1. 개요
최단 경로 알고리즘은 가장 짧은 경로를 찾는 알고리즘을 이야기한다.
- 한 지점에서 다른 지점까지의 최단 경로
- 한 지점에서 다른 모든 지점까지의 최단 경로
- 모든 지점에서 다른 모든 지점까지의 최단 경로
각 지점은 그래프에서 노드로 표현되고, 지점 간 연결된 도로는 그래프에서 간선으로 표현된다.
2. 다익스트라 최단 경로 알고리즘
- 특정한 노드에서 출발하여, 다른 모든 노드로 가는 최단 경로를 계산한다.
다익스트라 최단 경로 알고리즘은 음의 간선이 없을 때 정상적으로 동작한다. - 매 상황에서 비용이 가장 적은 노드를 선택해 임의의 과정을 반복하므로, 그리디 알고리즘으로 분류된다.
2-1 다익스트라 알고리즘의 동작 원리
- 출발 노드 설정
- 최단 거리 테이블 초기화
- 방문하지 않은 노드 중에서, 최단 거리가 가장 짧은 노드 선택
- 해당 노드를 거쳐 다른 노드로 가는 비용을 계산하여, 최단 거리 테이블 갱신
- 위 과정에서 3번과 4번을 반복한다.
매번 현재를 기준으로, 가장 짧은 것을 선택하는 것을 반복할때마다 특정 노드까지의 최단거리를 확실히 결정하는 거라고 말할 수 있네요. 그래서 모든 노드에 대해서 전체 최단 거리를 알 수 있는 것이다. 각 노드까지의 최단거리만 알게 된다. 경로는 아직 알 수 없음!
알고리즘 동작 과정에서, 최단 거리 테이블은 각 노드에 대한 현재까지의 최단 거리 정보를 가지고 있다. 처리 과정에서 더 짧은 경로를 찾게 되면, 이제부터는 여기가 더 짧은 거라고 갱신해주는 과정이 존재한다.
2-2 다익스트라 알고리즘의 특징
- 그리디 알고리즘 : 매 상황에서 방문하지 않은 가장 비용이 적은 노드를 선택하여, 임의의 과정 반복
- 단계를 거치며, 한 번 처리된 노드의 최단 거리는 고정되어 더이상 바뀌지 않음 -> 한 단계당 하나의 노드에 대한 최단 거리는 확실히 찾을 수 있음!
- 다익스트라 알고리즘을 수행하면, 테이블에 각 노드까지의 최단 거리 정보가 저장된다. 완벽한 형태의 최단 경로를 구하고 싶으면 소스코드에 추가적인 기능을 넣어야 한다.
(최단거리만X 최단경로까지 구하고싶다?)
2-3 구현
단계마다 방문하지 않은 노드 중에서, 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택하기 위해 매 단계마다 1차원 테이블의 모든 원소를 확인(탐색)한다.
import sys
input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9) #무한을 의미
#노드의 개수, 간선의 개수를 입력받기
n,m = map(int, input().split())
#시작 노드 번호를 입력받기
start = int(input())
#각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트를 만들기
graph = [[] for i in range(n+1)]
#방문한 적이 있는지 체크하는 목적의 리스트를 만들기
visited = [False] * (n + 1)
#최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n + 1)
#모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(m):
a,b,c = map(int, input().split())
# a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c라는 것을 의미함
graph[a].append((b,c))
#방문하지 않은 노드 중에서, 가장 최단 거리가 짧은 노드의 번호를 반환
def get_smallest_node():
min_value = INF
index = 0 #가장 짧은 거리를 가지고 있는 노드
for i in range(1, n+1):
if distance[i] < min_value and not visited[i] :
min_value = distance[i]
index = i
return index
def dijkstra(start):
#시작 노드 초기화!
distance[start] = 0
visited[start] = True
for j in graph[start]:
distance[j[0]] = j[1]
#시작 노드를 제외한 전체 n-1개의 노드에 대해서 반복
for i in range(n-1):
now = get_smallest_node()
visited[now] = True
#현재의 노드와 연결된 다른 노드 확인
for j in graph[now]:
cost = distance[now] + j[1]
#현재 노드를 거쳐서 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
if cost < distance[j[0]]:
distance[j[0]] = cost
#다익스트라 알고리즘 수행
dijkstra(start)
#모든 노드로 가기 위한 최단 거리 출력
for i in range(1, n+1):
#도달할 수 없는 경우, 무한이라고 출력
if distance[i] = INF:
print("무한대:)
else:
pinrt(distance[i])위 코드는 알고리즘 교재에 있는 것 같이 복잡한 코드이다.
이것은 O(n)번에 걸쳐서, 최단 거리가 짧은 노드를 매번 선형 탐색해야 한다. 따라서 시간 복잡도는 O(n^2)이다. 이는 일반적으로 전체 노드가 5000개 이하라면 이 코드로 문제를 해결할 수 있으나, 노드의 개수가 10,000개 이상이면 시간 초과가 발생한다.
2-4 우선순위 큐로 구현하기
우선순위 큐는 우선순위가 가장 높은 데이터를 가장 먼저 삭제하는 자료구조이다. 가치가 높은 것부터 먼저 꺼내는 거죠! Python, c++, java를 포함한 대부분의 프언은 표준 라이브러리 형태로 이를 제공한다.
- 스택 : 가장 나중에 삽입된 데이터
- 큐 : 가장 먼저 삽입된 데이터
- 우선순위 큐 : 가장 우선순위가 높은 데이터
이러한 우선순위 큐를 구현할 수 있는 것은 힙이다. 값이 낮은 데이터부터 꺼내는 것은 최소 힙, 값이 큰 값부터 꺼내는 것은 최대 힙이다.
데이터와 삭제에 있어서 효율적인 시간 복잡도를 만들 수 있다.
오름차순 힙에 대한 코드를 만들어보자.
import heapq
#오름차순 힙 정렬 (Heap Sort)
def heapsort(iterable):
h = []
result = []
#모든 원소를 차례대로 힙에 삽입
for value in iterable:
heapq.heappush(h, value)
#힙에 삽입된 모든 원소를 차례대로 꺼내어 담기
for i in range(len(h)):
result.append(heapq.heappop(h))
return result
result = heapsort([1, 3, 5, 7, 9, 2, 4, 6, 8, 0])
print(result)이렇게 하면 작은 데이터부터 꺼내게 된 최소 힙을 사용한 것과 같지. 정렬을 O(nlogn)으로 한 것과 마찬가지 효과이다.
import heapq
#내림차순 힙 정렬 (Heap Sort)
def heapsort(iterable):
h = []
result = []
#모든 원소를 차례대로 힙에 삽입
for value in iterable:
heapq.heappush(h, -value)
#힙에 삽입된 모든 원소를 차례대로 꺼내어 담기
for i in range(len(h)):
result.append(-heapq.heappop(h))
return result
result = heapsort([1, 3, 5, 7, 9, 2, 4, 6, 8, 0])
print(result)내림차순으로 정렬하여 최대 힙의 형태를 사용할 수 있다.
위 힙 개념을 이용하여, 복잡한 다익스트라 알고리즘을 조금 더 개선된 형태로 구현할 수 있따.
단계마다 방문하지 않은 노드 중에서, 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택하기 위하여 힙 자료구조를 이용한다. 즉, 현재 가장 가까운 노드를 찾기 위하여 힙 자료구조를 이용한다는 것이다. 최소 힙을 이용해보자! 
우선순위 큐에는 거리가 짧은 순을 우선순위 큐에 넣어서 확인한다. 이전 코드에서는 거리가 가장 짧은 노드를 찾기 위하여 다음 코드가 존재했었다.
def get_smallest_node():
min_value = INF
index = 0 #가장 짧은 거리를 가지고 있는 노드
for i in range(1, n+1):
if distance[i] < min_value and not visited[i] :
min_value = distance[i]
index = i
return indexn개의 원소가 존재한다고 하면 이것을 하나하나 다 비교해서 가장 짧은 노드가 누구인지 찾아내는 과정을 거쳤고, 아래 코드를 이어서 보자
def dijkstra(start):
#시작 노드 초기화!
distance[start] = 0
visited[start] = True
for j in graph[start]:
distance[j[0]] = j[1]
#시작 노드를 제외한 전체 n-1개의 노드에 대해서 반복
for i in range(n-1):
now = get_smallest_node()
visited[now] = True
#현재의 노드와 연결된 다른 노드 확인
...for문 안에 저 함수가 있음으로 인해 n^2 의 시간 복잡도가 발생하게 된 것이었다! 이 n^2의 불필요한 시간 복잡도를 줄이기 위해서, n개를 삥글삥글 돌면서 누가 제일 크냐, 작냐 할 필요 없이 우선순위 큐에 거리와 노드를 모두 집어넣고, 가장 작은 애를 꺼내서 (O(nlogn) 시간 소요) 효율적으로 코드를 바꾸어 보자는 것이다.
import heapq
import sys
input = sys.stdin.readline
INF = int(le9) #무한 의미!
#노드의 개수, 간선의 개수를 입력받기
n, m = map(int, input().split())
#시작 노드 번호를 입력받기
start = int(input())
#각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트를 만들기
graph = [[] for i in range(n+1)]
#최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n+1)
#모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(m):
a,b,c = map(int, input().split())
#a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c이다.
graph[a].append((b,c))
def dijkstra(start):
q=[]
#시작 노드(start)로 가기 위한 최단 거리는 0으로 설정!
heapq.heappush(q,(0,start))
distance[start] = 0
while q: #큐가 비어있지 않다면!
dist, now = heapq.heappop(q)
#가장 최단거리 꺼내기
if distance[now] < dist :
continue
#현재 노드가 이미 처리된 적이 있으면 무시한다.
for i in graph[now]:
cost = dist + i[1]
#현재 노드와 인접한 다른 노드들 확인 (현재 노드 거쳐서 다른 노드 이동하는 경우가 더 짧은지? 확인)
if cost < distance[i[0]]:
distance[i[0]] = cost
heapq.heappush(q, (cost, i[0]))
#현재 노드를 거쳐서, 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
dijkstra(start)
#다익스트라 실행!
#모든 노드로 가기 위한 최단 거리 출력
for i in range(1, n+1):
#도달할 수 없는 경우 , 무한이라고 출력
if distance[i] == INF :
print("무한")
#도달할 수 있는 경우, 거리를 출력
else :
print(distance[i])방문처리를 위한 배열이 따로 필요하지를 않는다.
최단거리를 위한 함수를 확인하기 위한 함수가 따로 존재하지 않는다.
2-5 개선된 코드의 성능
3. 플로이드-워셜 알고리즘
3-1 개요
- 모든 노드에서 다른 모드까지의 최단 경로를 모두 계산함!
- 플로이드 워셜 알고리즘도 다익스트라 알고리즘과 마찬가지로 단계별로 거쳐 가는 노드를 기준으로 알고리즘을 수행한다. (다만 매 단계마다 방문하지 않은 노드 중에 최단 거리를 갖는 노드를 찾는 과정이 필요하지는 않음!)
- 플로이드 워셜은 2차원 테이블에 최단 거리 정보를 저장
- 플로이드 워셜 알고리즘은 다이나믹 프로그래밍에 속함
단, 노드의 개수가 많은 경우에는 다익스트라 알고리즘을 사용하는것이 해결하는데 더 도움이 된다는 사실~!!
3-2 플로이드 워셜 알고리즘 정리
- 각 단계마다 특정한 노드 k를 거쳐 가는 경우를 확인합니다.
- a에서 b로 가는 최단 거리보다, a에서 k를 거쳐 b로 가는 거리가 더 짧은지 검사합니다.
Dab = min(Dab, Dak + Dkb)
특정한 노드를 거쳤을때를 기준으로 테이블을 갱신하는 것은 다익스트라 알고리즘에 대해서 유사성이 존재한다. 다만, 플로이드 워셜 알고리즘은 a에서 b로 바로 가는 최단거리보다, k를 거쳐 가는게 더 짧은지 보는 것이다.
자, 그럼 먼저 1번 노드를 거쳐 가는 경우를 고려하여 테이블을 갱신해보자. 그럼 k = 1이 되는 것이다.
이런 식으로 k = 2일때, 3일때..의 값을 갱신해 나간다.
INF = int(le9) #무한 의미
#노드의 개수 및 간선의 개수 입력
n = int(input())
m = int(input())
#2차원 리스트를 만들어 무한으로 초기화
graph = [[INF] * (n+1) for _ in range(n+1)]
#자기 자신에서 자기 자신으로 가는 비용은 0으로 초기화
for a in range(1, n+1):
for b in range(1, n+1):
if a==b:
graph[a][b] = 0
#각 간선에 대한 정보를 입력 받아, 그 값으로 초기화
for _ in range(m):
#A에서 B로 가는 비용은 C라고 설정
a, b, c = map(int, input().split())
graph[a][b] = c
#점화식에 따라서 플로이드 워셜 알고리즘을 수행
for k in range(1, n+1):
for a in range(1, n+1):
for b in range(1, n+1):
graph[a][b] = min(graph[a][b], graph[a][k] + graph[k][b])
#수행된 결과를 출력
for a in range(1, n+1):
for b in range(1, n+1):
#도달할 수 없는 경우에는 무한이라고 출력!
if graph[a][b] == INF :
print("무한대!", end="")
#도달 가능한 거리는 출력
else:
print(graph[a][b], end="")
print()3-3 플로이드 워셜 알고리즘 성능 분석
- 노드의 개수가 N개일 때 알고리즘상으로 N번의 단계를 수행한다. 각 단계마다 O(n^2)의 연산을 통해 현재 노드를 거쳐 가는 모든 경로를 고려한다. 따라서 플로이드 워셜 알고리즘의 총 시간 복잡도는 O(N^3)이다. 그래서 플로이드 워셜 알고리즘은 노드의 개수가 적을 때 사용하는 것을 추천한다!
3-4 플로이드 워셜 알고리즘 vs 다익스트라 고리즘 언제쓰냐?
다익스트라 알고리즘은 하나의 정점에서 출발하였을 때, 다른 모든 정점로의 최단 거리를 구하는 알고리즘이다.
그에 반해 플로이드 워셜 알고리즘은 모든 정점에서 다른 모든 정점으로의 최단 경로를 구하는 알고리즘이다.
또한, 다익스트라 알고리즘은 매번 가장 적은 비용을 가진 노드를 하나씩 꺼낸 다음 그 노드를 거쳐가는 비용을 선택해서 가장 저근 비용을 하나씩 선택하는 로직이다.
그에 반해 플로이드 워셜 알고리즘은 거쳐가는 정점을 하나씩 돌아가며 설정하여 거쳐가는 정점을 기준으로 최단 거리를 구하도록 구성되어 있다.
3-5 최단 경로 알고리즘 예제 문제 풀이
ⓐ 전보
어떤 나라에는 N개의 도시가 있다. 그리고 각 도시는 보내고자 하는 메시지가 있는 경우, 다른 도시로 전보를 보내서 다른 도시로 해당 메시지를 전송할 수 있다. 하지만 X라는 도시에서 Y라는 도시로 전보를 보내고자 한다면, 도시 X에서 Y로 향하는 통로가 설치되어 있어야 한다. 예를 들어 X에서 Y로 향하는 통로는 있지만, Y에서 X로 향하는 통로가 없다면 Y는 X로 메시지를 보낼 수 없다. 또한 통로를 거쳐 메시지를 보낼 때는 일정 시간이 소요된다. 어느 날 C라는 도시에서 위급 상황이 발생했다. 그래서 최대한 많은 도시로 메시지를 보내려고 한다. 메시지는 도시 C에서 출발하여 각 도시 사이에 설치된 통로를 거쳐, 최대한 많이 퍼져나갈 것이다. 각 도시의 번호와 통로가 설치되어 있는 정보가 주어졌을 때, 도시 C에서 보낸 메시지를 받게 되는 도시의 개수는 총 몇개이며 도시들이 모두 메시지를 받는 데까지 걸리는 시간을 계산하는 프로그램을 작성하시오.
-
시간 제한 : 1초, 메모리 제한 128MB
-
입력 조건 : 첫째 줄에는 도시의 개수 N, 통로의 개수 M, 메시지를 보내고자 하는 도시 C가 주어진다. (1<= N <= 30,000)
-
출력 조건 : 첫째 줄에 도시 C에서 보낸 메시지를 받는 도시의 총 개수와 총 걸리는 시간을 공백으로 구분하여 출력합니다.
1. 아이디어
이 문제의 핵심 아이디어는 한 도시에서 다른 도시까지의 최단 거리 문제로 치환을 할 수 있다는 것이다. N과 M의 범위가 큰 편이기 때문에 우선순위 큐를 활용한 다익스트라 알고리즘을 이용하여 풀이할 수 있다.
우선순위 큐를 이용하는 이유는 노드가 30,000개인데 n^2을 사용하게 된다. 시간 초과 판정을 받게 될 수도 있음!!!
2. 코드
import heapq
import sys
input = sys.stdin.readline
INF = int(le9) #무한 의미!
def dijkstra(start):
q=[]
#시작 노드(start)로 가기 위한 최단 거리는 0으로 설정!
heapq.heappush(q,(0,start))
distance[start] = 0
while q: #큐가 비어있지 않다면!
dist, now = heapq.heappop(q)
#가장 최단거리 꺼내기
if distance[now] < dist :
continue
#현재 노드가 이미 처리된 적이 있으면 무시한다.
for i in graph[now]:
cost = dist + i[1]
#현재 노드와 인접한 다른 노드들 확인 (현재 노드 거쳐서 다른 노드 이동하는 경우가 더 짧은지? 확인)
if cost < distance[i[0]]:
distance[i[0]] = cost
heapq.heappush(q, (cost, i[0]))
#현재 노드를 거쳐서, 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
#노드의 개수, 간선의 개수를 입력받기
n, m = map(int, input().split())
#시작 노드 번호를 입력받기
start = int(input())
#각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트를 만들기
graph = [[] for i in range(n+1)]
#최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n+1)
#모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(m):
a,b,c = map(int, input().split())
#a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c이다.
graph[a].append((b,c))
dijkstra(start)
#다익스트라 실행!
#도달 가능한 노드의 개수
count = 0
max_distance = 0
#모든 노드로 가기 위한 최단 거리 출력
for d in distance:
if d != 1e9:
count +=1
max_distance = max(max_distance, d)
# 시작노드는 제외해야 하므로 count-1 출력!
print(count - 1, max_distance)도달 가능한 친구들 중에서 가장 거리가 먼 친구의 그거리를 받아온다.
ⓑ 미래 도시
미래 도시에는 1번부터 N번까지의 회사가 있는데, 특정 회사끼리는 서로 도로를 통해 연결되어 있다. 방문 판매원 A는 현재 1번 회사에 위치해 있으며, X번 회사에 방문하여 물건을 판매하고자 한다. 미래 도시에서 특정 회사에 도착하기 위한 방법은 회사끼리 연결되어 있는 도로를 이용하는 방법이 유일하다. 또한 연결된 2개의 회사는 양방향으로 이동할 수 있다. 공중 미래 도시에서 특정 회사와 다른 회사가 도로로 연결되어 있다면 정확히 1만큼의 시간으로 움직인다.
또한 오늘 방문 판매원 A는 기대하던 소개팅에도 참석하고자 한다. 소개팅의 상대는 K번 회사에 존재한다. 방문판매원 A는 X번 회사에 가서 물건을 판매하기 전, 소개팅 상대의 회사에 찾아가서 함께 커피를 마실 예정이다. 따라서 방문 판매원 A는 1번 회사에서 출발하여 K번 회사를 방문한 뒤에 X번 회사로 가는 것이 목표이다. 방문 판매원이 최대한 빠르게 움직이고자 할 때, 이를 이동할 수 있는 최소 시간을 계산하는 프로그램을 작성하자.
-
시간 제한 : 1초, 메모리 제한 128MB
-
입력 조건 : 첫째 줄에는 전체 회사의 개수 N과 경로의 개수 M이 공백으로 구분되어 차례대로 주어진다. (1<=N, M<=100) 둘째 줄 부터는 M + 1번째 줄에는 연결된 두 회사의 번호가 공백으로 구분되어 주어진다. M+2번째 줄에는 X와 K가 구분되어 차례대로 주어진다. (1 <= K <= 100)
-
출력 조건 : 첫째 줄에 방문 판매원 A가 K번 회사를 거쳐 X번 회사로 가는 최소 이동 시간을 출력한다. 만약 X번 회사에 도달할 수 없다면 -1을 출력한다.
1.아이디어
일단 노드의 개수가 많지 않아서 플로이드 워셜 알고리즘을 이용하는 것이 좋다!! N의 크기가 최대 100이기 때문에 O(n^3)이어도 시간복잡도 초과는 안될겨. 그래서 플로이드 워셜 알고리즘을 수행한 뒤에 1번 노드에서 X까지의 최단 거리 + X에서 K까지의 최단 거리를 계산하여 출력하면 된다.
2. 코드
INF = int(le9) #무한 의미
#노드의 개수 및 간선의 개수 입력
n = int(input())
m = int(input())
#2차원 리스트를 만들어 무한으로 초기화
graph = [[INF] * (n+1) for _ in range(n+1)]
#자기 자신에서 자기 자신으로 가는 비용은 0으로 초기화
for a in range(1, n+1):
for b in range(1, n+1):
if a==b:
graph[a][b] = 0
#각 간선에 대한 정보를 입력 받아, 그 값으로 초기화
for _ in range(m):
#A에서 B가 서로에게 가는 비용을 1이라고 설정함!
a, b = map(int, input().split())
graph[a][b] = 1
graph[b][a] = 1
x, k = map(int, input().split())
#거쳐 갈 노드와 최종 노드 입력받음
#점화식에 따라서 플로이드 워셜 알고리즘을 수행
for k in range(1, n+1):
for a in range(1, n+1):
for b in range(1, n+1):
graph[a][b] = min(graph[a][b], graph[a][k] + graph[k][b])
#수행된 결과를 출력
distnace = graph[1][k] + graph[k][x]
#도달할 수 없다면 -1 출력
if distance >= INF:
print("-1")
else:
print(distance)