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오늘은 Birthday problem에 관해서 알아보자!!
Birthday problem은 Birthday Paradox라고도 불린다.
과거 CS107 (이산 수학) 수업을 들었을 때, 배웠던 내용인데 최근에 관련 영상을 봐서, 해당 개념에 관해 정리 해보고자 한다.
확률이란??
쉽게 말해, 어떤 일이 일어날 가능성을 우리는 확률이라고 부른다.
하나의 사건이 일어날 수 있는 가능성을 수로 나타낸 것
확률은 굉장히 수학적인 개념인데, 과거 사람들은 확률이라는 개념을 우연이나 직감의 일부로 생각했다. 그러다가, 16세기 이탈리아 수학자 "지롤라모 카르다노"는 사람이 등장한다.
그는 굉장한 도박광이었다. 그리고 수학을 이용해서 어떻게 하면 도박에서 돈을 많이 딸 수있을지에 대해 연구하게 되는데, 그 때 나온 논문 "주사위 놀이에 대하여"가 현대 확률의 시작이 된다.
확률의 곱셈 정리
'Birthday problem을 알아보는데, 뜬금없이 왜 확률의 곱셈 정리를 말하는가?'라고 할 수도 있다.
그러나, Birthday problem을 알기 위해서는 반드시 이 곱셈 정리에 대한 이해가 선행되어야 한다.
우리가 아침에 일어나서 밖을 나갈 때, 무슨 옷을 입을지 코디를 한다.
-
그때 내가 가진 상의가 3벌이고 하의가 2벌이라면 총 내가 코디할 수 있는 경우는 수는 몇가지 인가??
=> 3 * 2 = 6
총 6가지가 된다. -
이제 상의 3벌 중에 하나를 선택할 확률은 어떻게 되는가??
=> 1/3 이 된다. -
하의 2벌 중에서 하나를 선택할 확률은??
=> 1/2 이 된다.
여기서, 상의와 하의는 반드시 둘다 입어야만 하는 것이다.
확률에서는 어떤 두 사건이 동시에 일어나야 할 때, 각각의 확률을 곱하면 그 사건들이 동시에 일어날 확률이 된다.
각 확률의 곱 = 동시에 일어날 확률
그리고 이렇게 각각의 확률들을 곱한다고 해서, 우리는 확률의 곱셈 정리라고 부른다.
Birthday problem
- 심판을 포함해, 총 23명이 존재한다.
이 중에서 생일이 같은 두 사람이 있을 확률은??
문제를 바로 접근하기 어려울 수 있으니, 좀 더 쉬운 문제로 접근해보자!
만약 오늘 비 올 확률이 1/3이면, 비가 오지 않을 확률은 얼마인가??
=> 1 - (1/3) = 2/3
즉, 1에서 비가 올 확률을 뺀 것이다. 이 개념을 적용해보자.
- 생일이 같은 두 사람이 있을 확률을 바로 구하는 건 어렵다. 그래서, 반대로 생각해서 생일이 같은 두 사람이 없을 확률을 먼저 구해보자!!
23명의 모든 사람들이 생일 전부다 다를 확률??
A라는 사람의 생일이 1월 1일이라면, B라는 사람의 생일은 1월 1일만 아니면 된다.
이때, B라는 사람이 A라는 사람과 생일이 다를 확률은 (364/365)가 된다.
그리고 C라는 사람이 A와 B라는 사람과 생일이 다른 확률은 (363/365)가 된다.
- 어떤 일이 동시에 일어날 확률을 구할 때는 곱셈의 정리를 이용한다.
(364/365) X (363/365) X (362/365) X (361/365) ......
이렇게 총 23명인데, 맨 앞의 A라는 사람을 빼고 시작했기 때문에, 22개의 수를 나열해야 한다.
그리고 맨 마지막 수는 365-22를 뺀 343 즉, (343/365)가 된다.
(364/365) X (363/365) X (362/365) X (361/365) ... X (343/365)
=> 이게 바로 23명의 생일이 모두 다를 확률이다.
1 - (생일이 모두 다를 확률) = 생일이 같은 사람이 있을 확률
(364/365) X (363/365) X (362/365) X (361/365) ... X (343/365)을 실제로 계산해보면, 0.5가 나온다.
즉, 23명 중에 생일이 같은 사람이 있을 확률은 0.5 => 50%나 된다.
만약에, 23명이 아니라 40명이라고 한다면, 생일이 같은 사람이 있을 확률은 약 90%까지 올라간다.
60명 중에 생일이 같은 사람을 있을 확률을 구한다면, 거의 100%에 가까운 값이 나온다.
- ⚠ 주의
이 값은 "나와 생일이 같은 사람이 있을 확률"이 아니다.
=> 랜덤하게 뽑은 집단의 구성원 중에서, 생일이 같은 사람이 한 쌍 이상 나올 확률이다.
=> 그게 내가 될 수도 있을 뿐이지. 누가 될 지는 모른다.
참고 자료 및 자료 출처
감사합니다.