인수와 배수 (factor and multiple)

GoGoComputer·2025년 5월 1일

수학

기초 수학 basic mathematics

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숫자 사이의 “관계(relationship)”란?

관계 (relationship) – 숫자들이 서로 어떻게 연결되어 있는지, 즉 크기 비교(comparison)·비율(ratio)·배수 및 약수(multiples & divisors) 같은 관점으로 살펴보는 것입니다.

1. 크기 비교 – “값이 큰가, 작은가?”

예시 (Example) – 우유값 비교

1 리터 가격(unit price per liter): 리터당 가격이 높으면(가격이 크면) 같은 돈으로 살 수 있는 양(quantity)이 줄어듭니다.

비율(ratio) 개념: “같은 리터당 가격인가?”를 따지면, 결국 두 숫자의 비교(comparison)·비율(ratio) 을 계산하게 됩니다.

핵심 용어
| 한국어 | English | 쉬운 설명 |
|---------|---------|-----------|
| 단가 | unit price | 1 개·1 리터처럼 “단위 하나”에 붙는 가격 |
| 비율 | ratio | 두 수를 나누어서 얻는 비교값 |
| 값 비교 | comparison | 어느 쪽이 더 큰지·작은지 판단 |

2. “음수와 양수(opposites on the number line)”

음수(negative number) ↔ 양수(positive number) 는 0을 기준으로 반대 방향(opposite direction) 에 있습니다.
대수적 반수(opposite number / additive inverse)
- +2와 -2, +7과 -7처럼 부호만 다른 쌍(pair)
- 절댓값(absolute value) 은 둘 다 동일합니다.
- 절댓값 |absolute value| = 0에서의 거리(distance from 0).

간단한 그림 상상하기

-7  -6  -5  -4  -3  -2  -1   0   1   2   3   4   5   6   7
<--------------------------|---------------------------->
       7칸 거리               7칸 거리

+7과 -7 모두 0에서 7칸 떨어져 있으므로 |+7| = |-7| = 7.

3. 같은 배수 관계(multiples) – 10과 15를 예로

10 = 5 × 2
15 = 5 × 3
- 두 숫자 모두 5의 배수(multiples of 5) 입니다.
- 5는 두 수를 동시에 나눌 수 있으므로 공통 약수(common divisor) 이기도 합니다.

왜 중요할까?

가분성(divisibility)
- “어떤 수가 더 큰 숫자(big number)로 나누어 떨어지는가?”
- 10 ÷ 5 = 2 (나머지 0), 15 ÷ 5 = 3 (나머지 0) → “5로 나누어 떨어진다(divisible by 5)”.
분수(fractions) 준비
- 분수에서는 분자(numerator) 와 분모(denominator) 를 동시에 같은 수로 나눠서 약분(reducing) 합니다.
- 10/15에서 5를 나누면 2/3로 약분 가능.

핵심 용어
| 한국어 | English | 쉬운 설명 |
|---------|---------|-----------|
| 배수 | multiple | 어떤 수를 곱해서 얻은 결과 |
| 약수 | divisor | 어떤 수를 나눠서 나머지 0이 되게 하는 수 |
| 공약수 | common divisor | 두 숫자 모두에 대해 약수인 수 |
| 가분성 | divisibility | “나누어 떨어지는지” 여부 |
| 약분 | reduce / simplify a fraction | 분자·분모를 같은 수로 나눠서 더 작은 분수로 만드는 과정 |

4. 단계별로 정리해 볼까요?

숫자 둘을 읽고 → 비교(comparison), 큰/작다 판단
차이(difference) 또는 비율(ratio) 로 관계를 표현
0을 기준으로 보면 → 절댓값(absolute value), 음수·양수 쌍(opposites)
공통 배수·약수 탐색 → 가분성(divisibility) 체크
다음 단계: 분수(fractions) 에서 약분·통분(common denominator) 등을 공부

5. 생활 속 확인 퀴즈(quick check)

-4와 +4의 절댓값은?
12와 18은 어떤 수의 배수일까요?
24 ÷ 6의 결과는 정수(integer)입니까? → “6으로 나누어 떨어진다”는 무슨 용어였나요?

정답
1. 4 (|–4| = |4| = 4)
2. 6의 배수 (12 = 6 × 2, 18 = 6 × 3)
3. 예, 정수 2 → 가분성(divisible by 6)

한 눈에 정리 끝!

이처럼 숫자 사이의 관계(relationships between numbers) 를 이해하면,

가격 비교, 예산 계획, 레시피 배율처럼 실생활(real life) 에 곧바로 적용할 수 있고,
곧 배우게 될 분수(fractions) 와 그 다음 수학 단계로 자연스럽게 이어집니다.

필요한 용어는 한국어·영어를 함께 써 두었으니, 다음에 수업을 볼 때 용어가 나와도 당황하지 마세요!

가분성 (divisibility) 한눈에 보기

가분성(가/分/性, divisibility) : 어떤 수가 나머지 없이(evenly) 다른 수로 나누어 떨어질 수 있는지 확인하는 성질입니다.
계산기 없이도 “찰칵!” 판단할 수 있게 해 주는 암기 규칙(divisibility rules) 이 존재합니다.
여기서는 2 ~ 10까지 자주 쓰는 아홉 가지 규칙을 쉬운 말과 예시로 풀어봅니다.

용어는 [한글 / English] 순서로 병기했습니다.

1️⃣ 2의 가분성 규칙

짝수 / even number 인지 보면 끝!
방법(method) : 마지막 자리(digit)가 0, 2, 4, 6, 8 → 2로 나누어짐.
예시(example)
- 120 (끝자리 0) → ✔️
- 126 (6) → ✔️
- 128 (8) → ✔️

2️⃣ 3의 가분성 규칙

숫자 각 자리 합 / sum of digits 가 3으로 나누어지면 OK.
방법 : 자리수를 전부 더하고(Digit sum) → 그 합이 3의 배수인지 확인.
예시
- 120 → 1 + 2 + 0 = 3 → 3으로 divisible → ✔️
- 126 → 1 + 2 + 6 = 9 → 9는 3의 배수 → ✔️
- 128 → 1 + 2 + 8 = 11 → 11은 3의 배수 아님 → ❌

3️⃣ 4의 가분성 규칙

마지막 두 자리 / last two digits 가 4로 나누어지면 전체도 OK.
예시
- 120 → “20” → 20 ÷ 4 = 5 → ✔️
- 126 → “26” → 26 ÷ 4 = 6 … 2 (나머지 있음) → ❌
- 128 → “28” → 28 ÷ 4 = 7 → ✔️

4️⃣ 5의 가분성 규칙

끝자리 0 또는 5 / last digit 0 or 5 면 무조건 가능.
예시
- 120 (0) → ✔️
- 126 (6) → ❌
- 128 (8) → ❌

5️⃣ 6의 가분성 규칙

2와 3 두 조건을 동시에 만족하면 6으로도 나누어짐.
방법 : “짝수” AND “자리수 합이 3의 배수”.
예시
- 120 → 2조건 ✔️, 3조건 ✔️ → ✔️
- 126 → 2조건 ✔️, 3조건 ✔️ → ✔️
- 128 → 2조건 ✔️, 3조건 ❌ → ❌

6️⃣ 7의 가분성 규칙 (외우기 Tip)

여러 버전이 있지만, 영상에서 보여 준 “×5 방법”을 사용해 봅니다.
1. 마지막 자리 digit × 5.
2. 그 값을 앞부분(remaining number) 에 더한다.
3. 결과가 7로 나누어지면 OK.

수	계산 과정	결론
120	(0×5)=0, 12+0=12 → 12 ÷ 7 나머지	❌
126	(6×5)=30, 12+30=42 → 42 ÷ 7=6	✔️
128	(8×5)=40, 12+40=52 → 52 ÷ 7 나머지	❌

7️⃣ 8의 가분성 규칙

마지막 세 자리 / last three digits 가 8로 나누어지면 전체도 가능.
세 자리보다 작은 수라면 그 수 자체를 검사.
예시
- 120 → 120 ÷ 8 = 15 → ✔️
- 126 → 126 ÷ 8 = 15.75 (나머지) → ❌
- 128 → 128 ÷ 8 = 16 → ✔️

8️⃣ 9의 가분성 규칙

3의 규칙과 동일 하지만 ‘3’ 대신 ‘9’를 사용.
자리수 합이 9의 배수 → 9로 나누어짐.
예시
- 120 → 합 3 → 9의 배수 아님 → ❌
- 126 → 합 9 → 9의 배수 → ✔️
- 128 → 합 11 → ❌

9️⃣ 10의 가분성 규칙

끝자리 0 / last digit 0 → 항상 10으로 나누어짐.
예시
- 120 (0) → ✔️
- 126 (6), 128 (8) → ❌

🎯 한 페이지 요약 (Table)

나누는 수	한국어 규칙	English Rule	Quick Example
2	끝자리가 짝수 (0,2,4,6,8)	last digit even	128 ✔️
3	자리수 합이 3의 배수	digit sum multiple of 3	126 ✔️
4	끝 두 자리가 4의 배수	last two digits divisible by 4	120 ✔️
5	끝자리 0 또는 5	last digit 0 or 5	120 ✔️
6	2 AND 3 조건 만족	divisible by 2 and 3	126 ✔️
7	“(끝자리×5)+앞부분”이 7의 배수	(last×5)+rest divisible by 7	126 ✔️
8	끝 세 자리가 8의 배수	last three digits divisible by 8	128 ✔️
9	자리수 합이 9의 배수	digit sum multiple of 9	126 ✔️
10	끝자리 0	last digit 0	120 ✔️

📝 작은 연습 문제(Practice)

342는 2, 3, 6 중 어떤 수로 나누어질까요?
1 5 4 0은 4, 5, 8, 10 중 어떤 수로 나누어질까요?
7 9 8은 3, 7, 9 중 어디에 해당할까요?

답을 손으로 확인해 보면서 규칙이 정말 “작동”하는지 체험해 보세요!

연습 문제 정답 및 간단한 이유

#	숫자	검사한 수들	나누어지는 수(divisible by)	이유(간단 설명)
1	342	2, 3, 6	2, 3, 6 모두	끝자리 2 → 짝수(2✔︎) / 자리수 합 3+4+2 = 9 → 3의 배수(3✔︎) / 2 and 3 둘 다 성립 → 6✔︎
2	1540	4, 5, 8, 10	4, 5, 10	끝 두 자리 40 → 4로 나눠짐(4✔︎) / 끝자리 0 → 5·10 모두 가능(5✔︎, 10✔︎) / 끝 세 자리 540 → 8로 나눠지지 않음(8✘)
3	798	3, 7, 9	3, 7	자리수 합 7+9+8 = 24 → 3의 배수(3✔︎) / (끝자리 8×5)=40, 79+40=119 → 7의 배수(7✔︎) / 24는 9의 배수 아님(9✘)

요약(Summary)
1. 342 → 2, 3, 6
2. 1540 → 4, 5, 10
3. 798 → 3, 7

손으로 규칙을 직접 적용해 보며 확인해 보시면, 암산 실력이 쑥쑥 늘어날 거예요!

마무리

이 아홉 가지 가분성 규칙(divisibility rules) 만 기억해도, 긴 숫자를 볼 때 곱셈표(times table) 없이 “찰칵!” 나누어떨어짐 여부를 판단할 수 있습니다.

생활 속 활용 : 영수증 검산, 분수 약분, 암산 퍼즐 등.
다음 단계로 11이나 12 같은 추가 규칙도 있지만, 2 ~ 10만으로도 대부분의 기초 문제는 해결됩니다.

필요할 때마다 표를 꺼내 보며 연습해 보세요. 숫자가 친숙해질수록 계산이 훨씬 쉬워집니다!

‘배수(multiple)’가 뭐예요?

배수 / multiple : 어떤 수 A를 자연수(1, 2, 3 …) 와 곱해서 만든 값입니다.
- 6×1 = 6, 6×2 = 12, 6×3 = 18 … → 6, 12, 18 … 은 모두 6의 배수(multiples of 6)

1. 첫 5개 배수를 찾는 두 단계(2 steps)

곱하기 표 만들기 Multiply
- 주어진 수 × 1, × 2, × 3, × 4, × 5
목록 적기 List
- 계산 결과를 순서대로 적으면 끝!

2. 예제로 연습하기 (Examples)

기준 수 (Base number)	곱셈식(Multiply)	첫 5개 배수(First 5 multiples)	확인(Check) – 배수를 원수로 나누면?
1	1×1, 1×2, 1×3, 1×4, 1×5	1, 2, 3, 4, 5	2÷1 = 2, 5÷1 = 5 (항상 정수 ✔️)
3	3×1 … 3×5	3, 6, 9, 12, 15	9÷3 = 3, 12÷3 = 4 (정수 ✔️)
12	12×1 … 12×5	12, 24, 36, 48, 60	48÷12 = 4 (정수 ✔️)
20	20×1 … 20×5	20, 40, 60, 80, 100	100÷20 = 5 (정수 ✔️)

핵심 포인트(Key idea)
배수인 이유는, 그 값을 원래 숫자로 나누면 항상 나머지가 0, 즉 정수(integer) 가 나오기 때문입니다.

3. 용어 미니 사전 (Glossary)

한국어	English	쉬운 설명(Plain meaning)
배수	multiple	한 숫자에 1, 2, 3 … 을 곱해 만든 값
자연수	natural number	1, 2, 3 … 0보다 큰 정수
곱하다	multiply	“×” 연산, 같은 수를 여러 번 더하는 지름길
정수	integer	… –2, –1, 0, 1, 2 … 나머지 없이 셀 수 있는 수
나머지 0	evenly / without remainder	나눗셈 결과가 딱 떨어짐

4. 왜 “무한히” 많을까?

곱하는 자연수(n) 를 끝없이 키울 수 있습니다.
- 12×100 = 1 200, 12×1 000 = 12 000 …
그래서 배수 집합(set of multiples) 은 끝이 없습니다.

5. 직접 해 보는 작은 퀴즈

7의 첫 5개 배수를 적어보세요.
25의 3번째 배수는 얼마인가요?
84는 어떤 숫자의 첫 5개 배수 안에 들어갈까요? 힌트: 84 ÷ ? = 정수.

답을 종이에 쓰고 나눗셈으로 확인(divide to check) 해 보세요. 배수 규칙이 몸에 익으면 약분, 공배수, 약수 같은 다음 주제도 훨씬 쉬워집니다!

퀴즈 정답 + 간단한 이유

#	문제 내용	정답	확인 / 설명
1	7 의 첫 5개 배수	7, 14, 21, 28, 35	7 × 1 → 7 … 7 × 5 → 35
2	25 의 3번째 배수	75	25 × 3 = 75
3	84가 들어가는 “어떤 숫자”의 첫 5개 배수?	21 · 28 · 42 · 84 (네 가지 모두 가능)	84 = n × k, k ≤ 5 → • 84 = 21 × 4 → 21의 4번째 배수 • 84 = 28 × 3 → 28의 3번째 배수 • 84 = 42 × 2 → 42의 2번째 배수 • 84 = 84 × 1 → 84의 1번째 배수

요약:

7의 배수는 7씩 더해 가며 나열하면 되고,

25의 3번째 배수는 25를 세 번 곱한 값 75,

84는 21·28·42·84 중 어느 숫자를 골라도 첫 5개 배수 안에 포함됩니다 (k = 4, 3, 2, 1).

필요하다면 직접 나눗셈으로 84 ÷ 21 = 4, 84 ÷ 28 = 3 등 정수 결과를 확인해 보세요. 숫자·배수 감각이 훨씬 또렷해집니다!

소수 (Prime Number) vs. 합성수 (Composite Number)

“숫자는 소수(prime) 또는 합성수(composite) 둘 중 하나입니다. — 둘 다일 수는 없어요!”

1. 핵심 정의 (Core Definitions)

한국어	English	쉽게 풀어쓴 뜻
소수	prime number	1과 자기 자신만으로 나누어떨어지는 양의 정수(positive integer). 다시 말해 약수(divisors) 가 오직 두 개(1, 자기 자신)뿐인 수.
합성수	composite number	1과 자기 자신 이외에 추가 약수(extra divisors) 를 하나 이상 가지는 양의 정수.
약수	divisor / factor	어떤 수를 나누어 나머지 0 으로 떨어지게 하는 수.

주의(Important)

숫자 0과 음수(negative integers) 는 소수·합성수 분류에 포함하지 않습니다.

숫자 1도 소수·합성수 어디에도 속하지 않아요. (약수가 1개뿐이기 때문)

2. 소수 판별 흐름(Prime-Check Flow)

1은 제외! (1은 prime도 composite도 아님)
2부터 √n까지 테스트
- 2, 3, 4 … √n 중 어떤 수로도 나누어떨어지지 않으면 → 소수
- 하나라도 나누어떨어지면 → 합성수

√n까지만 확인해도 되는 이유: 곱셈 a×b=n에서 a가 √n보다 크면 b는 √n보다 작기 때문.

3. 예시로 이해하기 (Step-by-Step Examples)

테스트 숫자	나눠보기	약수 집합	결과
3	1·3만 가능 (2로 나눠보면 나머지)	{1, 3}	소수 / prime
5	1·5만 가능	{1, 5}	소수
35	1·35, 5, 7도 가능 (35 = 5×7)	{1, 5, 7, 35}	합성수 / composite
2	1·2만 가능 → 역사상 가장 작은 소수	{1, 2}	소수
9	1·9, 3도 가능 (9 = 3×3)	{1, 3, 9}	합성수
11	2,3,5로 나눠도 나머지 → 약수 두 개만	{1, 11}	소수

4. 왜 중요할까? — 수학과 생활 속 활용

주제	어디에 쓰이나?
최대공약수(GCD), 최소공배수(LCM)	분수(분모 통분), 분수 약분, 시간표 맞추기 등
암호학(cryptography)	소수의 곱을 분해하기 어려운 특성을 이용 (RSA 공개키 암호)
소인수분해(prime factorization)	복잡한 수식을 단순화, 약수 개수 세기, 수열 문제

5. 자주 헷갈리는 질문 (FAQ)

Q	A
Q1. 1은 왜 소수가 아니죠?	약수가 “1과 자기 자신” 두 개여야 하는데, 1은 약수가 오직 하나(1)뿐입니다.
Q2. 2는 짝수라서 합성수 아닌가요?	2의 약수는 1, 2 단 두 개 → 소수이며, 유일한 짝수 소수(even prime) 입니다.
Q3. 0은?	0을 나누면 항상 나머지 0이므로 약수가 무한히 많아집니다. 소수·합성수 규정에서 제외합니다.

6. 손으로 풀어보는 작은 퀴즈

17은 소수일까요, 합성수일까요?
30의 모든 약수는 무엇인가요? (힌트: composite!)
91이 prime인지 composite인지 판단해 보세요.

힌트
√91 ≈ 9.54 → 2·3·5·7 중 7로 나누어떨어지는지 확인!

✅ 퀴즈 정답 & 해설

(용어는 한국어 / English 순으로 표기)

#	문제	정답	해설(Why)
1	17 — 소수? 합성수?	소수 / prime	√17 ≈ 4.1 → 2·3로 나눠도 나머지. 약수는 1, 17 두 개뿐 → 소수.
2	30 의 모든 약수와 성격	1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30 → 합성수 / composite	소인수분해 prime factorization: 30 = 2 × 3 × 5 → 1·30 이외에 약수 여럿 존재 → 합성수.
3	91 — prime or composite?	합성수 / composite	√91 ≈ 9.54 → 2·3·5·7 검사 → 91 ÷ 7 = 13 (정수) → 약수 7·13 존재 → composite.

요약 Summary

17: 소수 ✔︎

30: 약수 8개 → 합성수 ✔︎

91: 7 × 13 → 합성수 ✔︎

이렇게 √n 이하의 작은 소수들로만 나눠 봐도 소수·합성수를 빠르게 판별할 수 있습니다!

7. 한눈에 정리 (Cheat-Sheet)

유형	조건(영)	조건(한)	대표 예
Prime	exactly 2 positive divisors	양의 약수가 2개(1, 자기 자신)	2, 3, 5, 7, 11, 13 …
Composite	more than 2 divisors	양의 약수가 3개 이상	4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18 …

정리(Summary)

소수 prime : divisor가 1 & 자기 자신뿐 → “나 홀로” 숫자
합성수 composite : 중간에 끼어드는 divisor가 존재 → “친구(약수) 많은” 숫자

소수·합성수를 구분하는 능력은 분수 약분부터 암호 해독까지 이어지는 기초 체력!
차근차근 약수 찾아보며 연습해 보세요.

🌳 소인수분해(Prime Factorization) 완전 정복

(모든 핵심 용어를 한국어 / English 형태로 함께 표기합니다.)

1. 왜 소인수분해가 중요한가?

개념	한국어 설명	English 설명 (간략)
소수 / prime number	1과 자기 자신으로만 나누어떨어지는 양의 정수	Positive integer with exactly two divisors (1 & itself)
합성수 / composite number	1과 자기 자신 이외에 다른 약수가 하나 이상 있는 수	Integer with more than two divisors
소인수분해 / prime factorization	합성수를 더 이상 쪼갤 수 없는 소수들의 곱으로 표현	Writing a composite number as a product of prime factors

필요성(Why care?)

분수 약분·통분(GCD, LCM)

지수법칙 단순화

암호학(large primes)

중·고등 수학 전단계 기본기

2. 소인수분해 2가지 대표 방법

방법	한국어 이름	간단 절차 Steps
인수 트리 / factor tree	가지를 뻗으며 두 인수로 쪼개기 → 끝에 소수만 남을 때까지 반복	1️⃣ 두 인수로 분해 → 2️⃣ 소수가 아니면 계속 분해
약수 사다리 / division ladder	작은 소수(2, 3, 5, 7…)로 계속 나누며 옆에 적기	1️⃣ 가장 작은 소수로 나눔 → 2️⃣ 몫을 다시 나누기 → 3️⃣ 몫이 1 될 때 종료

결국 소수들의 곱(product of primes) 과 지수 표기(exponent form) 두 가지 형태로 답을 씁니다.

3. 예제 4개로 한 걸음씩 🔍

예제 A) 102

102           ← 짝수라 2부터
│ \
2  51          2 = prime ✔
   │ \
   3 17        3, 17 = primes ✔

소수 목록: 2, 3, 17
표현 → 2 × 3 × 17

예제 B) 84

소수 목록: 2, 2, 3, 7
표현 → 2 × 2 × 3 × 7 = 2² × 3 × 7

예제 C) 24

(다른 가지치기 가능성을 보여 줍니다)

24
│ \
4   6        (굳이 2가 아니어도 OK)
│\  │\
2 2 2 3

소수 목록: 2, 2, 2, 3
표현 → 2 × 2 × 2 × 3 = 2³ × 3

예제 D) 15 (홀수 예시)

15
│ \
3   5        3, 5 둘 다 prime

소수 목록: 3, 5
표현 → 3 × 5

4. 알고리즘 한눈 정리 (짝수/홀수 구분 팁 포함)

짝수(even) → 무조건 2로 먼저 나누기.
홀수(odd) → 3, 5, 7 … 작은 소수 순서로 시도.
나눌 때마다 “몫(quotient)”이 더 이상 나눌 수 없는 소수(prime) 가 될 때까지 반복.
같은 소수가 여러 번 나오면 지수표기(exponent) 활용 → 2², 3³ 등.
최종 곱셈식을 오름차순(ascending) 으로 써 주면 끝.

5. 연습 문제(Practice) – 정답 & 해설 포함 ✔

문제	풀이 과정(요약)	최종 소인수분해
1) 56	56 → 2 × 28 → 2 × 2 × 14 → 2 × 2 × 2 × 7	2³ × 7
2) 98	98 → 2 × 49 → 7 × 7	2 × 7²
3) 225	225 → 15 × 15 → (3 × 5)(3 × 5)	3² × 5²
4) 143	143 → 11 × 13 (둘 다 prime)	11 × 13

스스로 해 보고, 나눠지는지 안 되는지 “나머지 0인지” 확인해 보세요!

6. 핵심만 기억하기 📝

짝수 → 2부터, 홀수 → 3·5·7 순
더 이상 안 쪼개지는 끝노드(end node) 는 항상 소수 prime
소수가 반복되면 지수 표기(exponent form) 로 압축
Fundamental Theorem of Arithmetic: 모든 합성수는 단 하나의 소인수분해만 가진다 (순서·표기 제외).

이제 어떤 숫자를 만나도 “소수 레고 블록”으로 분해할 준비가 되셨습니다. 계속 연습하며 자연스럽게 눈에 익혀 보세요!

✅ 최소공배수(Least Common Multiple, LCM) 완전 이해하기

(모든 핵심 용어를 한국어 / English 순으로 함께 표기합니다.)

1. 기본 개념 정리

개념	한국어 정의	English definition
배수 / multiple	어떤 수에 1, 2, 3…을 곱해 얻은 모든 수	A number produced by multiplying the base number by 1, 2, 3…
공배수 / common multiple	두 수 이상이 모두 나누어떨어지는 배수	A multiple that is divisible by every given number
최소공배수 / Least Common Multiple (LCM)	공배수 중 가장 작은 양의 정수	The smallest positive common multiple

한마디 요약: “모두의 배수이면서 가장 작은 값”

2. 방법 ① – 배수 나열법 / Listing Multiples

가장 직관적이지만 숫자가 크면 오래 걸리는 방법입니다.

각 수의 배수를 순서대로 적는다.
리스트가 겹치는 지점의 첫 번째 수가 LCM.

예시 (10, 15)

10의 배수: 10, 20, 30, 40, 50, …
15의 배수: 15, 30, 45, 60, …
→ 30이 두 리스트에 처음 함께 등장 ⇒ LCM = 30

3. 방법 ② – 소인수분해법 / Prime Factorization Method

3개 이상이거나 숫자가 크면 가장 효율적입니다.

3-1) 단계 요약

소인수분해(prime factorization): 모든 숫자를 소수(prime)와 지수(exponent)로 표현.
각 소수마다 “가장 큰 지수”만 선택.
선택한 항들을 곱하기 → LCM 완성.

3-2) 예시 (24, 10, 15)

수	소인수분해 결과	지수형
24	2 × 2 × 2 × 3	2³ × 3¹
10	2 × 5	2¹ × 5¹
15	3 × 5	3¹ × 5¹

소수 목록: 2, 3, 5
최대 지수 선택 → 2³, 3¹, 5¹
곱한다 → 2³ × 3 × 5 = 8 × 3 × 5 = 120

따라서 LCM(24, 10, 15) = 120
(확인: 120÷24 = 5, 120÷10 = 12, 120÷15 = 8 - 나머지 0)

4. 두 방법 비교

항목	배수 나열법	소인수분해법
장점	개념이 매우 쉬움	큰 수·여러 수에 빠르고 정확
단점	리스트가 길어질 수 있음	소인수분해 연습이 필요

5. 용어 미니 사전

한국어	English	쉬운 설명
약수	divisor / factor	나눗셈 결과가 나머지 0이 되게 하는 수
소수	prime number	약수가 1과 자기 자신뿐인 수
합성수	composite number	약수가 3개 이상인 수

6. 연습 문제 & 정답 ✍️

12와 18의 LCM은?
- 12 = 2² × 3, 18 = 2 × 3² → 2² × 3² = 4 × 9 = 36
9, 21, 35의 LCM은?
- 9 = 3², 21 = 3 × 7, 35 = 5 × 7 → 3² × 5 × 7 = 315
14, 20, 30의 LCM은?
- 14 = 2 × 7, 20 = 2² × 5, 30 = 2 × 3 × 5
- 최대 지수: 2², 3¹, 5¹, 7¹ → 4 × 3 × 5 × 7 = 420

7. 기억해 두면 편한 팁

짝수(even) → 2의 지수가 관건.
두 수만 있을 때는 GCD × LCM = a × b 관계로 답을 체크할 수 있음.
소인수분해 시 작은 소수(2, 3, 5, 7…) 부터 차례로 나눠 보세요—속도가 확 달라집니다.

한 줄 정리

LCM = “모두의 배수 중 가장 작은 것”.
→ 작은 수 2개면 배수 나열, 큰 수나 3개 이상이면 소인수분해가 빠르다!

이제 최소공배수를 언제든 자신 있게 찾을 수 있을 거예요. 꾸준히 연습해 보세요!

🌟 단항식의 최대공약수(Greatest Common Divisor, GCD) 찾기 — 한글·영어 병행 초보자용 길잡이

1. 시작하기 전에: 꼭 알아야 할 낱말

한국어	English	쉬운 뜻
단항식	monomial	숫자와 문자가 한 덩어리(한 항)로 된 식. 예) `7`, `5x²y`
인수 / 약수	factor / divisor	나누어떨어지게 만드는 “조각”
소인수	prime factor	더 못 쪼개는 기본 블록. 숫자는 소수(2, 3, 5…), 문자는 `x`, `y` 등
최대공약수	Greatest Common Divisor (GCD)	여러 식이 모두 나누어지는 인수 중 “가장 큰” 것

2. 왜 소인수분해부터 할까?

인수를 완전히 드러내면 공통인수가 한눈에 보임.
숫자는 소수의 곱(prime factorization)으로,
문자는 글자×갯수(지수만큼 반복)로 푼다.

예) 12a³  →  2 × 2 × 3 × a × a × a

3. 최대공약수 찾는 네 단계

TIP: “정수 → 소수별 가장 적은 개수”, “문자 → 같은 글자 중 가장 작은 지수”를 취한다.

단계	해야 할 일
① 소인수분해 (Prime-factorize)	숫자 부분은 소수 곱, 문자 부분은 글자 나열
② 공통인수 표시 (Mark common factors)	모든 식에 동시에 등장하는 인수만 체크
③ 최소 갯수/지수 선택 (Pick minima)	소수·문자별로 “가장 적은 개수(지수)”를 고름
④ 곱하기 (Multiply)	선택한 인수를 곱하면 그게 바로 GCD

4. 예제 ① - 순수 숫자

5, 10, 20
1. 분해

5 → 5
10 → 2 × 5
20 → 2 × 2 × 5

공통은 5 하나뿐 → GCD = 5

5. 예제 ② - 문자 섞인 식

6a, 6a², 12a³

식	소인수
6a	2 × 3 × a
6a²	2 × 3 × a × a
12a³	2 × 2 × 3 × a × a × a

숫자: 2, 3 모두 공통 → 2¹ × 3¹
문자 a: 최소 지수 1 → a¹

GCD = 2 × 3 × a = 6a

6. 예제 ③ - 여러 문자

4x²y, 2xy, 10xy²

식	소인수
4x²y	2 × 2 × x × x × y
2xy	2 × x × y
10xy²	2 × 5 × x × y × y

숫자: 2 하나만 공통
문자: x¹, y¹ 공통

GCD = 2xy

7. “가장 작은 식 = GCD”가 항상 아니에요!

왜? 공통인수가 적은 쪽에 의해 결정되지만
숫자·문자 조합이 다르면 더 작은 식이라도 공약수가 적을 수 있음.

예를 들어 2xy²이 하나 들어가더라도 다른 두 식에는 y가 1개뿐이므로
공통지수는 y¹ → 여전히 2xy가 GCD.

8. 실전 체크리스트

계수(coefficient) 먼저 소수로 쪼개기.
문자(variable) 는 글자별로 지수만큼 나열.
“모든 식에 등장?” → YES → ✔ 공통인수.
남은 공통인수 곱하기 → 땡! (끝).

9. 연습 문제 & 답

(9m^{2}n,\;6mn^{3},\;15m^{3}n^{2}) ⇒ 3mn
(18x^{3},\;12x^{2}y,\;30xy^{2}) ⇒ 6x
(14p^{2}q^{3},\;21pq^{2},\;35p^{3}q) ⇒ 7pq

10. 한 줄 정리

“최대공약수 = 숫자는 ‘소수별 최소 개수’, 문자는 ‘지수 최소’ → 몽땅 곱한다!”

천천히 소인수분해 연습을 하다 보면, 어떤 단항식이 와도 공통인수를 눈으로 바로 캐치할 수 있게 됩니다. 즐겁게 연습해 보세요!

아래 표는 위 설명에서 등장한 핵심 용어를 English → 한국어 → 쉬운 뜻 순으로 정리한 “단어장”입니다. 필요한 때마다 참고해 보세요!

English	한국어	뜻 (쉬운 설명)
relationship	관계	두 숫자가 어떻게 연결되어 있는지 나타내는 개념
comparison	값 비교	어느 쪽이 더 큰지·작은지 판단
ratio	비율	두 수를 나누어 얻은 비교값
unit price	단가	“단위 하나”당 붙는 가격 (1 ℓ, 1 개 등)
negative number	음수	0 보다 작은 수
positive number	양수	0 보다 큰 수
opposite number / additive inverse	대수적 반수	+a ↔ –a 처럼 부호만 다른 쌍
absolute value	절댓값	0에서의 거리 (
number line	수직선	숫자를 한 줄에 나열한 선
distance from 0	0으로부터 거리	절댓값의 정의에 쓰이는 거리
multiple	배수	어떤 수 × 1, 2, 3… 으로 만든 값
divisor / factor	약수 / 인수	나눗셈 결과가 나머지 0이 되게 하는 수
common divisor	공약수	여러 수 모두에 대해 약수인 수
divisibility	가분성	“나누어 떨어지는가” 여부
numerator	분자	분수에서 위에 있는 수
denominator	분모	분수에서 아래에 있는 수
reduce / simplify a fraction	약분	분자·분모를 같은 수로 나눠 더 작은 분수로 만들기
remainder	나머지	나눗셈에서 0이 아닌 남은 값
even number	짝수	2로 나누면 나머지 0 (끝자리 0,2,4,6,8)
odd number	홀수	2로 나누면 나머지 1
digit sum	자리수 합	각 자리 숫자를 모두 더한 값
last digit	끝자리	숫자의 가장 오른쪽 자리
last two digits	끝 두 자리	숫자의 뒤에서 두 자리
last three digits	끝 세 자리	숫자의 뒤에서 세 자리
prime number	소수	약수가 1과 자신뿐인 양의 정수
composite number	합성수	약수가 셋 이상인 양의 정수
prime factor	소인수	더 못 쪼개는 소수 인수
prime factorization	소인수분해	합성수를 소수의 곱으로 완전히 분해
Greatest Common Divisor (GCD)	최대공약수	여러 수가 모두 나누어지는 인수 중 가장 큰 것
Least Common Multiple (LCM)	최소공배수	여러 수의 공배수 중 가장 작은 값
common multiple	공배수	모든 수를 나누어떨어지게 하는 배수
natural number	자연수	1, 2, 3… 0보다 큰 정수
integer	정수	…–2, –1, 0, 1, 2… 나머지 없이 셀 수 있는 수
exponent	지수	같은 수를 반복 곱할 때 “몇 번 곱했는가”를 나타내는 숫자
exponent form	지수 표기	2³ 처럼 밑수와 지수로 쓰는 방식
factor tree	인수 트리	합성수를 두 인수로 가지치기하며 분해하는 그림
division ladder	약수 사다리	작은 소수로 계속 나누며 옆에 적는 분해 방법
quotient	몫	나눗셈에서 “몇 배인가”에 해당하는 값
product	곱	두 수 이상을 × 해서 얻은 결과
monomial	단항식	숫자와 문자가 한 덩어리(한 항)로 된 식
coefficient	계수	문자 앞에 곱해진 숫자
variable	변수 / 문자	x, y 처럼 값을 바꿔 넣을 수 있는 글자
ascending order	오름차순	작은 값 → 큰 값 순서로 늘어놓기

필요한 만큼 복습하며 용어를 익혀 두시면 분수·소인수분해·GCD·LCM 같은 다음 단계 개념도 한결 수월해질 거예요!

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