선형대수학 - 행렬과 행렬식

출처
이상엽MATH

1. 행렬

우리가 자주보는 이 네모난 직사각형의 숫자들의 나열을 행렬이라고한다. 행렬은 연립일차방정식(ax+b = c)를 풀기 위해 방법론 중 하나로써 등장했다.

1) 용어정리

1. 행렬
표기법은 다음과 같다. 보통 대문자를 사용하며 A = (x1, x2..)이렇게 되어있으면 행렬 A라고 말하고 표기한다.

• 항, 성분, 원소 : 안에 있는 $x$들

• 행 : 행렬의 가로줄

• 열 : 행렬의 세로줄

• mxn행렬 : m개의 행과 n개의 열로 이루어져있는 행렬

• $a_{ij}$에서 $i$는 행을 $j$는 열을 의미함. $x_{12}$면 1행 2열의 (1,2) 원소임

• 주대각선 : 행렬의 왼쪽 위에서 오른쪽 아래를 가로지르는 대각선

• 대각성분 : 주대각선 위에 있는 성분, 행과 열의 지표수(아래숫자)가 같은 성분

• 대각행렬 : 주대각선 위에 있는 성분만 숫자고 나머지가 0인 행렬

• 영행렬 : 모든 성분이 0인 행렬

• 전치행렬 : 주대각선 기준으로 원래행렬에서 뒤집은 행렬 $a_{ij}$가 $a_{ji}$로 바뀐다.

• 대칭행렬 : 원래 행렬 $A$와 $A^t$가 같은 행렬

• 정사각행렬 : 행, 열의 수가 같음

• 단위행렬 : 모든 대각성분이 1이고 그 외의 성분은 0인 정사각행렬
  - 보통 $I_n$이런식으로 표현함. 그러면 nxn의 단위행렬이라고 생각하면 됨.

2) 행렬의 연산

1. 덧셈 뺄셈
: 같은 자리에 있는 원소들끼리 더하고 빼준다.

교환법칙, 결합법칙 성립한다.

$A$ = $\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\ \end{pmatrix}$

$B$ = $\begin{pmatrix}1&2\\3&4\\ \end{pmatrix}$

$A + B$ = $\begin{pmatrix}2&2\\3&5\\ \end{pmatrix}$

$A - B$ = $\begin{pmatrix}0&-2\\-3&-3\\ \end{pmatrix}$

2. 상수배
: 모든 원소에 상수를 곱해준다.

단, 결합법칙은 성립하되 교환법칙이 성립하지 않는다.

$A$ = $\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\ \end{pmatrix}$

2A = $\begin{pmatrix}2&0\\0&2\\ \end{pmatrix}$

3. 행렬끼리의 곱셈
: mxn 행렬과 nxr행렬을 곱할 때 여기서 n으로 같은 것 처럼 앞 행렬의 열개수와 뒤의 행렬의 행개수가 같아햐한다.

우리가 자주 하는 f와 g함수 연산에서도 행렬곱의 원리가 적용된다.

2. 연립일차방정식

1) 행렬의 표현

연립일차방정식을 행렬로 표현하는 방법은 가우스조던 소거법, 역행렬 이렇게 두가지가 있다.

$\begin{cases} x+2y=5\\ 2x+3y=8 \end{cases}$

• $\begin{pmatrix}1&2&5\\2&3&8\\ \end{pmatrix}$ => 가우스 조던 소거법, 첨가행렬

• $\begin{pmatrix}1&2\\2&3\\ \end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix}x\\y\\ \end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix}5\\8\\ \end{pmatrix}$ => 역행렬 이용

- 가우스 조던 소거법

우리가 흔히 연립방정식할 때 사용하던 방식
컴퓨터 알고리즘 짤 때 유용하게 사용됨
다항신 보간법, 역행렬 구하기 등에서도 다양하게 사용됨

기본 행 연산
: 항을 간단화하고 항을 간단화했을 때 해가 변형하지 않아야 함. 이 두가지 원칙을 지키기 위해 다음과 같은 수단을 사용한다.

1. 한 행을 상수배함
2. 한행을 상수배하여 다른 행에 더함
3. 두 행을 맞바꿈

연립을 풀면 3번째, 6번째처럼 행사다리꼴이 나오는데 이 때 3번은 행사다리꼴, 6번을 기약 행사다리꼴이라고 한다. 그리고 행사다리꼴까지 풀면 가우스 소거법, 기약행사다리꼴까지 풀면 가우스 조던 소거법이라고 한다.

• 기약 행 사다리꼴 : 1이 포함된 행사다리꼴을 기준으로 나머지성분을 0으로 맞춰준 것

- 역행렬 이용

선조건
: 행렬 A의 역행렬이 존재한다.

선조건이 충족되면 $AX = B$에서 $X = A^{-1}B$ 성립

3. 행렬식

1) 행렬식이란?

: 행렬 => 수로 바꾸는 특별한 함수

표기법
$detA$ , $\vert A \vert$

단, A에 따라 표기법이 달라진다.
3x3일 때 행을 앞으로 뺄 필요는 없고 필요에 의하면 열을 앞으로 빼도 됨
$a_{12}, a_{11}...-> a_{23}, a_{33}$
또한 앞으로 뺄 행이나 열은 몇번째든 상관 없음. 3번째 열이나 행을 앞으로 빼도 됨

3x3행렬

1. 기본
   

2. 사루스법칙
   

2) 역행렬

: 행렬식이 0이면 역행렬이 존재하지 않는다.

$AA^{-1} = I$(단위행렬)

실수x에 곱해서 1이 나오는 숫자를 역원이라고했었고 행렬은 이 역원을 역행렬이라고 함

• 행렬식이 0이 아니다 = $detA$가 0이 아니다.
• detA넘기기

• 즉, $adjA\over detA$ = $A^{-1}$

증명

특징

• $AB = I$ 이면, $BA = I$도 성립한다.

- 크래머 공식

: $X = A^{-1}B$일 때, X행렬의 특정원소를 알고 싶을 때 사용하는 공식

• 식을 보면 원하는 열에 대해서만 $a_{12}$ ->$b_{2}$ 이렇게 교체되어있는 것을 확인할 수 있다.

증명