부호 있는 수와 절댓값 완전 정복 (Mastering Signed Numbers & Absolute Value)

GoGoComputer·2025년 5월 1일

기초 수학 basic mathematics

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기초 대수(Pre-Algebra) 여정, 쉬운 설명 + 영 · 한 용어 병기

0. 들어가는 말 | Getting Ready

집을 지을 때 망치(hammer, 망치), 못(nail, 못)처럼 반복해서 쓰는 필수 도구들이 있듯, 기초 대수에서도 앞으로 계속 쓰게 될 수학 도구들을 익힙니다. 이 과정은 여러분의 “수학 공구 상자(math toolbox, 수학 도구 상자)”를 풍성하게 채우는 여정입니다.

1. 정수와 음수 | Whole & Negative Numbers

한국어	English	한 줄 설명
양수	positive number	0 오른쪽에 있는 수: 1, 2, 3…
음수	negative number	0 왼쪽에 있는 수: −1, −2, −3…
절댓값	absolute value	0에서의 거리 (

0을 중심으로 양쪽 방향으로 셀 수 있다는 감각이 이후 모든 연산의 출발점이 됩니다.

2. 네 가지 기본 연산 | Four Basic Operations

덧셈 (addition)
뺄셈 (subtraction)
곱셈 (multiplication)
나눗셈 (division)

▶︎ 양수 + 양수, 음수 + 음수, 양수 + 음수처럼 부호가 섞일 때 결과가 어떻게 달라지는지 계산 규칙을 익힙니다.

3. 약수·배수 | Factors & Multiples

용어(한)	용어(영)	예시
약수	factor	12 = 2 × 2 × 3 → 2, 3은 12의 약수
배수	multiple	12, 24, 36…은 12의 배수
최대공약수	GCD (= Greatest Common Divisor)	12와 18의 GCD는 6
최소공배수	LCM (= Least Common Multiple)	12와 18의 LCM은 36

약수·배수 감각은 곧바로 분수 계산의 분모 맞추기(common denominator) 로 이어집니다.

4. 분수·혼합수 | Fractions & Mixed Numbers

분수 (fraction): 전체(whole)를 나눈 일부(part).
- 피자 8조각 중 2조각 → 2⁄8 (= 1⁄4)
혼합수 (mixed number): 1보다 큰 양을 정수 + 분수로 표시 (예: 1½)
배우는 것
1. 분수 읽고 쓰기
2. 동분모(common denominator) 만들기
3. 분수의 덧셈·뺄셈·곱셈·나눗셈

5. 소수 | Decimals

소수는 분수를 10의 거듭제곱(10ⁿ)으로 나눈 결과로 생각할 수 있습니다.

½ = 0.5
¾ = 0.75

소수의 반올림(rounding) 으로 계산을 간단히 만드는 법도 함께 익힙니다.

6. 비와 비율 | Ratios & Proportions

비 (ratio): 두 양의 비교 → 4 개 : 1.50 달러
비율 (proportion): 두 비가 같다는 관계
- 4개/1.50 $ = ?개/6 $
실생활 응용: 단가 비교(unit price), 장보기, 레시피 조절 등.

7. 지수와 루트 | Exponents & Roots

개념	영어	예시
지수	exponent	3² = 3 × 3 = 9
거듭제곱	power	2⁵ = 32
제곱근	square root	√9 = 3
n제곱근	n-th root	∛8 = 2

지수 ↔ 루트는 역연산(inverse operations) 관계입니다.

8. 과학적 표기법 | Scientific Notation

아주 큰(huge) 혹은 작은(tiny) 수를 a × 10ⁿ 형태로 축약합니다.

원래 숫자	과학적 표기
2 779 800 000	2.7798 × 10⁹
0.000 045	4.5 × 10⁻⁵

천문학, 화학처럼 자리수가 많아지는 분야에서 읽기·계산하기 쉬워지는 장점이 있습니다.

9. 마무리 | Why These Tools Matter

이제 여러분은

숫자를 해체하고 조립(factor & multiple)
부분과 전체를 여러 방식으로 표현(fractions, decimals, ratios)
거듭제곱과 근(지수·루트) 로 크기를 압축·확대
과학적 표기법으로 현실적으로 다루기 어려운 숫자들을 손쉽게 표기

할 수 있는 수학 공구 상자를 마련했습니다. 앞으로 대수(Algebra), 기하학(Geometry), 통계(Statistics) 등 어느 분야로 가더라도, 오늘 다룬 도구들은 계속 꺼내 쓰게 될 것입니다.

Tip: 새 공구를 배울 때마다 실제 생활 예시(장보기, 시간 계산, 거리·속도 문제)를 떠올려 보세요. 추상적인 공식이 손에 잡히는 도구로 변하면서 이해가 훨씬 편해집니다.

즐거운 수학 여행 되세요!

“숫자(Number)”란 무엇인가?

– 숫자의 정체와 친척들, 영·한 용어 병기 쉬운 가이드

1. 숫자는 “양(量)을 표현하는 기호”

핵심 아이디어: 눈에 보이지 않는 ‘얼마만큼’을 기호(symbol) 로 적어두면 서로 이야기하거나 계산할 수 있습니다.
‘하나, 둘, 셋…(1, 2, 3…)’ 같은 개수뿐 아니라,
- 빚(−7),
- 루트(√3),
- 끝없이 이어지는 소수(4.31 3131 …),
- 분수(17⁄12)
  같은 크기·길이·순서까지 전부 숫자가 담당합니다.

2. 숫자 집합(Number Sets) ― “러시안 인형”처럼 겹겹이

겹	한국어 이름	English	특징 & 예시
①	자연수	natural numbers ℕ	1, 2, 3… (0은 상황에 따라 포함, 보통 초등 ‘수 세기’)
②	정수	integers ℤ	… −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3… (음수·0·양수)
③	유리수	rational numbers ℚ	분수로 쓸 수 있음. 17⁄12, −7, 0.75, 반복소수 4.31 31…
④	무리수	irrational numbers	분수 불가. √3, π, e 등 끝도 없고 반복도 없음
⑤	실수	real numbers ℝ	유리수 + 무리수 → 수직선(line) 위 모든 점
⑥	복소수	complex numbers ℂ	실수 + 상상수 i (예: 3 + 4i). 2차원 평면 표현

그림으로 보면 ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ ⊂ ℂ — 안으로 갈수록 “더 넓은 세계”.

3. 양수·음수 ― “거울 속 파트너”

개념	한국어 ↔ English	설명
양수	positive	0보다 오른쪽(+), 소유·이득 느낌
음수	negative	0보다 왼쪽(−), 부족·빚 느낌
덧셈의 항등원	0 (zero)	어느 방향도 아닌 중립점
반수	additive inverse	어떤 수 a의 반대편 −a (3 ↔ −3)
절댓값	absolute value	0에서의 거리:

생활 비유

저축 + 10 만원 → +10
카드빚 − 7 만원 → −7
둘을 합치면 3 만원 남음: +10 + (−7) = +3

4. 분수 & 소수 ― “부분을 말하는 두 언어”

17⁄12 (가분수 improper fraction) → 1 + 5⁄12 (혼합수 mixed number)
0.75 ↔ 3⁄4
반복소수(Repeating decimal): 4.31 31 31… = 431⁄99 → 유리수임을 증명

5. 무리수 & √3 ― “끝없는 소용돌이”

√3 ≈ 1.732 05… 꼬리에 패턴이 없다 → 절대로 분수 못 됨
π, e 역시 무리수. 원둘레·자연성장 같은 현상을 다룰 때 등장.

6. 큰 판 위의 위치 ― “수직선(Number Line)” 한눈 요약

…─−7─−6─−5─−4─−3─−2─−1─0─1─2─3─4─5─6─7─…
           ↑         ↑         ↑
         √3≈1.73   4.31      17/12≈1.42

모든 실수 ℝ가 이 일직선 위에 ‘좌표’로 놓이고,
복소수 ℂ는 가로(실수)·세로(허수) 2차원 평면으로 확장됩니다.

7. 왜 구분이 필요할까?

연산 규칙이 다름
- 무리수 × 유리수 → 무리수일 수도, 유리수일 수도
문제 해결 전략 결정
- 방정식 (x^2 = 3) 의 해는 √3, −√3 (무리수)
- 반복소수 4.31 31…은 분수로 바꿔야 정확 계산 가능
컴퓨터·프로그래밍
- 부동소수점(float)은 유리수 근사치 → 오차 관리 필수

8. 한눈에 정리

숫자 = 크기를 표현하는 기호
집합별 특징을 알면 복잡한 값도 어디에 속하는지 분류 → 규칙·공식 선택
양수·음수는 ‘거울’ 관계, 0이 기준점
유리 ↔ 무리, 분수 ↔ 소수 변환 스킬은 계산·프로그래밍 필수 도구
실수선 → 복소평면 확장은 고급 수학·공학·파동 분석의 토대

9. 다음 걸음

직접 수직선을 그려 임의의 숫자 위치 표시해 보기
반복소수 ➜ 분수로 바꾸는 연습 (예: 0.\overline{13} = 13⁄99)
실생활 데이터(온도 −2 °C, 예금 +1 000 원)로 양·음수 계산 감각 익히기

“숫자는 단순히 셈을 위한 기호가 아니라 세상을 모델링하는 언어”라는 사실을 기억하세요. 여러분의 수학 여정이 더 탄탄해질 겁니다!

숫자 세계 큰 그림 — Number Universe, 쉬운 해설 (영 ·한 용어 병기)

0. “숫자”란? | What Is a Number?

숫자(number) = 눈에 보이지 않는 ‘양(量, quantity)’ 을 나타내는 기호(symbol)
덕분에 세기(counting), 비교(comparing), 계산(calculating) 이 가능해집니다.
- 1, 2, 3… → 사과 개수, 사람 수
- −7 → 통장 잔액보다 적자(빚)인 금액
- √3 → 정삼각형 한 변의 높이 등
- 4.31 3131… → 반복소수
- 17⁄12 → 1보다 살짝 큰 길이

1. 숫자 집합 (수 체계) | Number Sets (‘Nested Boxes’)

아래로 갈수록 좁은 상자, 위로 갈수록 넓은 상자!

기호	한국어 이름	English Name	포함 관계 & 예시
ℝ	실수	Real Numbers	수직선 위 모든 점: 유리수 + 무리수
ℚ	유리수	Rational Numbers	분수로 표시 가능: 3⁄4, −2, 4.31 31…
ℤ	정수	Integers	…−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3…
𝕎	범자연수	Whole Numbers	0 포함: 0, 1, 2, 3…
ℕ	자연수 / 헤아림 수	Natural (Counting) Numbers	1, 2, 3…

무리수 (irrational numbers) = ℝ − ℚ
예시 √2, π, e (분수로 절대 표현 불가)

관계를 ASCII 그림으로

ℝ  ───────────────────────────────────────────
│           (real numbers)                   │
│  ℚ  ────────────────────────────────       │
│  │      (rational numbers)          │      │
│  │  ℤ  ──────────────             │ │      │
│  │  │   (integers)  │             │ │      │
│  │  │ 𝕎 ────────    │             │ │      │
│  │  │ │  (whole) │  │             │ │      │
│  │  │ │ ℕ ────── │  │             │ │      │
│  │  │ │ │ (natural)│             │ │      │
│  │  │ │ └─────────┘             │ │      │
│  │  │ └─────────────────────────┘ │      │
│  │  └──────────────────────────────       │
│  └─────────────────────────────────────────│
└─────────────────────────────────────────────

2. 각 집합, 디테일 한눈에

2-1. 자연수 ℕ (Natural Numbers, Counting Numbers)

시작은 1. 아이가 “하나, 둘, 셋” 배울 때 쓰는 숫자.
실생활: 사람 수, 계단 개수.
표기: ℕ = {1, 2, 3, …}

2-2. 범자연수 𝕎 (Whole Numbers)

자연수 + 0.
“아무것도 없음”도 헤아리고 싶을 때 0을 추가.
표기: 𝕎 = {0, 1, 2, 3, …}

2-3. 정수 ℤ (Integers)

양수 + 0 + 음수 (부호만 반대일 뿐 크기는 동일).
빚/적자 -7 만원 ↔ 이익/저축 +7 만원.
표기: ℤ = {…, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …}

2-4. 유리수 ℚ (Rational Numbers)

“비율(ratio)” 에서 이름.
정수 ÷ 정수 형태 분수(fraction) 로 표시 가능.
- ⅔, −7⁄2, 4.31 31…(반복소수) = 431⁄99
소수점이 끝나거나(0.75) 규칙 반복(0.3̅, 4.31̅) → 유리수

2-5. 무리수 (Irrational Numbers)

분수 불가. 소수점이 끝나지 않고, 반복 패턴도 없음.
- √2 ≈ 1.414 213…
- π ≈ 3.141 59…
- e ≈ 2.718 28…
표기 기호는 따로 없고, ℝ \ ℚ 로 표현: “실수 중 유리수를 뺀 나머지”.

2-6. 실수 ℝ (Real Numbers)

유리수 ℚ + 무리수 전부.
수직선(number line) 한 점 ↔ 한 실수.
이후 복소수(complex numbers, ℂ) 로 확장하면 ‘실수 축’ + ‘i 축’ 2D 평면.

3. 기호(Notation) 요약

기호	의미(한·영)	메모
ℝ	실수 Real	double-struck R
ℚ	유리수 Rational	“Quotient”에서 Q
ℤ	정수 Integers	독일어 Zahlen(숫자)
𝕎	범자연수 Whole	‘Whole’의 W
ℕ	자연수 Natural	Natural Numbers
ℝ \ ℚ	무리수 Irrational	실수에서 유리수 뺀 집합

4. 집합 기수법 (Roster / Set-builder Notation)

집합 = 공통 속성이 있는 원소(element) 묶음
표기는 중괄호 { } 사용

원소를 나열(roster)
- 𝕎 = {0, 1, 2, 3, …}
- TacoIngredients = {lettuce, beef, cheese, salsa, sour cream}
조건식(set-builder)
- ℤ = { x ∣ x is a whole number or its negative }
- { x ∈ ℝ ∣ x² = 2 } = {−√2, √2}

생활 예시
타코 파티 메뉴를 집합 기수법으로 적으면,

TacoParty = {lettuce, beef, cheese, salsa, sour cream, guacamole}

필요 재료를 한눈에 정리 → 장보기 체크리스트 완성!

5. 왜 알아야 할까? | Why Bother?

계산 규칙
- √2 + 3⁄4 (무리 + 유리) → 여전히 무리수
문제 해결 전략
- 방정식 x² = 2 → 해는 무리수 √2
- 반복소수 0.1̅6 → 분수 1⁄6 로 바꿔야 정확
컴퓨팅
- 컴퓨터 실수형(float) ≈ 유리수 근사값 → 오차 분석 필수
학문·공학
- 미적분, 통계, 파동 분석, 회로 이론 전부 ‘숫자 체계’ 위에 구축

6. 복습 체크리스트 ✔︎

ℕ ↔ 𝕎 ↔ ℤ ↔ ℚ ↔ ℝ 포함 관계 설명할 수 있다.
√5, −8⁄3, 0.25, π 를 각각 분류할 수 있다.
“집합 기수법” 으로 좋아하는 음료 리스트를 써볼 수 있다.

기억 팁

“Russian-doll sets” 이미지를 떠올려 보세요.

유리 ℚ 은 ‘분수 가능’, 무리 irrational 은 ‘분수 불가’!

기호만 봐도 영어·한국어 이름이 바로 떠오를 때까지 연습하면 앞으로의 대수(Algebra)·기하학(Geometry)·통계(Statistics)가 훨씬 수월해집니다.

즐거운 숫자 탐험 되세요!

항등원(Identity Element)란?

– 덧셈과 곱셈에서 0과 1이 가진 ‘정체성 보존’ 마법, 영 · 한 용어 병기 쉬운 가이드

1. 핵심 정의 | Core Definition

한국어	English	한 줄 설명
항등원	identity element	어떤 연산을 해도 원래 값(정체성, identity)을 바꾸지 않는 특별한 원소

“항등(identity) = 모습이 그대로”
“원(element) = 연산 속에 존재하는 값”

2. 덧셈의 항등원 0 | Additive Identity 0

정의: 임의의 수 a에 0을 더해도 a 그대로
[ a + 0 = a ]
역방향도 성립:
[ 0 + a = a ]
예시
- 4 + 0 = 4 (양수)
- −7 + 0 = −7 (음수)
- x + 0 = x (변수)

비유: 숫자 옆에 “+ 0”은 스티커처럼 붙었다 떼도 자국이 남지 않는다.

3. 곱셈의 항등원 1 | Multiplicative Identity 1

정의: 임의의 수 a에 1을 곱해도 a 그대로
[ a \times 1 = a ]
역방향도 성립:
[ 1 \times a = a ]
예시
- 1000 × 1 = 1000
- 4.5 × 1 = 4.5
- xyz × 1 = xyz

비유: “× 1”은 복사 후 투명 레이어—원본이 전혀 가려지지 않는다.

4. 왜 중요한가? | Why Does It Matter?

식 단순화(simplification)
- x + 0 → x, y × 1 → y 로 불필요한 부분을 바로 없앨 수 있다.
방정식 해결(equation solving)
- 밑바탕 규칙이 되어 양변에 +0, ×1 같은 ‘무해한’ 조작을 마음껏 쓴다.
추상대수(abstract algebra)
- 군(group)·환(ring) 개념도 “항등원 존재”를 핵심 공리로 삼는다.
프로그래밍
- 초기값 세팅(예: 합계를 0, 곱을 1)·단위 테스트 등에 쓰인다.

5. 확장 예시 | Beyond Numbers

구조	항등원	설명
행렬 곱(matrix multiplication)	단위행렬 I (identity matrix)	대각선이 1, 나머지 0 → A × I = A
문자열 연결(string concatenation)	빈 문자열 ""	"Hello" + "" = "Hello"
벡터 덧셈(vector addition)	영벡터 0⃗	v + 0⃗ = v

6. 한눈 정리 | Quick Recap

연산(operation)	항등원(identity)	기억 팁
덧셈 addition	0	“0은 더해도 ‘0’ 티 안 남는다”
곱셈 multiplication	1	“1은 곱해도 ‘1’ 티 안 남는다”

✅ 체크포인트

a + 0 = 0 + a = a 를 소리 내 외울 수 있다.

a × 1 = 1 × a = a 도 마찬가지.

행렬·문자열·벡터처럼 다른 구조에서도 항등원이 어떻게 생겼는지 예를 들 수 있다.

항등원은 연산의 ‘평화 유지군’—어떤 값과 만나도 상대를 그대로 돌려보냅니다. 이 간단한 아이디어가 수학 전 영역을 지탱하는 기둥이니, 두 원칙(0 · 1)을 마음속 깊이 새겨 두면 앞으로의 대수 여정이 훨씬 수월해질 거예요!

반수(加法역원)와 음수의 모든 것

― Additive Inverse & Negative Numbers, 영 ·한 용어 병기 쉬운 가이드

1. 반수란? | What is an Additive Inverse?

한국어 용어	English Term	핵심 의미
반수 / 덧셈의 음수	additive inverse / opposite number	어떤 수 (a) 에 (-1)을 곱해 주면 생기는 값 (-a). 두 수를 더하면 항상 0.

[
a + (-a) \;=\; 0
]

예시
- (+7) ↔ (-7) ( 7 × (−1) = −7 )
- (-10) ↔ (+10) ( −10 × (−1) = +10 )

2. 수직선으로 보는 ‘반대편’ | The Number Line View

←  Negative                   0                    Positive  →
… ── −4 ── −3 ── −2 ── −1 ── 0 ── 1 ── 2 ── 3 ── 4 ── …

양수(positive): 0의 오른쪽, → 방향
음수(negative): 0의 왼쪽, ← 방향
반수(opposite) = 0을 기준으로 같은 거리, 반대 방향

3 칸 오른쪽( +3 )과 3 칸 왼쪽( −3 )은 쌍둥이 위치—서로가 서로의 additive inverse!

3. ‘더하기·빼기’와 부호 읽기 | Reading Signs in Sums

3-1. 기본 규칙

기호	행동
+	“표시된 부호 쪽으로 가라” (방향 유지)
−	“표시된 부호의 반대쪽으로 가라” (방향 뒤집기)

3-2. 예제 A (1 + (-2))

+1 → 오른쪽 1칸 ➜ 위치 +1
+ (−2) → 왼쪽 2칸 ➜ 위치 −1

결과: −1

3-3. 예제 B (1 - (-2))

+1 → 오른쪽 1칸 ➜ 위치 +1
− (−2) → “왼쪽 2칸”의 반대 = 오른쪽 2칸 ➜ 위치 +3

결과: +3

요약:
“빼기 −(음수)” = “더하기 +(양수)”
부호 두 개가 만나면 짝 맞추기로 생각하세요.

4. ‘음수 부호 여러 개’ 법칙 | Stacking Negative Signs

부호 수	예시	해석	결과 부호
짝수(even)	(−−x,\; −−−−x) (부호 2·4·6…)	두 개씩 취소	양수 (+x)
홀수(odd)	(−x,\; −−−x) (부호 1·3·5…)	한 개 남아 음수 유지	음수 (−x)

시각화: (- - - 2) (부호 3 개)

+2 (시작)
첫 − → 반대편 −2
둘째 − → 다시 +2
셋째 − → 다시 −2 → 결과 −2 (음수 부호 1개 남음)

5. 종합 예제 | Mixed-Sign Walk

수식: (3 + 2 + (-5) - 3)

+3 → 오른쪽 3 ➜ +3
+2 → 오른쪽 2 ➜ +5
+(−5) → 왼쪽 5 ➜ 0
−3 → (+3) 의 반대, 왼쪽 3 ➜ −3

최종 값 −3

6. 기억해 둘 한 페이지 요약

주제	공식/팁
반수	(a + (-a) = 0) (“서로 지워 0 된다”)
수직선 이동	+ : 표시된 방향 / − : 반대 방향
부호 두 개 규칙	(+\,+ = +), (+\,- = -), (−,+ = -), (−,− = +)
부호 여러 개	짝수 개 → +, 홀수 개 → −

7. 연습 아이디어 | Practice Tips

수직선 그려 보기: 임의 식을 ‘걷기 게임’처럼 이동.
부호 줄 세우기: (- - - 7,\; - - - - - 5) 등을 빠르게 양·음 판단.
덧셈 ↔ 뺄셈 전환: 빼기 −(음수) → 더하기 +(양수)로 바꿔 계산 연습.

한마디 기억:
“부호는 짝을 지으면 사라지고, 남으면 성격(양/음)을 결정한다.”

이제 반수와 음수 부호 다루기는 끝!
앞으로 어떤 복잡한 식을 만나도 부호만 툭툭 정리하면 길이 확 열릴 거예요.

절댓값(Absolute Value) 완전 정복

– “거리”라는 한 가지만 기억하면 끝! (영·한 용어 병기)

1. 절댓값이란? | What Is Absolute Value?

한국어	English	핵심 정의
절댓값	absolute value	0(원점, origin)으로부터의 거리(distance). 부호(sign)와 상관없이 “얼마나 떨어져 있나?”만 본다.

기억 핵심: “절댓값 = 방향을 지운 순수 거리.”

2. 표기법 | Notation

기호 | x | (세로 막대 두 개, absolute-value bars)
- | 2 |, | −5 |, | 3−4 | 처럼 숫자나 식을 막대 안에 넣는다.
읽을 때: “bar 2 bar” → “the absolute value of 2”, 한국어로 “이(│)2│의 절댓값”.

3. 수직선( number line )으로 직관 잡기

←  Negative          0           Positive →
… ── −3 ── −2 ── −1 ── 0 ── 1 ── 2 ── 3 …

| 2 | : 0에서 오른쪽으로 2칸 → 거리 2
| −2 | : 0에서 왼쪽으로 2칸 → 거리 2
⇒ 항상 양수(positive) 또는 0만 나온다.

4. 기본 예제 | Basic Examples

표현	단계별 풀이	결과
\| 2 \|	이미 숫자가 2 → 거리 2	2
\| −2 \|	−2가 0에서 2칸	2
\| 3 − 4 \|	① 괄호 안 계산 → −1 ② \| −1 \| = 1	1
−\| 4 \|	① \| 4 \| = 4 (절댓값 먼저) ② 앞의 ‘−’ 유지	−4

팁: 바(bar) 안 먼저 계산 → 값이 나오면 거리만 취한다 → 바(bar) 밖 부호는 그대로 둔다.

5. 핵심 성질 | Key Properties

수식(한·영)	설명
\| a \| ≥ 0	항상 0 이상 (never negative)
\| −a \| = \| a \|	부호 제거 효과
\| a + b \| ≤ \| a \| + \| b \|	삼각부등식(triangle inequality)
\| a \| = 0 ↔ a = 0	거리 0이라면 원점 그 자체

6. 혼합 예제 풀이 | Mixed-Sign Walk-through

문제
[
-3 + \bigl|\,2 - 5\bigr| - \bigl|\,-4\bigr|
]

절댓값 먼저
- (2 - 5 = -3) → | −3 | = 3
- |\,-4| = 4
원래 식 대입
(-3 + 3 - 4)
연산 순서대로
(-3 + 3 = 0) → (0 - 4 = -4)

결과: −4

7. 생활 비유로 기억하기

상황	절댓값 관점
엘리베이터 층수	지하 2층(B2) ↔ 지상 2층(2F) → “높이 차이”는 항상 2 층
은행 잔액	빚 −50 만원과 예금 +50 만원 → “금액 절댓값”은 둘 다 50 만원
기온 변화	−10 °C와 +10 °C → “0 °C에서의 거리”는 10 °C

8. 자주 하는 실수 | Common Pitfalls

잘못된 생각	바로잡기
\| −x \| = −x	X. 실제로는 \| −x \| = \| x \|
바 밖 ‘−’도 양수로 바뀜	No. 예) −\| 3 \| = −3 (바 안만 거리 처리)
\| a² \| = \| a \|²	항상 맞지 않음. a가 음수라면 동일, 음수 여부 따짐

9. 한눈 정리 (Cheat Sheet)

정의
[
\boxed{\;|a| = \text{distance from }0\;}
]
항상 양수 또는 0
바 안 먼저 계산 → 거리 취함 → 외부 부호 적용
응용 분야: 거리 계산, 통계(편차), 물리(변위), 프로그래밍(abs() 함수)

10. 연습 문제 | Try It Yourself

| −7 | = ?
| 5 − 12 | = ?
−| −3 + 4 | = ?
| x | = 4 일 때 가능한 x 값은?

정답: ①7, ②7, ③−1, ④x = 4 또는 x = −4

🌟 마무리 한마디

“절댓값은 방향을 지워 버린 순수한 거리다.”
이 한 문장만 기억하면 어떤 복잡한 부등식이나 함수도 겁낼 필요 없습니다!

부호 있는 숫자의 덧셈·뺄셈 한눈에 끝내기

— Signed-Number Addition & Subtraction, 영·한 용어 병기 쉬운 가이드

1. 기본 용어 | Key Vocabulary

한국어	English	뜻 / 설명
부호	sign	“+ (positive, 양)” 또는 “− (negative, 음)” 표시
부호 있는 숫자	signed number	양수(positive number) 또는 음수(negative number)
반수 / 덧셈의 음수	additive inverse / opposite	어떤 수 a의 반대값 −a (a + (−a) = 0)
수직선	number line	0을 중심으로 오른쪽(+)·왼쪽(−)으로 뻗은 직선

2. 수직선으로 방향 감 잡기

←  음수 (negative)          0 (origin)          양수 (positive)  →
… ── −4 ── −3 ── −2 ── −1 ── 0 ── 1 ── 2 ── 3 ── 4 ── …

오른쪽으로 걷기 → +칸 (덧셈, positive step)
왼쪽으로 걷기 → −칸 (덧셈, negative step)

3. 덧셈 규칙 | Rules for Addition

부호가 같다 (같은 방향)
- (+a + +b) → 둘 다 오른쪽 👉 거리 합만큼 이동
- (−a + −b) → 둘 다 왼쪽 👉 거리 합만큼 이동 (결과는 음수)
부호가 다르다 (반대 방향)
- 실제로는 “큰 거리 − 작은 거리”
- 방향은 더 멀리 간 쪽(절댓값 큰 수)의 부호

예시	풀이 과정	결과
(1 + 3)	오른쪽 1칸 → 또 3칸	+4
(−1 + (−3))	왼쪽 1칸 → 또 3칸	−4
(+2 + (−1))	오른쪽 2칸 → 왼쪽 1칸 (2−1)	+1
(−3 + 2)	왼쪽 3칸 → 오른쪽 2칸 (3−2)	−1

Tip: 덧셈은 “함께 걷는다(같은 방향) / 서로 잡아당긴다(정반대)” 로 이해하면 쉽다.

4. 뺄셈 = “반대값을 더하기”

Subtraction ⇒ Add the Opposite

[
a - b \;=\; a + (-b)
]

피연산자 b의 부호를 뒤집고
덧셈 규칙으로 계산

원식	바꾸기	한 줄 설명	결과
(5 - 7)	(5 + (-7))	7이 더 큼 → 왼쪽 2칸	−2
(−2 - (−3))	(−2 + 3)	부호 뒤집혀 +3	+1
(4 - (-4))	(4 + 4)	“마이너스 음수” → ++	+8

구호로 외우기 – “Keep-Change-Change”
① Keep 첫 수 ((a)) 그대로 두고
② Change 뺄셈 기호를 + 로 바꾸고
③ Change 두 번째 수의 부호도 반대로

5. 부호 두 개가 붙으면? | Double-Sign Rules

패턴	읽기	실제 부호
(+\,+)	“플러스 플러스”	+
(+\,-)	“플러스 마이너스”	−
(−,+)	“마이너스 플러스”	−
(−,−)	“마이너스 마이너스”	+ (두 음수는 상쇄)

세 개 이상 붙을 때 → 짝수 개 (⇒ +), 홀수 개 (⇒ −).

6. 길이 예제 Walkthrough

식: (-4 - 3 + 2 - (-5))

모두 덧셈으로 변환
(-4) + (-3) + 2 + 5) (−(−5) → +5)
왼→오른 계산
-7 + 2 = -5
-5 + 5 = 0
결과 0

수직선 해석: 왼쪽 4→3 총 7칸, 오른쪽 2칸, 오른쪽 5칸 = 원점.

7. 자주 하는 실수 & 해결법

잘못된 생각	바로잡기
“뺄셈은 항상 왼쪽(−방향) 이동”	빼는 수가 음수면 오히려 오른쪽으로 간다!
“부호가 3개 이상이면 헷갈림”	짝수 = +, 홀수 = − 로 빠르게 판단
“−a − b 는 −(a + b)”	올바른 공식: ( -a - b = -(a + b) ) 단, b 부호 주의

8. 한 페이지 총정리 (cheat sheet)

같은 부호 → 거리 더하고 부호 유지
다른 부호 → 큰 거리 − 작은 거리, 큰 쪽 부호
뺄셈 → “더하기 + 반수(opposite)”
연속 부호 →
- (−− ⇒ +)
- 짝수 개 음수 = + | 홀수 개 음수 = −

9. 연습 문제 | Practice

(7 + (-10))
( -6 - 4)
(-3 - (-8))
( 5 + 2 - 9 + (-4))

정답: ① −3, ② −10, ③ +5, ④ −6

10. 마무리 팁

그림으로 걷기(수직선) → 방향 감각이 체화된다.
Keep-Change-Change 구호로 뺄셈을 “덧셈”으로 변환하라.
계산 전에 부호 정리 → 숫자 계산 두 단계로 나눠서 생각하면 오류 Zero!

부호 있는 숫자, 이제 문제없죠? ✨

부호 있는 수의 곱셈 완전 가이드

Signed-Number Multiplication, 영 ·한 용어 병기

1. 핵심 용어 | Key Vocabulary

한국어	English	짧은 뜻
양수	positive number	“+” sign
음수	negative number	“−” sign
부호	sign	숫자 앞의 + / −
곱셈	multiplication	“× (product)”
부호 있는 수	signed number	양수 또는 음수

2. 두 수일 때 ‘부호 규칙’ | Sign Rules for Two Factors

한 줄 암기
“같은 부호 → 양수, 다른 부호 → 음수”

1st × 2nd	부호 결과	예시
+ × +	+ (positive)	(2 × 3 = +6)
− × −	+	( (-2) × (-3) = +6 )
+ × −	− (negative)	(2 × (-3) = -6)
− × +	−	( (-2) × 3 = -6 )

3. 왜 그럴까? | Why Does It Work? (직관)

음수를 두 번 뒤집으면 → 다시 양수
- ( (-1) × (-1) = +1)
그래서 음수 부호가 짝수(2개) → 서로 취소 → 양수
음수 부호가 홀수(1개) → 하나 남음 → 음수

4. 세 수 이상일 때 | More Than Two Factors

룰: “음수 부호가 짝수 → 양수 / 홀수 → 음수”

음수 부호 세기(count negatives)
짝수(even) → 결과 부호 +
홀수(odd) → 결과 부호 −

예시	음수 개수	부호	계산 흐름
((-2)×(-3)×(-4))	3 (홀수)	−	((-2)×(-3)=+6) → (+6×(-4)=-24)
((-2)×(-3)×(-4)×(-5))	4 (짝수)	+	두 쌍씩 → ( (+2×+3)×(+4×+5)=6×20=+120 )

5. 단계별 예제 | Step-by-Step Examples

(2×(-7))
부호 다름 → 음수 → −14
((-5)×(-2)×4)
음수 2개(짝수) → 양수
((-5)×(-2)=+10) → (+10×4=+40)
((-1)×3×(-1)×(-1))
음수 3개(홀수) → 음수
(((-1)×3) = -3) → ((-3)×(-1)=+3) → (+3×(-1)=-3)

6. 빠른 체크리스트 | Quick Cheat Sheet ✅

두 수
- same signs → +, different signs → −
여러 수
- count negatives: even → +, odd → −
숫자 크기는 부호 결정에 영향 없음; 부호부터 판단, 곱셈은 그다음.

7. 연습 문제 | Practice

( (-8) × 6 =)
( 5 × (-2) × (-3) =)
( (-4) × (-1) × (-2) × 3 =)

정답: ① −48, ② +30, ③ +24

한 마디 요약

“부호 먼저 세고, 숫자는 나중에 곱하라—짝수 ‘−’ 는 +, 홀수 ‘−’ 는 −.”

부호 있는 수의 나눗셈 완전 가이드

Signed-Number Division, 영 ·한 용어 병기

1. 핵심 개념 | Core Idea

나눗셈도 곱셈과 동일한 부호 규칙을 쓴다.
“같은 부호 → 양수(+), 다른 부호 → 음수(−)”

피제수 ÷ 제수	부호 결과	예시
+ ÷ +	+ (positive)	6 ÷ 3 = +2
− ÷ −	+	(−6) ÷ (−3) = +2
+ ÷ −	− (negative)	6 ÷ (−3) = −2
− ÷ +	−	(−6) ÷ 3 = −2

“부호가 같다(same signs) ⇒ +”,
“부호가 다르다(opposite signs) ⇒ −”.

2. 두 수 이상일 때 | More Than Two Numbers

곱셈에서와 똑같이 ‘음수 부호 개수’를 세면 끝난다.

음수 부호 개수	결과 부호	기억 구호
짝수(Even)	+	“짝수 ‘−’는 +”
홀수(Odd)	−	“홀수 ‘−’는 −”

부호만 결정한 뒤, 숫자 크기는 평소처럼 나누면 된다.

3. 분수 관점 | Viewing Division as Fractions

(a ÷ b) = (\dfrac{a}{b})
분자·분모의 음수 기호는 앞으로 빼내도 무방
[
\frac{-6}{3}= -\frac{6}{3}= -2,\quad
\frac{6}{-3}= -\frac{6}{3}= -2,\quad
\frac{-6}{-3}= \frac{6}{3}= +2
]

4. 단계별 예제 | Step-by-Step Examples

(8 ÷ (-4))
부호 다름 → 음수 → −2
((-2) ÷ (-5) ÷ 4)
- 음수 부호: 2개(짝수) → 양수
- 계산: ((-2) ÷ (-5) = +\frac{2}{5}) → (\frac{2}{5} ÷ 4 = \frac{2}{5} × \frac{1}{4} = \frac{1}{10})
- 결과 +(\tfrac{1}{10})
((-7) × 1 ÷ 7)
- 음수 부호: 1개(홀수) → 음수
- 계산: (−7) × 1 = −7 → −7 ÷ 7 = −1

5. 빠른 체크리스트 ✅

두 수라면
- same sign → +, different sign → −
세 수 이상
- count negatives: even → +, odd → −
Fraction hack
- 음수 기호는 앞에 단 하나만 두고 나눗셈 진행.

6. 연습 문제 | Practice

((-12) ÷ 6)
( 20 ÷ (-2) ÷ (-5))
((-3) ÷ (-1) ÷ (-1) ÷ 3)

정답: ① −2 ② +2 ③ −1

한마디 요약

“부호 먼저, 숫자 나중 — 짝수 ‘−’는 +, 홀수 ‘−’는 −.”

절댓값(Absolute Value) 다시 보기

— “안쪽 먼저 계산! (Inside first) → 마지막에 절댓값”

1. 핵심 정의 | Core Definition

한국어 용어	English Term	쉬운 뜻
절댓값	absolute value	0 (원점)에서의 거리(distance)만 본다. 부호는 무시!

한 줄 기억: 절댓값 = 방향을 지운 순수 거리.

2. 숫자 하나는 바로 거리로!

예시 1

(\bigl|{-2}\bigr|) → 0에서 2칸 → 2
(\bigl|2\bigr|) → 0에서 2칸 → 2

거리(distance) 는 항상 양수(positive) 또는 0.

3. “식(expression)”이 들어가면 순서가 중요!

안쪽 계산부터 (Simplify inside first)
나온 값을 절댓값 기호로 감싼다 (Apply (|\;|) last)

예시 2 (\bigl|{-3} - 4\bigr|)

안쪽 계산 (-3 - 4 = -7)
절댓값 적용 (\bigl|{-7}\bigr| = 7)

결과 7.

4. 복합식 단계별 예제

문제
[
2\;+\;\bigl|\,5 - 9\,\bigr|\;-\;\bigl|\,-3\,\bigr|
]

단계	한국어 설명	English Explanation
① 안쪽 정리	(5 - 9 = -4)	Simplify inside → −4
② 절댓값 계산	(\bigl	{-4}\bigr
③ 나머지 연산	(2 + 4 = 6,\; 6 - 3 = 3)	Finish remaining operations

최종 답 | Final answer 👉 3

팁: 절댓값 기호를 ‘나중에 열어 볼 봉투’라고 생각하세요.
봉투 안(내부 식)을 다 정리해 넣은 뒤, 맨 마지막에 봉투를 열어 “거리만” 읽습니다.

5. 자주 쓰는 성질 | Useful Properties

식(한·영)	설명
(	a
(	-a
(	a

6. 연습 문제 | Practice

(\bigl|\,7 - 12\bigr|)
(5 - \bigl|\,2 - 9\bigr|)
(\bigl|\,-4 + 1\bigr| + \bigl|3 - 8\bigr|)

정답: ① 5 ② −2 ③ 8

7. 핵심 한 줄 요약

“안쪽 먼저 계산하고, 맨 끝에 거리를 취하라 — 절댓값은 마지막 단계!”

이 원칙만 기억하면 어떤 복잡한 절댓값 표현식도 자신 있게 처리할 수 있습니다!

📘 Pre-Algebra & Number-System Vocabulary Cheat-Sheet

(영어 → 한국어 → 쉬운 뜻 순서)

English term	한국어	쉬운 설명
absolute value	절댓값	0에서 떨어진 거리(방향 상관없음)
additive identity (0)	덧셈 항등원 0	더해도 원래 값이 그대로
additive inverse / opposite number	반수 / 덧셈의 음수	a 와 합이 0이 되는 −a
ascending order	오름차순	작은 것 → 큰 것 순서
complex numbers	복소수	실수 + 허수(i)로 이루어진 수
composite number	합성수	약수가 3개 이상인 양의 정수
coefficient	계수	문자 앞에 곱해진 숫자
common denominator	동분모	두 분수의 분모가 같은 상태
decimal	소수	분수를 10의 거듭제곱으로 나눈 표기
denominator	분모	분수에서 아래 숫자
digit sum	자리수 합	각 자리 숫자를 모두 더한 값
divisibility	가분성	나눠서 나머지가 0이 되는 성질
divisor / factor	약수 / 인수	나눴을 때 딱 떨어지게 하는 수
even number	짝수	2로 나누어떨어지는 수 (끝자리 0 2 4 6 8)
exponent	지수	같은 수를 몇 번 곱했는지 나타내는 수
factor tree	인수 트리	합성수를 두 인수로 계속 쪼개는 그림
fraction	분수	전체를 나눈 일부를 표현 (예: ¾)
GCD (Greatest Common Divisor)	최대공약수	여러 수가 모두 나눠지는 가장 큰 약수
identity element	항등원	연산을 해도 값이 안 바뀌게 하는 원소
identity matrix I	단위행렬	곱셈의 항등원 역할을 하는 행렬
integers ℤ	정수	…−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3…
irrational number	무리수	분수로 표현 불가, 끝도 반복도 없음 (π, √2)
LCM (Least Common Multiple)	최소공배수	공배수 중 가장 작은 값
mixed number	혼합수	정수 + 분수 형태 (1 ½)
multiple	배수	어떤 수를 곱해서 얻은 값
natural numbers ℕ	자연수	1, 2, 3… “셈”에 쓰는 수
negative number	음수	0 왼쪽, 부호 −
nth root	n제곱근	n번 곱해 a 가 되는 수
numerator	분자	분수에서 위 숫자
number line	수직선	숫자를 한 줄에 나열한 선
positive number	양수	0 오른쪽, 부호 +
power	거듭제곱	밑수와 지수로 쓰는 곱셈 묶음 (2⁵)
prime factor	소인수	더 못 쪼개는 소수 인수
prime factorization	소인수분해	합성수를 소수 곱으로 완전히 분해
prime number	소수	약수가 1·자기 자신만인 양의 정수
proportion	비례식 / proportion	두 비(ratios)가 같다는 관계
ratio	비	두 양의 비교 값 (4 : 1.5)
real numbers ℝ	실수	유리수 + 무리수, 수직선 전체
remainder	나머지	나눗셈에서 0이 아닌 남은 값
rounding	반올림	가까운 자리수로 값 간단히 표현
scientific notation	과학적 표기법	a × 10ⁿ 형태로 큰·작은 수 간략 표기
sign (+ / −)	부호	숫자 앞의 방향 표시
signed number	부호 있는 수	양수 또는 음수
square root	제곱근	자기 자신을 두 번 곱해 주는 수
unit price	단가	1개·1ℓ 등 단위당 가격
variable	변수 / 문자	값을 바꿔 넣을 수 있는 글자 (x, y)
whole numbers 𝕎	범자연수	0 포함한 자연수 {0, 1, 2, 3…}

사용법

필요할 때 영어·한국어·뜻을 빠르게 확인하며 개념을 복습하세요.

추가로 궁금한 용어나 예제가 있으면 언제든 물어보세요!

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