선형대수학 - 고윳값과 대각화

Hyewon Jung·2023년 7월 21일

출처
이상엽MATH

1. 고윳값과 벡터

1) 정의

체 F에 대한 벡터공간 V 위의 선형사상
$L : V -> V$ 에 대하여 다음 두 조건을 만족하는 $\lambda( \in F)$ 는 고윳값이라고 하고 $v (\in F)$ 를 고유벡터라고 한다.

중요

1) 고유벡터는 0벡터이면 안된다.
2) v가 선형사상에 들어간 결과가 $\lambda v$ 여야 하고 이때, $\lambda$ 는 스칼라임

-> 람다가 고윳값이고 v가 고유벡터인 것임

고유는 유일한의 의미가 아님
행렬은 곧 선형사상임
고윳값이라는 개념을 선형사상에 접목가능해짐
행렬의 고윳값 = 선형사상의 고윳값
선형사상 : 벡터를 변환하는 일종의 함수, 선형사상도 일종의 벡터라고 볼 수 있다.
선형사상 벡터의 방향 : 고유벡터, 선형사상 벡터의 크기 : 고윳값이라고 간단하게 생각 가능하다.
선형사상의 본질을 기술하기 위해 고윳값과 고유벡터가 중요한 것

예시 1

v = (2,3)\; , L \rightarrow M = \begin{pmatrix}1&-2\\3&-4\\ \end{pmatrix}

풀이과정

L(v) \rightarrow Mv = \begin{pmatrix}1&-2\\3&-4\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix}2\\3\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-4\\-6\\ \end{pmatrix}

\begin{pmatrix}-4\\-6\\ \end{pmatrix} = -2 \begin{pmatrix}2\\3\\ \end{pmatrix}

이때 식에 의해 유도된 $\lambda$ 는 -2임
그러면 고유벡터는 $\begin{pmatrix}2\\3\\ \end{pmatrix}$ 임
이처럼 행렬 M(1,-2,3,4)이 하나의 숫자로 바뀌었고 이를 고윳값이라고 한다.

2) 고유방정식

: 고윳값을 찾는 방법
: 어떤 정사각행렬, 선형사상에 대응하는 고윳값을 찾기 위해서 만든 방정식.

이때 $det(\lambda I_n - M)$ 자체 식을 고유다항식이라고 한다.

유도

L(v) = \lambda v \rightarrow Mv = \lambda v

(단, v는 0행렬이 아님)

= \lambda v - MV = (\lambda I_n - M)v = 0행렬

예제 1.

예제 2. 1과 반대로 람다를 구하는 법

3) 고유공간

: 앞서 고윳값을 찾았다면 이번엔 고윳값에 대응되는 고유벡터를 찾기 위함이다.

고유공간이란?

유도

L(v) = \lambda v => L(v) = \lambda I_v(v)

식을 맞춰주기위해 람다v를 저런식으로 씀.
똑같이 v가 나와야하므로 항등사상에 v를 넣어줌 $\lambda I_v(v) - L(v) = \overrightarrow 0 => (\lambda I_v - L)(v) = \overrightarrow 0$
이때 중요한것은 (v)를 찾는 것이기 때문에 찾기 위해선 다음과 같은 식을 쓸 수 있다. $ker(\lambda I_v - L)$
이 커널을 $(\lambda I_v - L)$ 로 표현되는 선형사상의 핵이라고 하는데
이 커널식이 하나의 공간이다.
이를 고유공간이라고 하고 이 고유공간의 원소가 곧 고유벡터가 된다.
단, 고유벡터는 0벡터가 아니다.

예제

$M = \begin{pmatrix}1&-2\\3&-4\\ \end{pmatrix}, \lambda = -1$ 일 때, 고유벡터를 찾으시오

식

(\lambda I_v - L)(v) = \overrightarrow 0 \\

= (-1\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\ \end{pmatrix}(I_n) -1\begin{pmatrix}1&-2\\3&-4\\ \end{pmatrix})\begin{pmatrix}v_1\\v_2\\ \end{pmatrix}

= \begin{pmatrix}-2&2\\-3&-3\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix}v_1\\v_2\\ \end{pmatrix} = \overrightarrow 0

= \begin{pmatrix}-2&2&0\\-3&-3&0\\ \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix}1&-1&0\\0&0&0\\ \end{pmatrix}

v_1 = v_2 \quad , \quad v = s\begin{pmatrix}1\\1\\ \end{pmatrix}

가우스 조던 소거법 이용
이때 s(1,1)의 (1,1)을 기저라고 함.
고유벡터는 (s,s)인데 s는 0이 아님.

예제

$\lambda = 1 \, or \, 2$

2. 대각화

1) 대각화

앞서 살펴본 고윳값과 고유벡터를 응용하는 부분
대각화를 통해 하나의 선형사상을 여러 선형사상으로 분해해볼 수 있음
B는 대각행렬(대각선에만 성분이 존재하고 나머지는 없는) 이다.

예제

해답 :

P^{-1}AP = B \\ <=> \\ A = PBP^{-1}

이처럼 A라는 선형사상을 여러개의 선형사상으로 쪼갤 수 있다.

정리

nxn 행렬 A에 대하여 다음 두 명제는 동치이다.

A는 대각화 가능한 행렬이다
A는 n개의 선형독립인 고유벡터를 갖는다.

증명

A는 대각화 가능한 행렬이다 -> A는 n개의 선형독립인 고유벡터를 갖는다.

A는 대각화 가능하므로
$P^{-1}AP = B$ 라고 쓸 수 있음
그리고 양변에 P를 곱하면 (사용하기 쉽게)
$AP = PB$
P는 정사각행렬, nxn의, 그러면 다음과 같이
$P = (p_1, p_2, ..., p_n)$
B의 대각성분은 $\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_n$ 이라 하자.
그리고 이걸 위의 $AP = PB$ 에 넣어보자
다음과 같은 식이 성립한다.

AP=A(p_1, p_2 , ..., p_n) = (Ap_1, Ap_2, ...., Ap_n)

PB= (\lambda_1 p_1, \lambda_2p_2, ...., \lambda_np_n)

이때, 위의 AP = PB임.
따라서,

Ap_1 = \lambda_1 p_1, ...., Ap_n=\lambda_np_n

이때, P는 가역행렬이다.

이는 P의 기약행사다리꼴이 단위행렬 I의 꼴이 된다는 것이다.

이는 다른말로 P에는 n개의 선도1(각 행에서 0이 아닌 첫 원소는 1이고 이를 선도 1이라고 함)이 존재한다는 것이다.

그러면 P의 행이든 열이든 아무튼 찢어놓은 벡터들은 n차원공간의 기저를 이룬다. (0과 1로만 이루어져있음)

기저를 이루려면 선형생성을 해야되고 선형독립이라는 특성을 가져야 한다.

그러면 $p_1$ 에서부터 $p_n$ 은 선형독립이다.

그러면 $p_1$ 에서부터 $p_n$ 은 전부 0행렬이 아니다. (선형독립이므로)

$Ap_1 = \lambda_1 p_1$ 이 식은 고류벡터를 논할 때썼던 식. 그러면 $P_1$ 은 고유벡터, $\lambda_1$ 는 고윳값. 앞서 $P$ 는 0벡터가 아니라 했으므로 고윳값, 고유벡터의 조건을 만족한다.

그러면 A가 대각화가능하다는 전제 하에 식을 전개했는데 고윳값, 고유벡터도 성립하는 것을 확인했으므로 1번과 2번은 동치이다.

2) 대각화하는 방법

예시

대각화가 되려면, 고유기저의 원소가 2개는 잡혀줘야 함.
즉, 대각화 불가능

3) 중복도

대각화가 가능한지를 알려주는 또다른 방법
고유공간의 차원 = 고유기저의 원소 개수
기하적 중복도 = 고유기저의 원소개수
대수적 중복도 = 람다를 구하는 식이 몇거듭제곱이냐
기하적 중복도 <= 대수적 중복도
기하적 중복도와 대수적 중복도가 모든 고윳값에 대해 항상 같으면 그 행렬은 대각화가 가능하다.

4) 닮음 불변량

이때, B는 대각행렬일 필요가 없다.
위의 식을 만족하면 다음과 같은 성질을 동시에 가진다.

A의 행렬식과 B의 행렬식은 일치한다.
A가 가역행렬이면 B도 가역행렬이다. A가 비가역행렬이면 B도 비가역행렬이다.
A의 rank랑 B의 rank는 같다.
A의 nullity와 B의 nullity가 같다.
A와 B의 고유다항식(고유방정식의 좌변)이 같다.
A와 B의 고윳값은 같다.
A와 B의 고유공간의 차원(기저의 원소개수)도 같다.
A와 B의 주대각성분들의 총합은 같다.
A와 B의 대수적 중복도가 같다.
A와 B의 기하적 중복도가 같다.

Hyewon Jung

Amateur data scientist & student

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