다이나믹 프로그래밍 (Dynamic Programming)

다이나믹 프로그래밍

• 다이나믹 프로그래밍은 동적 계획법 이라고도 부릅니다.

다이나믹 프로그래밍의 조건

• 다이나믹 프로그래밍은 문제가 다음의 조건을 만족할 때 사용할 수 있습니다.

1. 최적 부분 구조 (Optimal Substructure)
   • 큰 문제를 작은 문제로 나눌 수 있으며 작은 문제의 답을 모아서 큰 문제를 해결할 수 있습니다.
2. 중복되는 부분 문제 (Overlapping Subproblem)
   • 동일한 작은 문제를 반복적으로 해결해야 합니다.

피보나치 수열

• 피보나치 수열은 다음과 같은 형태의 수열이며, 다이나믹 프로그래밍으로 효과적으로 계산할 수 있습니다.

  

• 점화식이란 인접한 항들 사이의 관계식을 의미합니다.

• 피보나치 수열을 점화식으로 표현하면 다음과 같습니다.

  

• 피보나치 수열이 계산되는 과정은 다음과 같이 표현할 수 있습니다.
  

• 피보나치 수열이 계산되는 과정은 다음과 같이 표현할 수 있습니다.
  

피보나치 수열: python 소스코드

def fibo(x):
	if x == 1 or x == 2:
    	return 1
    return fibo(x - 1) + fibo(x - 2)
    
print(fibo(4))

피보나치 수열의 시간 복잡도 순서

• 단순 재귀함수로 피보나치 수열을 해결하면 지수 시간 복잡도를 가지게 됩니다.
• 다음과 같이 f(2)가 여러 번 호출되는 것을 확인할 수 있습니다. (중복되는 문제)

피보나치 수열의 효율적인 해법: 다이나믹 프로그래밍

• 다이나믹 프로그래밍의 사용 조건을 만족하는지 확인합니다.

  1. 최적 부분 구조: 큰 문제를 작은 문제로 나눌 수 있습니다.
  2. 중복되는 부분 문제: 동일한 작은 문제를 반복적으로 해결합니다.

• 피보나치 수열은 다이나믹 프로그래밍의 사용 조건을 만족합니다.

메모이제이션 (Memoization)

• 메모이제이션은 다이나믹 프로그래밍을 구현하는 방법 중 하나입니다.
• 이전에 계산된 결과를 일시적으로 기록해 놓는 넓은 개념을 의미

피보나치 수열: 탑다운 다이나믹 프로그래밍 소스코드 (python)

# 한 번 계산된 결과를 메모이제이션(Memoization)하기 위한 리스트 초기화
d = [0] * 100

# 피보나치 함수 (Fibonacci Function)를 재귀함수로 구현(탑다운 다이나믹 프로그래밍)
def fibo(x):
	# 종료 조건 (1 혹은 2일 떄 1을 반환)
    if x == 1 or x == 2:
    	return 1
    # 이미 계산한 적 있는 문제라면 그대로 반환
    if d[x] != 0:
    	return d[x]
    # 아직 계산하지 안흥 ㄴ문제라면 점화식에 따라서 피보나치 결과 반환
    d[x] = fibo(x - 1) + fibo(x - 2)
    return d[x]

print(fibo(99))

피보나치 수열: 보텀업 다이나믹 프로그래밍 소스코드 (python)

# 앞서 계산된 결과를 저장하기 위한 DP 테이블 초기화
d = [0] * 100

# 첫 번째 피보나치 수와 두 번째 피보나치 수는 1
d[1] = 1
d[2] = 1
n = 99

# 피보나치 함수(Fibonacci Function) 반복문으로 구현(보텀업 다이나믹 프로그래밍)
for i in range(3, n + 1):
	d[i] = d[i - 1] + d[i - 2]
    
print(d[n])