문제
N개의 수로 이루어진 수열 A1, A2, ..., AN이 주어진다. 또, 수와 수 사이에 끼워넣을 수 있는 N-1개의 연산자가 주어진다. 연산자는 덧셈(+), 뺄셈(-), 곱셈(×), 나눗셈(÷)으로만 이루어져 있다.
우리는 수와 수 사이에 연산자를 하나씩 넣어서, 수식을 하나 만들 수 있다. 이때, 주어진 수의 순서를 바꾸면 안 된다.
예를 들어, 6개의 수로 이루어진 수열이 1, 2, 3, 4, 5, 6이고, 주어진 연산자가 덧셈(+) 2개, 뺄셈(-) 1개, 곱셈(×) 1개, 나눗셈(÷) 1개인 경우에는 총 60가지의 식을 만들 수 있다. 예를 들어, 아래와 같은 식을 만들 수 있다.
- 1+2+3-4×5÷6
- 1÷2+3+4-5×6
- 1+2÷3×4-5+6
- 1÷2×3-4+5+6
식의 계산은 연산자 우선 순위를 무시하고 앞에서부터 진행해야 한다. 또, 나눗셈은 정수 나눗셈으로 몫만 취한다. 음수를 양수로 나눌 때는 C++14의 기준을 따른다. 즉, 양수로 바꾼 뒤 몫을 취하고, 그 몫을 음수로 바꾼 것과 같다. 이에 따라서, 위의 식 4개의 결과를 계산해보면 아래와 같다.
- 1+2+3-4×5÷6 = 1
- 1÷2+3+4-5×6 = 12
- 1+2÷3×4-5+6 = 5
- 1÷2×3-4+5+6 = 7
N개의 수와 N-1개의 연산자가 주어졌을 때, 만들 수 있는 식의 결과가 최대인 것과 최소인 것을 구하는 프로그램을 작성하시오.
입력
첫째 줄에 수의 개수 N(2 ≤ N ≤ 11)가 주어진다. 둘째 줄에는 A1, A2, ..., AN이 주어진다. (1 ≤ Ai ≤ 100) 셋째 줄에는 합이 N-1인 4개의 정수가 주어지는데, 차례대로 덧셈(+)의 개수, 뺄셈(-)의 개수, 곱셈(×)의 개수, 나눗셈(÷)의 개수이다.
출력
첫째 줄에 만들 수 있는 식의 결과의 최댓값을, 둘째 줄에는 최솟값을 출력한다. 연산자를 어떻게 끼워넣어도 항상 -10억보다 크거나 같고, 10억보다 작거나 같은 결과가 나오는 입력만 주어진다. 또한, 앞에서부터 계산했을 때, 중간에 계산되는 식의 결과도 항상 -10억보다 크거나 같고, 10억보다 작거나 같다.
입출력 예
| 입력 | 출력 |
|---|---|
| 2 5 6 0 0 1 0 | 30 30 |
| 3 3 4 5 1 0 1 0 | 35 17 |
| 6 1 2 3 4 5 6 2 1 1 1 | 54 -24 |
풀이
이 문제는 완전탐색과 DFS 두 가지 방법으로 풀 수 있는 문제이다.
완전탐색으로 푼다고 했을때 순열을 사용해서 n-1 만큼의 연산자를 대입하는 경우의 수를 모두 구하면 된다.
코드는 다음과 같다.
from itertools import permutations
n = int(input())
n_list = list(map(int, input().split()))
# 덧셈 = 0, 뺄셈 = 1, 곱셈 = 2, 나눗셈 = 3
operations = list(map(int, input().split()))
operations_list = []
def cal(i, result, op):
if op == 0:
return result + n_list[i+1]
elif op == 1:
return result - n_list[i+1]
elif op == 2:
return result * n_list[i+1]
elif op == 3:
if result < 0:
return -(-result // n_list[i+1])
else:
return result//n_list[i+1]
for i in range(4):
for _ in range(operations[i]):
operations_list.append(i)
operations_list = list(permutations(operations_list, len(operations_list)))
max_num = -1e9
min_num = 1e9
for op in operations_list:
result = n_list[0]
for i in range(len(op)):
result = cal(i, result, op[i])
max_num = max(max_num, result)
min_num = min(min_num, result)
print(max_num)
print(min_num)DFS로 푸는 방법은 재귀함수를 이용해서 모든 경우 수를 구해주면 된다.
DFS로 푼 코드는 다음과 같다.
n = int(input())
num_list = list(map(int, input().split()))
cal_list = list(map(int, input().split()))
max_num = -1e9
min_num = 1e9
def cal(answer, idx):
global n, max_num, min_num
if idx == n:
min_num = min(min_num, answer)
max_num = max(max_num, answer)
else:
if cal_list[0] > 0:
cal_list[0] -= 1
cal(answer + num_list[idx], idx + 1)
cal_list[0] += 1
if cal_list[1] > 0:
cal_list[1] -= 1
cal(answer - num_list[idx], idx + 1)
cal_list[1] += 1
if cal_list[2] > 0:
cal_list[2] -= 1
cal(answer * num_list[idx], idx + 1)
cal_list[2] += 1
if cal_list[3] > 0:
cal_list[3] -= 1
cal(int(answer / num_list[idx]), idx + 1)
cal_list[3] += 1
cal(num_list[0], 1)
print(max_num)
print(min_num)
후기
아직 DFS 알고리즘의 응용이 많이 부족한 것 같다. 문제를 푸는 데 시간을 단축할 수 있도록 DFS 관련 문제를 많이 풀어봐야겠다.
