Sinusoids

들어가기에 앞서
sinusoids가 뭐냐? -> cos or sin 신호: 한국어로는 정현파

기본적인 Cosine form

$A\cos(2\pi ft+\varphi)$ 형태

A -> amplitude (진폭)
f -> frequency (주파수)
φ -> phase (위상)

f는 frequency를 hertz 단위로 표기 한 것
이를 radian frequency로 표기하면
$\omega = (2\pi)f$

period(주기) $T = 1/f = 2\pi/\omega$
Sine은 Cosine과 phase가 π/2차이나는 동일한 신호

$\sin(\omega t) = \cos(\omega t-\pi /2)$

Example of Sinusoid

$5\cos(0.3\pi t+1.2\pi)$면,
A(amplitude) = 5
f(frequency) = $2\pi ft=0.3\pi t$ -> $f=\cfrac{0.3}{2}=\cfrac{3}{20}$
$\omega = 2\pi f=0.3\pi$
φ(phase) = $1.2\pi$
T(period) = $1/f=\cfrac{20}{3}$

TIME-SHIFT

$x(t)=A\cos(\omega t)$에서 t를 $(t-t_m)$으로 치환할 수 있다.
그러면, t=0 인 지점은 $t=t_m$인 지점이 된다
즉 cos함수의 peak인 t가 0에서 $t_m$으로 이동한 셈

아까 예시로 사용했던 함수를 보자

$5\cos(0.3\pi t+1.2\pi)=5\cos(0.3\pi(t-(-4)))$ 즉 이 신호는 $t=-4$일 때, peak이다.

PHASE ↔ TIME-SHIFT

$A\cos(\omega (t-t_m))=A\cos(\omega t+\varphi)$
$\varphi=-\omega t_m$

SINUSOID from a PLOT

그래프로부터 Sinusoid의 수식을 알아내려면...
・period T 측정 -> frequency 계산 $\omega=\cfrac{2\pi}{T}$
・peak인 time $t_m$측정 -> phase 계산 $\varphi=-\omega t_m$
・amplitude A 측정
T, $t_m$, A만 있으면 sinusoid 식을 구할 수 있다.

PHASE is AMBIGUOUS

cos신호의 주기가 $2\pi$이기 때문에
$A\cos(\omega t+\varphi+2\pi)=A\cos(\omega t+\varphi)$
따라서 $2\pi$의 배수를 더해도 그대로이다.

Complex Numbers

$z^2=-1$ 이 성립하는 z? -> 그러한 $z=j$라 하자 -> Imaginary number(허수)
complex number $z=x+jy$
complex addition은 vector addition과 같다

POLAR Coordinate

그림은 Length가 1이고 angle이 $\theta$인 vector form
vector의 length와 angle로 위치를 표현

RECTANGULAR ↔ POLAR

Cartesian coordinate와 Polar coordinate간의 관계
Relate $(x,y)$ to $(r,\theta)$

$r^2=x^2+y^2$
$x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$
$\theta=\arctan(\cfrac{y}{x})$ (arctan는 tan의 역함수 즉, input : 삼각비 output : radian각)

Euler's FORMULA

Real part는 cos, Imaginary part는 sine 형태

$e^{j\theta}=\cos(\theta)+jsin(\theta)$
$e^{j\omega t}=\cos(\omega t)+j\sin(\omega t)$

Euler's Formula의 실수 부분은 cos이므로 $\cos(\omega t)=Re\{e^{j\omega t}\}$
sinusoid의 general form은 $x(t)=A\cos(\omega t+\varphi)$
따라서 $A\cos(\omega t+\varphi)=Re\{e^{j(\omega t+\varphi)}\}=Re\{Ae^{j\varphi}e^{j\omega t}\}$

예시를 한번 보자
$x(t)=Re\{-3je^{j\omega t}\}$ 이를 cos형태로 바꿔 보자
amplitude는 항상 양수이므로 A=3
그러면, $e^{j\varphi}=-j$이다 $e^{j\theta}=-j$인 $\theta$를 Polar coordinate에서 생각해보면, $\theta$는 $-\cfrac{\pi}{2}$ or $\cfrac{3\pi}{2}$ 이다.
amplitude, frequency, phase의 정보가 모두 있으므로 cos신호를 구할 수 있다.
$A\cos(\omega t+\varphi)=3\cos(\omega t-\cfrac{\pi}{2})$이다.

COMPLEX AMPLITUDE = PHASOR

General Sinusoid: $A\cos(\omega t+\varphi)=Re\{Ae^{j\varphi}e^{j\omega t}\}$
$z(t)=Xe^{j\omega t}$라고 하면, $X=Ae^{j\varphi}$가 된다. 이 때,

$X=Ae^{j\varphi}$를 Complex amplitude 혹은 phasor라고 칭한다.

연습문제: $x(t)=\sqrt3\cos(77\pi t+0.5\pi)$의 complex amplitude를 찾아보자
$x(t)=\sqrt3\cos(77\pi t+0.5\pi)=\sqrt3e^{j0.5\pi}e^{77\pi t}$이므로
complex amplitude $X=\sqrt3e^{j0.5\pi}$이다.

Phasor Addition

Sinusoids addition을 하려면, 모든 sinusoids는 같은 frequency여야 한다.
예시를 한번 보자

이런 식으로 계산이 이뤄지는데, $x_3(t)$의 amplitude, phase는 어떻게 구해야 할까?

Phasor Addition Rule
모든 신호의 phasor의 합이 결과의 phasor
$\displaystyle\sum_{k=1}^NA_ke^{j\varphi_k}=Ae^{j\varphi}$

예시를 통해 알아보자
$x_1(t)=\cos(77\pi t)$
$x_2(t)=\sqrt3\cos(77\pi t+0.5\pi)$
두 신호의 합의 phasor는?
$X_1=e^{j0}=1$, $X_2=\sqrt3e^{j0.5\pi}=j\sqrt3$ 이므로 $X=e^{j0}+\sqrt3e^{j0.5\pi}=1+j\sqrt3$
($e^{j0.5\pi}=j$인 것은 polar coordinate를 생각해보면 나옴)
$1+j\sqrt3$은 polar coordinate에서 $x=1,y=\sqrt3$인 vector라 생각하면, vector의 length는 2, angle은 $\cfrac{\pi}{3}$
따라서 $X=2e^{j\cfrac{\pi}{3}}$이다.
$x_1(t)+x_2(t)=x(t)=2e^{j\cfrac{\pi}{3}}e^{j77\pi t}=2\cos(77\pi t+\cfrac{\pi}{3})$이다.