열 방정식 그리고 푸리에 Series

김록기·2023년 10월 7일
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현대 수학의 출발점

수학의 즐거움이라는 유튜브의 채널지기가, 열방정식을 현대 수학의 출발점이다라고 표현한다. 나는 열방정식에 대해서도, 수학에 대해서도 잘 모르지만, 깊게 동의한다. 참고

푸리에의 놀라운 발견과 해석학

5년 전, 나는 순수한 호기심에서 수학과의 '해석학'이라는 수업을 선택했다. 그 수업의 시작은 이 말로 시작되었다: "우리는 R\mathbb{R}이 무엇인지 배울 것이다." 그리고 어느날 교수님은 푸리에의 이야기를 시작했다. 분명히, 이 수업은 실수가 무엇인지 배우는 거라 하였다. 그러면, 푸리에와 실수? 그 관계는 무엇인가?

교수님은 푸리에가 열방정식을 어떻게 해결했는지 자세히 이야기했다. 그리고 그 해결법이 당시에 상을 받을 만한 가치가 있는지 학생들에게 물었다. 물론, 푸리에는 그 상을 받았다. 그런데 그의 해결법은 수학계에서 큰 논란이 되었다. 푸리에의 접근법은 혁신적이었지만, 그것만으로는 그가 문제를 정말로 해결했다는 것을 증명할 수 없었다. "왜 그 해결법이 작동하는지"라는 의문은 여전히 남아 있었다.

이러한 의문이 바로 해석학의 탄생을 이끌었다. 역사적으로 보면, 푸리에의 독특한 접근법은 해석학의 발전을 촉진시킨 주요 동기였다. 실제로, 현대의 실수(R\mathbb{R}) 개념은 푸리에의 문제 해결 이후에 정립되었다. 푸리에의 접근법이 수학자들에게 연속성, 극한, 균일 연속성 등의 개념을 정의하고 깊이 탐구할 필요성을 느끼게 했다. 즉, 해석학의 여러 주요 개념들은 푸리에의 시리즈를 깊게 이해하고자 하는 강한 동기에서 나왔다.

열방정식: 확산(Diffusion)이라는 이름이 찬란한 이유

솔직히 말해서, 그냥 하나의 방정식아닌가? 열방정식이 왜 대단한건데? : 물론, 열방정식은 그 자체로도 중요하다. 그러나 그 이면에 숨겨진 원리, 즉 확산의 원리는 훨씬 더 넓은 범위의 문제와 현상을 이해하고 설명하는 데 중요한 역할을 한다.

도대체 열방정식이 무슨 의미가 있을까? 이런 의문을 품게 되는 것은, 대부분의 사람들이 일상에서 직접적으로 열을 분석할 필요가 없기 때문일 것이다. 하지만 이것은 열방정식이 중요하지 않다는 것을 의미하지는 않는다. 열방정식의 핵심은 "확산"이라는 개념에 있다. 이 확산의 개념은 열뿐만 아니라 다양한 자연현상에서 발견된다.

확산이라는 언어가 가지고 있는 이미지
확실히, 확산이라고 하니, 열방정식도 현실적인 개념처럼 느껴진다. 그런 이유로, 나는 열이라는 말보다 확산이라는 말을 더 좋아한다.

  • 물질의 확산: 향기나 연기의 퍼짐
  • 정보의 확산: 소셜 미디어에서의 정보 전달, 질병의 확산
  • 경제학과 사회학: 시장에서의 정보나 트렌드의 확산, 사회의 문화나 행동의 전파
  • Diffusion Models : 딥러닝 연구에서 'Diffusion Models'는 이미지나 텍스트를 생성하는 인공지능 모델이다. diffusion은 이 모델의 작동방식을 잘 나타내는 표현이다.

그러면, 열방정식은 확산을 모두 설명할 수 있는가? 당연히 그렇지 않다. (각각의 확산의 문제마다, 그 수학적 표현이 다르니깐) 정확한 표현은, 확산이라고 해도, 열방정식과 수학적으로 직접 연결되는 개념도 있고, 그렇지 않은 개념도 있다는 것이다.

결국, 열방정식의 위대함을 이해할려면, 열방정식과 수학적으로 직접적으로 연결되는 현상을 바라보아야 한다. 그리고, 그러한 것들에는 다음과 같은 구체적 예시들이 있다.

열방정식의 함의를 보여주는 결과들

  • 옵션 가격 책정 및 확률의 확산(블랙 스콜스 방정식, Stocastic diffusion): 금융 수학에서는 열방정식을 사용하여 옵션의 가격을 결정한다. 이는 불확실성과 위험에 대한 이해를 기반으로 한다.
  • 브라운 운동: 열방정식은 브라운 운동이라는 물리적 현상을 설명하는 데도 사용된다. 이는 미세한 입자들이 무작위로 움직이는 현상을 묘사하며, 확률과 통계의 기본 개념에 밀접하게 연관되어 있다.

열방정식: 넓게 보이는 연결고리

위에서 적은 글만 읽으면, 열방정식은 확산과 관련된 현상만을 다루는 것처럼 들릴 수 있다. 그러나 그것의 중요성은 그 한정된 범위를 훨씬 초월한다. 실제로는 여러 수학과 과학 분야에서 깊게 연관되어 있고, 특히 확산이라는 것을 상상조차 할 수 없는 문제 해결에도 도움을 준다.

상금 13억 수학문제도 고정관념도 깨부순 천재 수학자

푸엥카레-페렐만 정리는 그런 대표적인 예시다. 이 정리는 위상기하학 문제이다. 그리고, 페렐만은 물리학(열방정식)으로 이 문제를 풀었으니, 그의 접근법은 (그의 해법이 널리 알려지기 전에는) 보통의 사람은 정말로 상상조차 할 수 없는 것이라 할 수 있다.

그의 문제의 해결에는 Ricci Flow라는 개념이 중심적으로 사용되었다. 그리고 Ricci Flow라는 개념의 핵심에는 열방정식이 있다. 그러니깐, 길이와 각도를 추상화하여 얻은 개념을 내적이라고 하는데, 약간만 더 명확히 말하면, 내적이 곧 길이와 각도인 것은 아니다. 내적은, 길이와 각도를 결정하는 함수를 뜻한다. 미분기하학의 개념에서 평평한 공간이란 모든 곳에서 내적이 동일한 것이고, 그렇지 않은 경우 그 공간은 휘어져있는 공간이다. 휘어진 공간을 (위상적으로는 변경하지 않으면서) 점점 평평한 공간으로 만들고 싶으면 내적을 변하게 해야하는데, 그 방법 중 하나가 Ricci Flow라는 것이다.

페렐만의 풀이는 공간의 휘어짐을 나타내는 수학적 대상(리만 메트릭)에 열방정식을 적용한다. 그렇게, 공간을 서서히 변형하는 방식으로 문제를 해결하였다. 그의 접근법은 굳이 확산이라는 표현을 써서 말하자면 공간에 있는 못 생긴 부분을 시간이 지남에 따라 서서히 없애나가는 것이었다. 이런 방식으로, 페렐만은 푸엥카레의 추측이 사실임을 증명했다.

이 포스트에서 페렐만이 열방정식으로 문제를 풀었다고 했는데, 사실 오해의 소지가 있는 표현이고, 안전하게 말하자면 미분기하학 풀이라 말해야 한다. 열방정식이 도대체 페렐만의 풀이와 어떻게 연관되는지 궁금하면, 여기를 참고해보길 바란다.

열 그리고 푸리에

과학의 역사에서 고체의 열전도 현상은 매우 특별하다. 왜냐하면, 이 현상에 대해서, 답을 내놓은 역작 Théorie de la Propagation de la Chaleur dans les Solides (1807년 12월 21일, 프랑스 과학학술원)이 특별한 선물(푸리에 시리즈)을 주었으며, 열역학, 전자기학등 물리학의 주요한 분야들의 지평을 열었기 때문이다. 출처: 열이 통신이 되다: 열 방정식

열은 흐름이야!
과거, 과학계에는 열은 유체(흐르는 입자)이라는 주장이 있었다. 물론, 우리는 열은 유체가 아니라는 물리적 사실을 확실히 알고 있다. 그러나, 열을 유체라고 인식하는 것은, 열방정식을 이해하는데 상당히 도움이 된다. 유체을 상상하기 좋은 예시는 싱크대에 들어있는 물이다.

싱크대에 물을 가득 채우고, 흘려보내는 상황을 상상해보자. 그리고, 이 상황이 영원히 지속되도록, 물을 계속해서 공급해주자. 이때, 물은 같은 상태를 유지하며 계속해서 흐를 것이다.

열도, 마찬가지다. 물이 높은 곳에서 낮은 곳으로 흐르듯이, 온도가 높은 곳과 낮은 곳이 있으면 열이 발생한다. 그리고, 반대로 열이 있으면 그것을 설명해 줄 수 있는 온도 차이가 존재한다.

참고로, 열과 온도는 다르다. 아주 간단히 말해서, 온도는 어떤 물질의 뜨겁거나 찬 정도(상태)이고 열은 흐름이다. 심지어, 열류와 열도 (이 포스트에서는 둘다 흐름이라고 부르지만) 전혀 다르다. 열류는 흐름(벡터; 미시적)이고, 열은 흐름(유체; 거시적)라고 쉽게 말할 수 있다. 물론, 유체로서의 열은 존재하지 않지만, 내 말은 이해를 쉽게 하기 위해서 그렇게 상상하자는 거다.

싱크대 비유에서, 물이 공급되는 원천을 source 그리고 빠져나가는 원천을 sink라고 부르자. sink와 source를 추상적으로 나타내면, 다음과 같다.

그럼 어떻게 원천을 검출하고, 그것이 sink인지 source인지 알 수 있을까?

궁극적으로 위 질문에 답하기 위해서는 기본적인 벡터장의 언어를 습득해야한다. 그래서, 먼저 벡터장에 대해서 다루도록 하겠다

벡터장

정의 벡터장은 공간 위의 점 pp를 입력받아서 접벡터 vpv_p를 대응하는 함수입니다.

접벡터란 pp에서의 유체의 흐름의 방향과 크기이다. (물론, 수학적 정의는 아니다.)

이제, 임의의 벡터장을 생각하자. 수학적 분석을 쉽게 하기 위해서 R2\mathbb{R}^2(실수 두개로 구성된 순서쌍 (x,y)(x,y)의 모임)에서 R2\mathbb{R}^2로 가는 부드러운 함수F:R2→R2F:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2를 생각하자. 그러한 FF는 언제나 벡터장F⃗\vec{F}으로 취급 할 수 있으며, 대학생이 전공 기초로서 미적분학을 공부하는 입장에서는 부드러운 함수F:R2→R2F:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2를 부드러운 벡터장의 정의라고 (잘못) 이해해도 아무런 문제가 없다.

(물론, 학점 따는데, 문제가 없다는 의미다. 그 어떤 교수도 실함수의 순서쌍이 곧 벡터장이다라는 식으로는 수업하시진 않으시는데, 왜 그런지 깊게 고민을 해보자.)

마이클 페러데이는 자기만의 수학을 창조한 사람입니다. 그것은 "장"이라고 하는 거미줄 같은 모양의 선 들로 표현되는 개념입니다. 그는 전기와 자기를 실험을 통해 발견 했고 장을 활용하여 전기와 자기 현상을 명확히 이해하였습니다. 그가 만든 장이라는 개념을 수학으로 구현하고 그의 실험 결과를 다시 해석해서 멕스웰이 방정식들을 만들어내고, 나중에 올리버 헤비사이드에 의해서 맥스웰 방정식으로 정리되었으며, 이것은 전자기학의 기초입니다. 그리고, 이렇게 페러데이로부터 출발해서 만들어진 멕스웰 방정식, 그리고 여기서 수학적으로 빛의 속도 불변이 유도됩니다. 즉, 장을 그려내고 있는 공간에 대한 가정이 잘못되었다! 이러면서 튀어나온게 특수상대성이론이구요. 여튼, 장과 기하학은 절대로 떨어지면 안되는 겁니다.

여하튼, 함수 F(x,y)=(P(x,y),Q(x,y))F(x,y)=(P(x,y),Q(x,y))가 주어지면, PP 그리고 QQ를 직교 순서기저 i^\hat{\mathbf{i}}, j^\hat{\mathbf{j}}의 성분 함수라 간주 하는 방식으로 벡터장을 얻을 수 있다. 물론, P,QP,Q는 단순히 숫자 두개 받으면 숫자 하나 반환하는 실함수이다. 그래서, 우리는 벡터장이라는 개념을 정말로 쉬운 것(실함수의 순서쌍)이라 바라볼 수 있다.

뭔 짓을 해서라도, 벡터장은 쉬운 것이라 믿어라. 그냥, 실함수의 순서쌍이 곧 벡터장이다라고 생각하고 싶으면 그렇게라도 해서 쉽다고 느껴라

정의 평면 위에서의 벡터장은, 다음과 같이 표현되는 함수F⃗:R2→R2\vec{F}:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2입니다.

  • F⃗(x,y)=P(x,y)i^+Q(x,y)j^\vec{F}(x,y)= P(x,y) \hat{\mathbf{i}} + Q(x,y) \hat{\mathbf{j}}

여기서, i^\hat{\mathbf{i}} 그리고 j^\hat{\mathbf{j}}는 크기가 1이고, 직교(서로 수직하는)하는 화살표(즉, 직교기저를 이루는 벡터들)입니다.

  • 이 포스트에서, i^\hat{\mathbf{i}}는 xx 축과 같은 방향이고, j^\hat{\mathbf{j}}는 yy 축과 같은 방향입니다.

편의를 위해서 (벡터표기를 쓰지 않고) 벡터장 F:R2→R2F:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2, F(x,y)=(P(x,y),Q(x,y))F(x,y)=(P(x,y),Q(x,y))이라는 순서쌍 표현을 쓰는 경우가 많다, 그러나 이 포스트에서는 귀찮음을 무릅쓰고 i^\hat{\mathbf{i}} 그리고 j^\hat{\mathbf{j}}라는 기호를 같이 쓰도록 하겠다. 왜냐하면, 벡터장이라는 것이 정의되기 위해서는, 기하학적 공간이 전제되어야함을 묵시적으로 강조하고 싶기 때문이다. 만약, 누군가 벡터장 F:R2→R2F:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2라 적으면, (벡터장이라는 표현을 썼으므로) 그 맥락에서 R2\mathbb{R}^2는 단순히 실수의 순서쌍의 집합이 아니라, 피타고라스 정리가 성립하는 여러분이 잘 아는 그 평면을 뜻한다.

구배 Gradient 소개

그리고 푸리에의 열방정식을 이해하기 위한 첫걸음은 다음과 같이 생긴 수식이다.

열방정식의 유도과정에서 나오는 수식 : q=−k∇T\bold q = - k\nabla T. 여기서, q\bold q는 열류이고, kk는 (고체마다 다른) 열전도율이다.

그래서, 우리는 먼저 구배 (gradient)가 뭔지를 알아야만 한다.

어떤 공간의 온도 TT의 분포를 생각해보자. 예를 들어서, 방 중앙에 난로가 있어서, 그리고 벽은 단열이 안되어서 온도가 계속 일정하다고 가정하자. 그러니깐, 대략적으로 다음과 같은 상황을 상상해보자.

즉, 중앙으로부터 바깥으로 열이 흐르고 있는 상황이며, (궁극적으로 정상상태에 도달하여) 방의 모든 곳에서의 온도는 계속 동일하다고 상상하자. 그러니까, 너무 너무 추운 날씨이면서 벽은 또 얇아서, 벽면의 온도와 바깥의 온도가 같고, 그래서 난로를 계속 킬 수 밖에 없는 그런 상황을 상상하자. (즉, 영원히 난로를 켜도, 벽의 온도가 변하지 않는다고 가정하자. )

우리의 상상속의 방이 고체로 가득 차있는게 아니므로, 사실 방의 온도 분포를 구하는데는, 열방정식을 적용할 수 없다. 왜냐하면, 열의 이동에는 대류와 복사도 있기 때문. 그러나, 이 글의 핵심은 물리가 아니라 수학이므로, 그냥 대류와 복사는 없다고 가정하자. 즉, 열방정식을 따른다고 가정하자.

구배란 어느 한 지점에서의 화살표는 온도가 가장 빨리 증가하는 방향과 그 증가율을 나타낸다. 다시 말해서, 위의 그림의 화살표를 온도 TT의 Gradient라 부르고 ∇T\nabla T라 적는다.

핵심적인 발상은 열의 흐름과 구배의 연관성을 이해하는 것이다. 열은 구배의 크기만큼 강하게 흐르고, 구배의 정 반대 방향으로 흐른다. 그러니까, 물이 높은 곳에서 낮은 곳으로 흐르는 것처럼, 열도 온도가 높은 곳에서 낮은 곳으로 흐른다는 것을 이해하고, 그 흐름을 화살표로 나타내면 그 그림의 화살표는 구배가 나타내는 화살표들의 정확히 반대이다.

구배의 수학적 정의

구배의 수학적 정의는, 정말로 일변수 미적분학의 기울기와 같은 방식으로 정의된다. 다만, 다변수이기 때문에, 방향을 고려해야만 기울기를 논의할 수 있다.

어느 한 지점x\bold x에서, 임의의 방향 v\bold v로 움직일때, 순간적인 온도의 변화율을 우리는 온도 TT의 방향도함수(directional derivative)라고 부른다. 구체적으로,

∇vT(x):=lim⁡h→0T(x+hv)−T(x)h,∥v∥=1.\nabla_{\bold v} T(\bold x) :=\lim_{h\to 0} \frac{T(\bold x + h \bold v)-T(\bold x)}{h}, \quad \|\bold v\|= 1.

물론, 경우에 따라서, ∥v∥=1\|\bold v\|= 1을 없애고 생각하여도 무방하다.(단, v≠0\bold v \ne \bold 0) 이때, 유일한 벡터장∇T\nabla T가 존재해서, 다음을 만족하는데, 그 유일한 벡터장을 Gradient라고 부른다.

구배의 정의 ∇T(x)⋅v=∇vT(x)\nabla T(\bold x) \cdot \bold v = \nabla_{\bold v} T(\bold x)를 만족시키는 벡터장 ∇T(x)\nabla T(\bold x).

직관적인 의미는, 방향도함수를 구할적에 그 구하고자 하는 방향과 무관한 성분과 그 방향의 조합으로 방향도함수를 분리해서 나타낼 수 있고, 방향과 무관한 그 성분을 구배라고 말하는 것이다. (주목해야할 것은, ∇T(x)\nabla T(\bold x)은 v\bold v와 무관하다는 것이다.)

유클리드-직교좌표계에서의 구배

그리고, 유클리드 metric을 따르는 직교좌표계에서는 구배가 다음과 같이 더 깔끔하게 기술되며, (굳이 다른 metric을 고려하지 않는) 대부분의 경우 이것을 정의로 체택한다.

직교좌표계에서의 구배
함수 f:R3→Rf:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}에 대해서, f(x,y,z)f(x,y,z)의 구배는 다음과 같이 정의된다.
∇f=∂f∂xi+∂f∂xj+∂f∂xk\nabla f= \frac{\partial f}{\partial x} \bold i+\frac{\partial f}{\partial x} \bold j+\frac{\partial f}{\partial x} \bold k

벡터장과 구배

다음 그림을 보자, 다음 그림은 벡터장 F⃗(x,y)=xi^+yj^\vec{F}(x,y)= x\hat{\mathbf{i}}+ y\hat{\mathbf{j}}을 표현한 것이다.

위의 벡터장은 중앙에서 뻗어나가는 모양이다. 이 벡터장은 발산하는 모양이다. 그리고, 스칼라 퍼텐셜이 존재한다.

만역 벡터장을 F⃗=−∇f\vec{F}=-\nabla f라 적을 수 있다면, 이러한 함수 ff를 스칼라 퍼텐셜 함수라 부른다. 예를들어서, 위의 그림의 경우 스칼라 퍼텐셜 ff가 존재하여 다음을 만족한다. −f(x,y)=x22+y22-f(x,y)= \frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{2}. 따라서, F⃗\vec{F}는 보존장이다.

스칼라 퍼텐셜을 이해하기 위해서, 스칼라 퍼텐셜의 그래프 z=f(x,y)z=f(x,y)를 생각해보자. 이 그래프는, (x,y)(x,y)가 원점일때가 가장 높은 위치를 가지며, 원점에서 멀어지면 멀어질수록 점점 낮아지는 모양이다. 그림으로 나타내면 다음과 같다.

위의 그림을 여러분이 등산해야하는 산이라고 생각하자.

  1. 산 꼭대기는 어디인가? (0,0)(0,0)이다.
  2. 어디가 가장 완만한가? (0,0)(0,0)이다.
  3. 임의의 위치 (x,y)(x,y)에 있을때, 가장 빨리 아래로 내려가는 방향은 무엇인가? −∇f(x,y)-\nabla f(x,y)가 가리키는 방향으로 내려가면 된다. (0,0)(0,0)의 경우 −∇f(x,y)=0-\nabla f(x,y)=\bold 0이므로, 어느 방향이든 상관없다.
  4. 꼭대기에서 임의의 위치까지 내려가는 최단경로는 어떻게 되는가? 벡터장F⃗=−∇f\vec{F}=-\nabla f을 따라서 자연스럽게 내려가면 된다. 그러한 경로를 우리는 흐름이라고 부른다.

구배 (∇\nabla, Gradient)는 스칼라 함수의 기울기를 뜻한다. 그리고 이것이 곧 흐름의 속도 (크기와 방향)이다. 위의 예시의 경우 원점에서 멀어질 수록 기울기가 가파르게 되므로 구배의 크기가 커진다. 즉, 위의 스칼라 퍼텐셜이 생성하는 흐름이 중앙에서 바깥으로 갈 수록 점점 빨라진다는 것을 알 수 있다.

모든 흐름은 높은 곳에서 낮은 곳으로 내려가는 것이다.

온도방정식이 아니라, 열방정식이다. 해는 온도 분포의 함수로 나오지만, 실제로 탐구하고자 하는 것은 온도가 아니라, 흐름(열)이다. 즉, 열의 흐름과 온도의 관련성을 더 깊게 이해할 필요가 있으며, 벡터장의 퍼텐셜이라는 개념이 그것을 명확히 알려준다.

열은 온도가 높은 곳에서 낮은 곳으로 흐른다. 그리고 온도 차이가 없으면 열이 발생하지 않는다.

먼저, 다음과 같은 수식을 관찰하자.

q⃗=−∇T\vec{q}=-\nabla T. 여기서, q⃗\vec{q}는 열류[벡터]이고 TT는 온도[스칼라]이다.
(이제, 열전도도를 빼자, 물리학적으로 열전도도kk를 수식에 적는 것이 타당하지만 )

수학적으로, 어떤 벡터장 FF가 스칼라 퍼텐셜 ff의 구배를 따라서 발생한 경우, 다시말해서, F=−∇fF=-\nabla f인 경우 (수학책에서는 F=∇fF=\nabla f를 더 선호한다.) 우리는 FF를 보존장이라고 부른다. 하고 싶은말은 이거다. 스칼라 퍼텐셜의 존재는 전혀 당연하지 않다는 것이다.

예를들어서, 다음 그림을 생각하자. 그리고 높은 곳에서 낮은 곳으로 내려가자. 이렇게 무한히 계단을 내려가는 상상을 하자. 다음 그림에서는 퍼텐셜을 생각할 수 없다. 예를들어서, 퍼텐셜이 있어서, 그 퍼텐셜을 10층이라고 표시했다고 하자. 그럼 한 층 내려가서, 같은 위치로 돌아온 거기는 9층인가 10층인가? 그래서, 이런 경우 우리는 단순히 스칼라 퍼텐셜이 없다고 이야기한다. (오해하지마라, 스칼라 퍼텐셜이 0이라는 것이 아니라, 정의가 불가능하다는 뜻이다.)

계단으로 내려가지만, 계속 제자리로 돌아오는 위의 그림과 같은 종류의 흐름을 우리는 회전이라고 부른다. 즉, 다음이 명확하다. 만약 벡터장이 보존장이면, 회전이 없어야한다. 그리고 수학적으로 매우 놀라운 것이 성립한다. 회전이 없으면, 그 벡터장은 보존장이다.

보통은 ∇×\nabla \times 연산자를 회전 (Curl)이라 불리며, 위에서 회전(Curl)이 0이다의 의미는 두가지 의미로 해석된다. [1] FF를 자연스럽게 3차원 공간에 확장한뒤, ∇×\nabla \times 하면 0벡터가 된다. [2] 단순히, ∂Q(x,y)∂x−∂P(x,y)∂y=∂y∂x−∂x∂y=0\frac{\partial Q(x,y)}{\partial x} - \frac{\partial P(x,y)}{\partial y}=\frac{\partial y}{\partial x} - \frac{\partial x}{\partial y}=0이다. 물론, 두 계산의 의미는 완전히 같다.

그리고, 이러한 벡터장은 높은 곳에서 낮은 곳으로 흐르는 물처럼 해석 할 수 있다.

Let UU be a simply connected open space in the three-dimensional space, v:U→R3\bold v: U \to \mathbb{R}^3 be a C1C^1 vector field. If curl v=0\text{curl} \ \bold v = \bold 0 in UU, then there exists scalar function ϕ:U→R\phi:U\to \mathbb{R} such that v=∇ϕ\bold v = \nabla \phi.

회전의 예시

위의 그림을 따라서, 흐르는 유체F⃗(x,y)=yi^−xj^\vec{F}(x,y)= y\hat{\mathbf{i}}-x\hat{\mathbf{j}}를 상상하자. 그것의 가장 두드러지는 특징은 회전한다는 것이다.

발산과 회전

벡터미적분학에서 회전과 발산은 매우 밀접한 관련이 있다.

비발산과 회전은 떨어질 수 없는 관계이다. 어떤 벡터장이 비발산(발산이 0이면) 그것은 벡터퍼텐셜의 회전이기 때문이다.

먼저, 다음 두 벡터장의 공통점이 무엇인지 고민해보자.

공통점은 유체가 공급되는 Source가 없고 유체가 소실되는 Sink도 없다는 것이다. 무슨 의미인가? 동그라미를 그리자. 여러분이 어떻게 동그라미를 그려도 동그라미 입장에서는 유체의 출입이 없다. 동그라미 안으로 들어가는 유체와 그 동그라미에서 빠져나가는 유체는 언제나 동일하다. 이 문장의 수학적 표현이, 발산(Divergence)가 0이다.이다.

(a)와 (b)는 발산이 0이다. curl free 벡터장이 스칼라 퍼텐셜을 가지듯, (a,b) 둘 다 벡터퍼텐셜을 가진다. 그러니까, 발산(Divergence)가 0이면, 벡터퍼텐셜이 존재한다.

벡터 퍼텐셜은 단순히 말해서, 벡터장에 회전을 주는 근원이다. 그러나, 단순히 벡터 퍼텐셜의 존재가 회전하는 모양을 시사한다고 오해해서는 안된다. 예를들어서, (a)의 경우 회전하는 모양이 아니지만, 비발산장이고 벡터퍼텐셜이 존재한다.

이제, 벡터퍼텐셜의 정의를 소개한다. 먼저 FF를 3차원으로 확장하자. 즉, F(x,y,z)=yi^−xj^+0k^F(x,y,z)=y\hat{\mathbf{i}}-x\hat{\mathbf{j}}+0\hat{\mathbf{k}}이다. 벡터장 FF의 벡터 퍼텐셜이란, 단순히 다음을 만족하는 벡터장 AA이다. F=∇×AF= \nabla \times A. 예를 들어서, F⃗(x,y)=yi^−xj^\vec{F}(x,y)= y\hat{\mathbf{i}}-x\hat{\mathbf{j}}의 벡터퍼텐셜은 A(x,y,z)=x2+y22k^A(x,y,z)= \frac{x^2+y^2}{2} \hat{\mathbf{k}}이다.

For any solenoidal vector field v\bold v there exists a vector potential AA such that v=∇×A\bold v = \nabla \times A.

우리는 방금, 스칼라 퍼텐셜이 높은 곳에서 낮은 곳으로 내려가는 특성의 벡터장과 벡터 퍼텐셜을 기준으로 회전하는 특성의 벡터장을 살펴보았다. 이 방금의 관찰이, 모든 벡터장을 이해하는데 충분할까?

좀 더 와닿게 질문하자면, 애시당초 온도의 존재를 가정하는게 타당한가?

여기에 대한 수학의 대답이 헬름홀츠 분해이다. 요약하면, 다음과 같다.

  • 모든 벡터장이 스칼라 퍼텐셜로 설명되지는 않는다. 그러나, 모든 벡터 장은 스칼라 퍼텐셜이 높은 곳에서 낮은 곳으로의 흐름과 스칼라 퍼텐셜와 무관한 벡터장의 합으로 표현할 수 있다.

  • 모든 벡터장이 벡터 퍼텐셜로 설명되지는 않는다. 그러나, 모든 벡터 장은 벡터퍼텐셜의 회전과 벡터 퍼텐셜과 무관한 벡터장의 합으로 표현할 수 있다.

  • 두 문장을 합치면, 모든 벡터장은 스칼라 퍼텐셜과 벡터 퍼텐셜을 가진다. 그리고 모든 벡터장은 비회전장[스칼라퍼텐셜에 유관, 벡터퍼텐셜에 무관]과 비발산장[스칼라퍼텐셜에 무관, 벡터퍼텐셜에 유관]의 합이다.

  • 다시말해서, 모든 벡터장 FF는 F=∇u+∇×W\mathbf{F} = \nabla u + \nabla \times W. 여기서, uu는 스칼라 퍼텐셜 WW는 벡터 퍼텐셜이다.

물론, 이것은 과감한 요약이며, 틀렸다. 모든이라는 표현이 문제다. 모든이라는 잘못된 표현을 고치기위해, 해석학이 절실히 필요한 것이다.

물론, 헬름홀츠 분해 정리만으로는 충분하지 않다. 헬름홀츠 분해 정리만으로 생각하면, 온도는 같은데, 벡터 퍼텐셜에 의해서 지 마음대로 열 에너지가 흐를지 아닐지는 전혀 모르는 일이다. (이런 느낌이 회전이다.) 물론, 우리는 이러한 일이 자발적으로 일어날 수 없음을 알고, 그것이 열역학의 법칙들이라는 것을 안다. 온도가 존재하는 근본적 이유를 알려주는 대답은 열역학 제 0법칙이다. 따라서, 푸리에의 첫번째 수식(온도의 존재성)은 q⃗=−∇T\vec{q}=-\nabla T은 물리학적으로 타당하다.

헬름홀츠 정리

벡터장이 F=∇u+∇×W\mathbf{F} = \nabla u + \nabla \times W 꼴로 헬름홀츠 분해될 충분조건을 제시한다.

벡터장 F:V⊆R3→R3\mathbf{F}:V\subseteq \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3가 C2C^2이라 합시다. 다시 말해서, 연속인 이계도 편미분이 존재한다고 합시다. 그러면, 다음 조건하에 다음과 같이 분해가 됩니다.

조건 : As ∥r∥→∞\|\mathbf{r}\| \to \infty, F(r)→0F(\mathbf{r})\to 0 그리고 ∇⋅F(r)=o(1/∥r∥2)\nabla\cdot F(\mathbf{r})=o(1/\|\mathbf{r}\|^2) 그리고 ∇×F(r)=o(1/∥r∥2)\nabla\times F( \mathbf{r})=o(1/\|\mathbf{r}\|^2).
주의 : 위 조건이 딱 들어맞는 조건은 아니다. 예를들어서, xi^+yj^x\hat{\mathbf{i}}+ y\hat{\mathbf{j}} 그리고 yi^−xj^y\hat{\mathbf{i}}-x\hat{\mathbf{j}}는 조건을 만족하지 않지만, 헬름홀츠 분해가 된다. (각각, ϕ\phi 또는 AA가 0인 형태.)

F=F⊥+F∥\mathbf{F} = \mathbf{F}_\bot +\mathbf{F}_\parallel

  • F⊥\mathbf{F}_\bot : 뻗어나가는 (발산하는) 모양. 그리고 회전하지 않음.(비회전장)
  • F∥\mathbf{F}_\parallel : 회전하는 모양. 그리고, 발산하지 않음. (비발산장)
  • 수식으로, ∇×F⊥=0\nabla \times \mathbf{F}_\bot = \mathbf{0} 그리고 ∇⋅F⊥=0\nabla \cdot \mathbf{F}_\bot = 0.

더 나아가서, 다음을 만족하는 스칼라 퍼텐셜 ϕ\phi와 벡터 퍼텐셜 AA가 존재합니다.

  • F⊥=∇ϕ\mathbf{F}_\bot=\nabla \phi
  • F∥=∇×A\mathbf{F}_\parallel = \nabla \times A

헬름홀츠정리에 대한 세부적인 내용이 궁금하면, 여기를 보면 됩니다.

열역학 제 0법칙

열역학 제 0 법칙은 온도의 존재성을 보장하는 법칙이다. 그러니까, 열역학 제 0법칙에 의하면, 열류는 비회전장이어야 한다. 다시말해서, 수학적인 이유로 열류의 스칼라퍼텐셜이 존재하며 그것이 곧 온도이다.

  • 열역학 제 0 법칙 서로 다른 두 계 A와 B가 각각 또 다른 계 C와 열적 평형상태를 이룬다면, A와 B는 서로 열적 평형상태에 있다.

만약, 이 법칙이 없다면, 온도는 존재할 수 없다. 예컨데, 다음과 같은 열역학 제 0법칙에 위배되는 상황을 가정하자. AA, BB, CC는 각각 원 바깥과 열평형을 이룬 상태이지만, 원의 내부에는 열의 흐름이 존재해서, AA에서 BB 그리고 BB에서 CC로 열이 흐르는 상황이다.

열역학 제 0법칙에 위배되는 상황

이들은 모두 바깥과 열평형 상태이므로, 또 온도가 같아야한다.그러나 내부 만을 생각하면, AA가 BB보다 온도가 높고, BB가 CC보다 온도가 높고 CC가 AA보다 높다고 해야하는데, 모순이다. 즉, 위의 상황이 허용되면, 온도라는 개념을 만드는 것이 불가능하다.

열 전도 방정식 유도하기.

우리의 고체는 밀도ρ\rho가 일정하며, 어디서나 동일한 성분으로 구성되어 있다.

  • 물질 내부DD 의 열량(열에너지)은 온도에 정비례한다.

Q=∫Dκρ u(t,x)dx.Q=\int_D \kappa \rho \ u(t,\bold{x}) d \bold x.
여기서, tt는 시각 x\bold x는 물질 내부의 위치 그리고 u(t,x)u(t,\bold{x})는 온도이다.

이제, 물질에 임의의 영역을 그리자. Ω\Omega 그 영역의 내부의 열량의 변화는 단순히 (위의 식을 미분하여 라이프니츠 룰)

ddtQΩ=∫Ωκρ ddtu(t,x)dx.\frac{d}{dt}Q_\Omega=\int_\Omega \kappa \rho \ \frac{d}{dt}u(t,\bold{x}) d \bold x.
이다.

그리고, 열량의 변화는 영역의 경계에서의 열류(Heat Flux)의 적분으로도 얻어진다. (에너지 보존의 법칙)

−ddtQΩ=∮∂Ωq⋅n^-\frac{d}{dt}Q_{\Omega} = \oint_{\partial \Omega} \bold q \cdot \hat{\bold n}

여기서, ∂Ω\partial \Omega는 Ω\Omega의 경계이고 n^\hat{\bold n}은 경계에 대해서 수직인 벡터(크기 1)이다.

한편, 온도의 구배와 열류가 비례한다는 푸리에의 법칙을 적용하면

푸리에 법칙: q=−k∇u(t,x)\bold q= -k\nabla u(t,\bold{x})

다음을 얻는다.

ddtQΩ=∮∂Ωk∇u(t,x)⋅n^\frac{d}{dt}Q_{\Omega} = \oint_{\partial \Omega} k\nabla u(t,\bold{x}) \cdot \hat{\bold n}

가우스의 발산정리를 적용하여, 적분영역을 Ω\Omega로 바꿀 수 있다.

ddtQΩ=∫ΩkΔu(t,x)dx\frac{d}{dt}Q_{\Omega} = \int_{\Omega} k\Delta u(t,\bold{x}) d \bold x

따라서,

ddtQΩ=∫Ωκρ ddtu(t,x)dx=∫ΩkΔu(t,x)dx.\frac{d}{dt}Q_\Omega=\int_\Omega \kappa \rho \ \frac{d}{dt}u(t,\bold{x}) d \bold x=\int_{\Omega} k\Delta u(t,\bold{x}) d \bold x.

여기서, Ω\Omega는 임의의 영역이므로, 적분기호 안의 것이 동일하여야 한다.

κρ ddtu(t,x)=kΔu(t,x)\kappa \rho \ \frac{d}{dt}u(t,\bold{x})=k\Delta u(t,\bold{x})

우리는 물리적 상수에 크게 관심이 없으므로, 다음을 열 방정식이라 명명하겠다.

사실 위의 유도과정은 엄밀히 보았을때, 잘못되었으며 다음과 같은 조건하에 위의 유도과정이 정당해짐. uu가 시간에대해서는 연속적으로 미분가능 그리고 공간에 대해서는 연속적으로 두번 미분 가능.

  • 열방정식 : ut=uxxu_t=u_{xx}, 1차원의 경우.
  • 열방정식 : ut=Δuu_t=\Delta u, n차원 유클리드 공간의 경우.
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