A Simplified Expression for Quantum Fidelity(2023)

Adrian Müller의 논문 요약

배경

Fidelity는 두 mixed state가 얼마나 가까운지를 보여주는 지표이다. 이론적으로 예상한 상태와 실험 후의 상태를 비교해 실험이 얼마나 잘 되었는지를 보여줄 때 쓰인다.
원래 fidelity 식은, 두 mixed state $\rho$와 $\sigma$가 있다고 할 때,
$F(\rho,\sigma):=\text{Tr}\left(\sqrt{\sqrt{\rho}\sigma\sqrt{\rho}}\right)^2$이다.

Theorem1. Fidelity 식은 $\rho$와 $\sigma$가 commute하지 않을 때에도
$F(\rho,\sigma)=\text{Tr}(\sqrt{\rho\sigma})^2$로 나타낼 수 있다.

Lemma1. $n\in\mathbb{N}$와 diagonalizable한 $A\in\mathbb{C}^{n\times n}$이 있을 때,
$\text{Tr}(A)=\sum\limits_i\lambda_i(A)$이다. 이 때, $\lambda_i(A)$는 $A$의 $i$-th eigenvalue이다.

proof of lemma1.
$A$의 characteristic polynomial을 써 보면,

여기서 $\lambda^{n-1}$의 계수를 비교해 보면 lemma의 등호가 성립한다.$\Box$

Lemma2. (Cyclicity of the spectrum) $A,B\in\mathbb{C}^{n\times n}$, $n\in\mathbb{N}$가 있다. 이 때,
$\sigma(AB)=\sigma(BA)$이다.
여기서 $\sigma(A)$는 $A$의 스펙트럼이다.
(스펙트럼은 수학에서 eigenvalue라는 뜻이다)

proof of lemma2.
$AB$와 $BA$의 characteristic polynomial이 같다는 사실이 잘 알려져 있으므로, 둘의 eigenvalue의 종류와 개수도 같다.

Lemma3. (Cyclicity of the spectrum with mapping)