1. 서로소 집합 알고리즘
서로소 집합은 공통 원소가 없는 두 집합을 의미한다. 예를 들어, {1,2}와 {3,4}는 서로소 관계인 집합이라고 설명할 수 있따.
1-1 서로소 집합 자료구조
서로소 부분 집합들로 나누어진 원소들의 데이터를 처리하기 위한 자료구조이다.
- 합집합 : 두개의 원소가 포함된 집합을 하나의 집합으로 합치는 연산
- 찾기 : 특정한 원소가 속한 집합이 어떤 집합인지 알려줌
합치기 연산의 서로소 집합 자료구조 동작 과정
- 합집합 연산을 확인하여, 서로 연결된 두 노드 A,B를 확인합니다.
- A와 B의 루트 노드 A', B'를 각각 찾습니다.
- A'를 B'의 부모 노드로 설정합니다.
- 모든 합집합 연산을 처리할 때까지 1번의 과정을 반복합니다.
예시를 통해서 알아보도록 합시다.
- 처리할 연산들 : Union(1,4), Union(2,3), Union(2,4), Union(5,6)
1. 먼저 노드의 개수 크기의 부모 테이블을 초기화합니다!
초기 단계에서는 6개의 집합이 서로 다른 집합으로 분류되며, 각각 원소가 1개씩 존재해서 부모가 자기 자신으로 삼는다.
2. Union(1,4) 진행하기
노드1과 노드4의 루트 노드를 찾습니다. 현재 루트 노드는 각각 1과 4이므로 더 큰 번호에 해당하는 루트 노드 4의 부모를 1로 설정합니다.
(일반적으로 더 큰 루트 노드가 작은 부모 루트 노드를 찾는 것이 관행임)
3. Union(2,3) 진행하기
4. Union(2,4) 진행하기
노드 2와 노드 4의 루트 노드를 각각 찾습니다. 각각 루트 노드가 2와 1이므로, 더 큰 번호에 해당하는 루트 노드 2의 부모를 1로 설정한다!
여기서 3번노드를 주의깊게 보아야 한다. 3번의 부모 노드가 지금 2라고 되어 있는데 사실 루트 노드가 최종 부모이기 때문에 루트노드를 확인해보아야 한다. 3의 루트노드가 1이기 때문에, 3과 4, 2는 같은 집합에 있다는 것을 알 수 있다. (부모 테이블과 루트 테이블은 다르다는 점 이해!)
모든 Union을 끝내고 나면, 다음 사실을 알 수 있다. 서로소 집합 자료구조에는 연결성을 통하여 손십게 집합의 형태를 알 수 있다.
1,2,3,4는 같은 집합이고 루트노드 1을 가지는 하나의 집합이게 된 것이다.
결국 Union을 통해 두개의 집합으로 나누어지며, 서로소 집합입니다.
서로소 집합은 연결성을 통해 서로의 관계를 확인할 수 있다.
주의사항
기본적인 형태의 서로소 집합 자료구조에서는 루트 노드에 즉시 접근할 수 없다. 루트 노드를 찾기 위해 부모 테이블을 계속 확인하며 거슬러 올라가야 한다.
얼핏 보면 3의 부모가 2여서 다른 집합 같아 보이지만, 타고 올라가면 루트 노드가 1이기 때문에 같은 집합에 있다고 확인할 수 있는 것이다.
1-2 서로소 집합 자료구조 구현
여기서 parent는 부모 테이블을 의미하고, x는 노드 번호를 이야기한다.
#특정 원소가 속한 집합을 찾기
def find_parent(parent, x):
#루트 노드를 찾을 때까지 재귀적으로 호출!
if parent[x] != x: #루트 노드가 아니라면
return find_parent(parent, parent[x])
return x #특정 집합에 속한 루트번호 나오도록 함
# 부모에 대한 노드 번호를 넣어서 다시 부모 찾기
# 두 원소가 속한 집합을 합치기
def union_parent(parent, a, b):
a = find_parent(parent, a)
b = find_parent(parent, b)
if a < b:
parent[b] = a
else:
parent[a] = b
# 노드의 개수와 간선(Union연산)의 개수 입력받기
v, e = map(int, input().split())
parent = [0] * (v + 1) #부모 테이블 초기화하기
#부모 테이블상에서 부모를 자기 자신으로 초기화
for i in range(1, v+1):
parent[i] = i
#Union 연산을 각각 수행
for i in range(e):
a, b = map(int, input().split())
union_parent(parent, a, b)
# 각 원소가 속한 집합 출력하기
print('각 원소가 속한 집합 : ', end='')
for i in range(1, v+1):
print(find_parent(parent, i), end = '')
print()
# 부모 테이블 내용 출력하기
print('부모 테이블 : ', end = '')
for i in range(1, v+1):
print(parent[i], end ='')1-3 서로소 집합 구현 방법의 문제점
합집합 연산이 편향되게 이루어지는 경우, 찾기 함수가 비효율적으로 작동한다.
최악의 경우에는 찾기 함수가 모든 노드를 다 확인하게 되어서 시간 복잡도가 O(n)이 나올 수 있다.
다음과 같이 {1, 2, 3, 4, 5}의 총 5개의 원소가 존재하는 상황을 확인해보자.
Union(4,5) , Union(3,4), Union(2,3), Union(1,2)를 한다고 할때 아래와 같은 상황이 발생한다.
매번 부모 테이블 참조, 재귀적으로 루트노드까지 가는데 오래 걸릴 수 있다. 5번 노드의 루트 노드를 알기 위해서 1~5의 찾기 함수를 모두 호출하여 O(n)의 시간이 걸리게 될 수 있게 된 것이다.
최적화를 위한 경로 압축
찾기 함수를 최적화하기 위한 방법으로, 경로 압축을 이용할 수 있다. 찾기 함수를 재귀적으로 호출한 뒤에 부모 테이블 값을 바로 갱신한다.
# 특정 원소가 속한 집합을 찾기
def find_parent (parent, x) :
#루트 노드가 아니라면, 루트 노드 찾을때까지 재귀적으로 호출
if parent[x] != x:
parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
return parent[x]위와 같이 코드를 작성하여 경로 압축 기법을 적용하면, 각 노드에 대하여 찾기 함수를 호출한 이후에 해당 노드의 루트 노드가 바로 부모 노드가 된다.
동일한 예시에 대하여 모든 합집합 함수를 처리한 이후 각 원소에 대하여 찾기 함수를 수행하면 부모 테이블이 갱신된다. 시간 복잡도가 개선되게 된다!
2. 서로소 집합을 활용한 사이클 판별
서로소 집합은 무방향 그래프 내에서의 사이클을 판별할 때 사용할 수 있다. (참고로 방향 그래프에서 사이클 여부는 DFS 사용)
2-1 사이클 판별 알고리즘
- 각 간선을 하나씩 확인하여 두 노도의 루트 노드를 확인
- 루트 노드가 서로 다르다면 두 노드에 대하여 합집합 연산 수행
- 루트 노드가 서로 같다면 사이클이 발생
- 그래프에 포함되어 있는 모든 간선에 대하여 1번 과정을 반복
2-2 사이클 판별 알고리즘 동작 과정 살펴보기
모든 노드에 대하여 자기 자신을 부모로 설정하는 형태로 부모 테이블을 초기화합니다!
1. 간선(1,2)를 확인한다.
노드 1과 노드 2의 루트 노드는 각각 1과 2입니다. 따라서 더 큰 번호에 해당하는 노드 2의 부모 노드를 1로 변경한다.
2. 간선(1,3)을 확인한다.
노드 1과 노드 3의 루트 노드는 각각 1과 3이다. 더 큰번호에 해당하는 노드 3의 부모 노드를 1로 변경!
3. 간선 (2,3)을 확인한다.
이미 노드 2,3의 루트 노드는 1이다. 다시 말해 사이클이 발생하고 있음을 알 수 있다.
합치기 연산만으로 사이클을 판별해낼 수 있다.
2-3 코드 살펴보기
# 특정 원소가 속한 집합을 찾기
def find_parent (parent, x) :
#루트 노드가 아니라면, 루트 노드 찾을때까지 재귀적으로 호출
if parent[x] != x:
parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
return parent[x]
# 두 원소가 속한 집합을 합치기
def union_parent(parent, a, b):
a = find_parent(parent, a)
b = find_parent(parent, b)
if a < b:
parent[b] = a
else:
parent[a] = b
# 노드의 개수와 간선의 개수 입력 받기
v, e = map(int, input().split())
parent[0] * (v + 1) #부모테이블 초기화
#부모 테이블상에서 부모를 자기 자신으로 초기화
for i in range(1, v+1):
parent[i] = i
cylce = False #사이클 발생 여부
for i in range(e):
a, b= map(int, input().split())
#사이클이 발생할 경우 종류
if find_parent(parent, a) == find_parent(parent, b):
cycle = True
break
#사이클이 발생하지 않았다면 합집합 연산 수행
else :
union_parent(parent, a, b)
if cycle :
print("사이클이 발생하였습니다.")
else:
print("사이클이 발생하지 않았습니다.")3. 크루스칼 알고리즘
3-1 신장 트리
그래프에서 모든 노드를 포함하면서, 사이클이 존재하지 않는 부분 그래프를 '신장 트리'라고 한다. 모든 노드가 포함되어 서로 연결되면서 사이클이 존재하지 않는다는 것은 트리의 조건이기도 하다.
최소 신장 트리
최소한의 비용으로 신장 트리를 찾는 방법에 대해서 고민해보자.
예를 들어 N개의 도시가 존재하는 상황에서 두 도시 사이에 도로를 놓아, 전체 도시가 연결될 수 있게 도로를 설치하는 경우를 생각하여 보자.
- 두 도시 A,B를 선택했을 때 A에서 B로 이동하는 경로가 반드시 존재하도록 도로를 설치!
이러한 최소 신장 트리를 찾기 위해서 이야기되는 알고리즘이 바로 크루스칼 알고리즘이다.
이 친구는 그리디 알고리즘으로 분류가 된다.
3-2 크루스칼 알고리즘의 동작
- 간선 데이터를 비용에 따라 오름차순으로 정렬
- 간선을 하나씩 확인하면서 현재의 간선이 사이클을 발생시키는지 확인
- 사이클이 발생하지 않는 경우에는 최소 신장 트리에 포함
- 사이클이 발생하는 경우 최소 신장 트리에 포함 X
- 모든 간선에 대하여 2번의 과정을 반복
예시를 통해서 확인해보자.
1. 그래프의 모든 간선 정보에 대하여 오름차순 정렬을 수행한다
비용이 적은 순서대로 보자!
2. 아직 처리하지 않은 간선 중에서 가장 짧은 간선인 (3,4)를 선택하여 처리한다.
3. 아직 처리하지 않은 간선 중에 가장 짧은 (4,7)을 선택하여 처리한다.
같은 루트 노드를 가지지 않기 때문에 합집합 연산을 진행한다.
4. 아직 처리하지 않은 간선 중에서 짧은 간선인 (4,6)을 선택하여 처리한다.
5. 아직 처리하지 않은 간선 중에서 가장 짧은 간선인 (6,7)을 선택하여 처리한다.
(6,7)은 사이클이 발생하기 때문에 간선에 포함시키지 않는다. 이러한 과정을 진행시켜서 트리를 만들어 나간다.
3-3 크루스칼 알고리즘 구현
# 특정 원소가 속한 집합을 찾기
def find_parent (parent, x) :
#루트 노드가 아니라면, 루트 노드 찾을때까지 재귀적으로 호출
if parent[x] != x:
parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
return parent[x]
# 두 원소가 속한 집합을 합치기
def union_parent(parent, a, b):
a = find_parent(parent, a)
b = find_parent(parent, b)
if a < b:
parent[b] = a
else:
parent[a] = b
# 노드의 개수와 간선의 개수 입력 받기
v, e = map(int, input().split())
parent = [0] * (v + 1) #부모 테이블 초기화
#모든 간선을 담을 리스트와, 최종 비용을 담을 변수
edges = []
result = 0
#부모 테이블상에서, 부모를 자기 자신으로 초기화
for i in range(1, v+1):
parent[i]=i
#모든 간선에 대한 정보를 입력받기
for _ in range(e):
a, b, cost = map(int, input().split())
#비용순으로 정렬하기 위하여 튜플의 첫번째 원소를 비용으로 설정!
edges.append((cost,a,b))
#간선을 비용순으로 정렬
edges.sort()
#간선을 하나씩 확인하며
for edges in edges:
cost, a, b = edge
#사이클이 발생하지 않을 때만 집합에 포함
if find_parent(parent, a) != find_parent(parent, b):
union_parent(parent, a, b)
result += cost
print(result)3-4 크루스칼 알고리즘의 성능 분석
크루스칼 알고리즘은 간선의 개수가 E개일 때, O(ElogE)의 시간 복잡도를 가집니다.
크루스칼 알고리즘에서 가장 많은 시간을 요구하는 곳은 간선을 정렬을 수해하는 부분입니다. 표준 라이브러리를 사용하여 E개의 데이터를 정렬하기 위한 시간 복잡도는 O(ElogE)입니다.
4. 위상 정렬
사이클이 없는 방향 그래프의 모든 노드를 방향성에 거스르지 않도록 순서대로 나열하는 것을 의미한다.
위 세 과목을 모두 듣기 위한 적절한 학습 순서는 자료구조 -> 알고리즘 -> 고급 알고리즘이다.
4-1 방향 그래프의 특성
- 진입차수 : 특정한 노드로 들어오는 간선의 개수
- 진출차수 : 특정한 노드에서 나가는 간선의 개수
4-2 위상 정렬 알고리즘
- 큐를 이용하는 위상 정렬 알고리즘의 동작 과정
- 진입차수가 0인 모든 노드를 큐에 넣는다.
- 큐가 빌 때까지 다음의 과정을 반복!
- 큐에서 원소를 꺼내 해당 노드에서 나가는 간선을 그래프에서 제거
- 새롭게 진입차수가 0이 된 노드를 큐에 넣음
결과적으로 각 노드가 큐에 들어온 순서가 위상 정렬을 수행한 결과와 같음!
사이클이 없고, 방향 그래프에 대해서 위상 정렬을 수행한다고 가정해보자.
1. 초기 단계에서는 진입차수가 0인 모든 노드를 큐에 넣는다.
처음에는 노드 1이 큐에 삽입된다.
2. 큐에서 노드 1을 꺼낸 뒤에 노드 1에서 나가는 간선을 제거한다.
새롭게 진입차수가 0이 된 노드들을 큐에 삽입한다.
3. 큐에서 노드 2를 꺼낸 뒤에 노드 2에서 나가는 간선을 제거합니다.
새롭게 진입차수가 0이 된 노드를 큐에 삽입한다.
4. 큐에서 노드 5를 꺼낸 뒤에 노드 5에서 나가는 간선을 제거합니다.
새롭게 진입차수가 0이 된 노드를 큐에 삽입한디다.
5. 큐에서 노드 3을 꺼낸 뒤에, 노드 3에서 나가는 간선을 제거합니다.
6. 큐에서 노드 6을 꺼낸 뒤에, 노드 6에서 나가는 간선을 제거합니다.
새롭게 진입차수가 0이 된 노드를 큐에 삽입한다.
7. 큐에서 노드 4를 꺼낸 뒤에, 노드 4에서 나가는 간선을 제거!
새롭게 진입차수가 0이 된 노드를 큐에 삽입한다.
마지막으로 큐에서 노드 7을 꺼낸 뒤에, 노드 7에서 나가는 간선을 제거한다.
그럼 결론적으로 위상 정렬의 순서는 아래와 같다.
위상 정렬은 여러 가지 답이 존재할 수 있다. 한 단계에서 큐에 새롭게 들어가는 원소가 2개 이상이고, 꺼내는 것도 임의로 꺼낼 수 있기 때문이다.
모든 원소를 방문하기 전에 큐가 빈다면, 사이클이 존재한다고 판단할 수 있다. 사이클이 포함된 워떠한 원소도 큐에 들어가지 못한다.
4-3 위상 정렬 알고리즘 구현
from collections import deque
#노드의 개수와 간선의 개수 입력받기
v, e = map(int, input().split())
#모든 노드에 대한 진입차수는 0으로 초기화
indegree = [0] * (v + 1)
#각 노드에 연결된 간선 정보를 담기 위한 연결 리스트 초기화
graph =[[] for i in range(v + 1)]
#방향 그래프의 모든 간선 정보를 입력 받기
for_ in range(e):
a, b = map(int, input().split())
graph[a].append(b) #정점 a에서 b로 이동
indegree[b] +=1 #진입 차수 1 증가
#위상 정렬 함수
def topology_sort():
result = [] #알고리즘 수행 결과를 담는다
q = deque() #큐 기능을 위해 deque 라이브러리 사용
#처음 시작할 때에는 진입차수가 0인 노드를 큐에 삽입
for i in range(1, v+1):
if indegree[i] ==0:
q. append(i)
#큐가 빌 때까지 반복
while q:
#큐에서 원소 꺼내기
now = q.popleft()
result.append(now)
# 해다 원소와 연결된 노드들의 진입차수에서 1 빼기
for i in graph[now]:
indegree[i] -= 1
#새롭게 진입차수가 0이 되는 노드 큐에 삽입
if indegree[i] ==0:
q.append(i)
#위상 정렬의 결과 추력
for i in result:
print(i, end =' ')
topology_sort()4-4 위상 정렬 알고리즘 성능 분석
위상 정렬을 위해 차례대로 모든 노드를 확인하며 각 노드에서 나가는 간선을 차례대로 제거해야합니다. 시간 복잡도는 O(V+E)입니다!
