몬티홀 딜레마 (Monty Hall problem)

• 영화 21에서 나오는 "몬티홀 딜레마" 컷
  
  

위의 영상을 처음 봤을 때는 왜 마지막까지 1번 문을 고르면 안되는 건지 이해가 안 됐다.
3번 문이 "염소"인것을 안 이상, 1번을 골라도 확률은 66.7%! 그리고 2번 문을 골라도 확률은 66.7%! 그런데, 벤은 처음에 골랐던 1번 문을 버리고, 2번 문을 골랐다.
=> 선택을 바꿔야, 차를 선택할 확률이 66.7%로 올라간다고 주장한다.
그리고 교수는 이 선택에 칭찬을 보낸다. 왜?? 대체 왜?? 이게 어떻게 확률을 근거로 한 선택인가?? 1번 문과 2번 문의 확률이 똑같다면, 더이상 확률에 근거로 한 선택이 아니라 그냥 찍은 거 아닌가??

이해도 안 되고, 너무 궁금해서 한 번 파보기로 했다.

=> 벤은 1번을 선택했는데, 모든 것을 알고 있는 사회자는 3번 문의 "염소"를 보여주면서, 벤에게 문을 다시 한 번 바꿀 기회를 준다. 이때 벤은 자신의 선택을 바꾸는게 유리한가?? 아니면, 그대로 유지하는게 유리한가??

"염소"의 문이 하나 개방된 이상, 바꾸거나 안 바꾸거나 확률은 50 대 50 아닌가?? 하는 나의 생각은 이 부분을 간과했다.

사회자가 나의 첫 선택 이후, "염소"가 있는 문을 개방해주지 않고 다시 한 번 선택할 기회를 준다면, 어떻게 해도 내가 "차"를 선택할 수 있는 확률에는 변함이 없다. 그러나, 중요한 것은 여기서 사회자가 "염소"의 문 하나를 개방한다는 것이다. 바로 그게 모든 경우의 수을 바꾼다!!

다음은 몬티홀 문제에서 발생할 수 있는 모든 경우의 수이다. 그리고 파란 줄은 나의 첫 선택들이다. 딱 봐도 염소를 선택할 확률이 높다.

3개의 문의 모든 경우의 수를 나열해본다면, 확률적으로 나의 첫 선택은 "염소"일 확률이 높다. 그리고 사회자가 나의 첫 선택 후, 개방하는 문은 무조건 "염소"이기 때문에, 남는 것은 "차"가 있는 문이다. 다시 말해서, 확률상 내가 처음 선택한 문은 "염소"일 확률이 높고, 그리고 사회자가 "염소"를 하나 제거해준 상태에서 다시 한 번 선택할 기회를 준다면??? 무조건 바꾸는 게 확률상 유리하다.

정리하면,
포인트는 처음 선택한 문은 염소일 가능성이 더 높다.

• 사회자는 내가 선택한 문은 개방하지 않는다.
• 사회자는 차가 어디있는지 안다.
• 사회자는 차가 있는 문을 개방하지 않는다.
  => 1번 문이 " 차 "일 가능성은 33.3%이다. 그러나, 사회자가 염소가 있는 문을 하나 개방하면, 남은 문에 차가 있을 가능성은 염소와 차 5 대 5이다. 즉, 과거의 선택 33.3%가 선택을 바꾸면서 66.7%로 변한다.

• 자료 출처

📢 답이 한방에 이해 불가인 난이도 최상 문제!

모르는 것을 아는 것은 언제나 짜릿하다!!ㅎㅎ