 위해 사용되는 고급 수치 해석 기법에 대해 알아봅니다. 이 방법은 특히 엔지니어링 분야에서 널리 사용됩니다. 🛠️

📈 비선형 PDE와 카오스

• 반응-확산 시스템(Reaction-Diffusion Systems): 화학 반응과 물질의 확산이 결합하여 복잡한 패턴을 생성하는 시스템을 연구합니다. 이러한 시스템은 생물학적 패턴 형성에서부터 생태계 동태까지 다양한 현상을 모델링하는 데 사용됩니다. 🌊🌱
• 카오스 이론(Chaos Theory)과 비선형 역학(Nonlinear Dynamics): 확산 방정식에서 비선형 항이 어떻게 예측 불가능한 동작을 초래할 수 있는지 탐구합니다. 이 이론은 날씨 시스템, 경제학 모델, 생태계 등 다양한 복잡한 시스템의 동적인 행동을 이해하는 데 중요합니다. 🌀🔮

🎲 확률 과정(Stochastic Processes)

• 랜덤 워크(Random Walk)와 브라운 운동(Brownian Motion): 입자의 무작위적인 움직임을 기술하는 확률 미분 방정식을 통해, 랜덤 워크와 브라운 운동 사이의 수학적 관계를 탐구합니다. 이러한 과정은 화학 반응, 주식 시장 변동 등 다양한 현상을 모델링하는 데 사용됩니다. 🚶‍♂️🔬
• 열 흐름의 확률적 모델링(Stochastic Modeling of Heat Flow): 열전도 과정에서 무작위성과 불확실성을 어떻게 수학적으로 모델링할 수 있는지에 대해 배웁니다. 이 접근법은 물리적 과정에서 발생하는 불규칙성을 이해하는 데 필수적입니다. 🔥🎲

📐 이론적 탐구(Theoretical Exploration)

• 양자역학(Quantum Mechanics)과 확산: 슈뢰딩거 방정식과 확산 방정식 사이의 연결고리를 탐구하며, 양자역학적 시스템에서 확산이 어떤 역할을 하는지 알아봅니다. 이 이론은 미시적 세계에서의 입자 운동을 이해하는 데 중요한 통찰을 제공합니다. ⚛️🌌
• 상대성 이론(Relativity Theory)과 열전도: 열전도 이론이 어떻게 상대론적 효과를 고려하여 수정될 수 있는지, 그리고 이것이 고전적 열전도 방정식에 어떤 변화를 가져오는지에 대해 토론합니다. 이 분야는 고속 운동하는 입자나 별과 같은 천체물리학적 대상에서 열이 어떻게 전달되는지 이해하는 데 중요합니다. 🌠🌡️

열전도와 확산의 수학적 모델을 이해하고 연구하는 것은 단순히 수학적 도전을 넘어서, 우리가 우주와 자연 현상을 이해하는 방식에 깊은 영향을 미칩니다. 이 주제들을 탐구함으로써, 당신은 자연 세계의 복잡성과 아름다움을 수학적 언어로 해석할 수 있는 능력을 키울 수 있습니다. 🌍💫