Spectrum Representation

Spectrum of a Sum of sinusoids

frequency가 다른 sinusoids를 합성하려면?
Sinusoids들을 더하는 것으로 합성
$x(t)=\displaystyle\sum_{k=1}^NA_k\cos(2\pi f_kt+\varphi_k)$

Spectrum Representation이 뭘까? -> 다른 frequency들을 graphical form으로 나타낸 것

x축은 frequency, y축은 phasor이다

Euler's Formula Reversed

Solve for cosine
$e^{j\omega t}=\cos(\omega t)+j\sin(\omega t)$
$e^{-j\omega t}=\cos(-\omega t)+j\sin(-\omega t)=\cos(\omega t)-j\sin(\omega t)$
$e^{j\omega t}+e^{-j\omega t}=2\cos(\omega t)$

$\cos(\omega t)=\cfrac{1}{2}(e^{j\omega t}+e^{-j\omega t})$

sine으로 유도하면?

$\sin(\omega t)=\cfrac{1}{2j}(e^{j\omega t}-e^{-j\omega t})$

Spectrum Interpretation

reversed euler's formula를 이용하면 cos은 2개의 complex exponential의 합과 같다는 사실을 알 수 있다.
이를 cos신호를 통해 보면,
$A\cos(7t)=\cfrac{A}{2}e^{j7t}+\cfrac{A}{2}e^{-j7t}$
cos신호를 amplitude는 1/2이고, 각각 positive frequency, negative frequency를 가지는 두 신호로 분해할 수 있다.

이번에는 sine신호로 해보자
$x(t)=A\sin(7t)=\cfrac{A}{2j}e^{j7t}-\cfrac{A}{2j}e^{-j7t}$
$\cfrac{A}{2j}*\cfrac{j}{j}=-\cfrac{jA}{2}$
$x(t)=-\cfrac{jA}{2}e^{j7t}+\cfrac{jA}{2}e^{-j7t}$
polar coordinate를 생각해보면 $j=e^{\pi/2}$, $-j=e^{-\pi/2}$이므로
$x(t)=\cfrac A2e^{-\pi/2}e^{j7t}+\cfrac A2e^{\pi/2}e^{-j7t}$
각 신호의 phase는 $-\pi/2$와 $\pi/2$인 것을 확인 할 수 있다.

이 신호를 spectrum으로 표현하면 다음과 같을 것이다.

Spectrum -> Sinusoid

다음과 같은 spectrum이 있을 때, 이를 sinusoid로 변환하려면 어떻게 해야 할까?

Sinusoid를 만드려면? <- amplitude, frequency, phase의 정보 필요
spectrum에서 위 정보들을 취합해보자

amplitude A: 4, 7, 10, 7, 4
frequency f: -250, -100, 0, 100, 250
phase $\varphi$: -π/2, π/3, 0, -π/3, π/2

이 때, frequency가 0인 신호를 DC라고 함
DC의 $\varphi$는 항상 0 or π (for real x(t))

이 정보들을 바탕으로 spectrum component를 더해보면
$x(t)=10e^{j0}e^{j2\pi0t}+7e^{j\cfrac\pi3}e^{-j2\pi100t}+7e^{-j\cfrac\pi3}e^{j2\pi100t}+4e^{-j\cfrac\pi2}e^{-j2\pi250t}+4e^{j\cfrac\pi2}e^{j2\pi250t}$

식의 형태를 보면 inverse euler's formula를 활용할 수 있을 것 같다
$x(t)=10+14\cos(200\pi t-\pi/3)+8\cos(500\pi t+\pi/2)$
위 예시를 통해 spcetrum component sum의 general form을 만들어 보자면

$A_0+\displaystyle\sum_{k=1}^NA_k\cos(2\pi f_k t+\varphi_k)$

이 식을 amplitude, phase를 phasor로, complex exponential형태로 표현하면
$x(t)=X_0+\displaystyle\sum_{k=1}^N{\{\cfrac12X_ke^{j2\pi f_k t}+\cfrac12X_k^*e^{-j2\pi f_k t}\}}$
($X_k=A_ke^{j\varphi_k}$, $Re\{z\}=\cfrac12z+\cfrac12z^*$) (복소수)

Periodic Waveforms

periodic waveform이란? signal with HARMONIC frequency
Harmonic frequency? <- 어떤 frequency의 정수배 frequency
즉 $f_k=kf_0$인 sinusoid들의 합으로 이루어진 신호

$x(t)=A_0+\displaystyle\sum_{k=1}^NA_k\cos(2\pi kf_0t+\varphi_k)$

$f_0=$ GCD(all frequency)

Periodic Signal

말 그대로 주기가 있는 signal
정의: $x(t)=x(t+T)$

Period of complex exponential
$x(t)=e^{j\omega t}$
$x(t+T)=e^{j\omega(t+T)}$
$e^{j\omega t}=e^{j\omega(t+T)}$
$1=e^{j\omega T}$ 이 때, $e^{j2\pi k}=1$이므로 (k가 정수니까) $e^{j\omega T}=e^{j2\pi k}$
$\omega T=2\pi k$ $\omega=\cfrac{2\pi k}{T}$ ∴$\omega=\omega_0k$

Fourier Series

Fourier <- 사람이름 Series <-급수 즉, 푸리에 급수
급수가 뭐냐? <- 뭘 무한히 더한 거
뭐를? <- sinusoid들을
위의 periodic waveform에서 했던 말이다.
periodic waveform들은 harmonic frequency들을 가진 sinusoid의 합으로 나타낼 수 있다고
이를 수식으로 나타내면?

$x(t)=\displaystyle\sum_{k=-\infin}^{\infin}{a_ke^{j2\pi kf_0t}}$ 이 때, $a_k$를 fourier coefficient라고 함

$a_k=\cfrac12X_k=\cfrac12A_ke^{j\varphi_k}$

spectrum으로부터 정보를 취합하여 periodic wave를 sinusoid들의 합 형태로 나타내는 것을 알아봤다.

$x(t)$ -> $a_k$ 구하기

이번에는 periodic wave x(t)로부터 fourier coefficient $a_k$를 구하는 방법을 알아보자
한 주기를 적분하면 된다

$a_k=\cfrac1T_0\displaystyle\int_0^{T_0}{x(t)e^{-j\omega_0 kt}}dt$

$\displaystyle\int_0^{T_0}{e^{-j2\pi(1/T_0)mt}}=\cfrac{T_0}{-j2\pi m}e^{-j2\pi(1/T_0)mt}\mid_0^{T_0}=0$ ($m\not=0$이므로)
$\cfrac1T_0\displaystyle\int_0^{T_0}{\{e^{j(2\pi/T_0)lt}e^{j(2\pi/T_0)kt}dt}=\{_{1\quad (k=l)}^{0\quad(k\not=l)}$ 즉 $k\not=l$이면 0

Fourier Analysis of Periodic Signals

analysis는? <- get representation from the signal. Periodic signal에서 가능
$a_k=\cfrac{1}{T_0}\displaystyle\int_{0}^{T_0}x(t)e^{-j\omega_0kt}dt$로 fourier series coefficient를 구해서 표기

Square Wave Example

해당 신호의 수식을 구해보자
$a_k=\cfrac1T_0\displaystyle\int_0^{T_0}x(t)e^{-j\omega_0kt}dt$로 $a_k$를 구하자. 이 때, $T_0=0.04$, 0.02부터 0.04구간은 적분해도 x(t)=0이므로 0부터 0.02까만 적분해도 된다. 이 구간에서 x(t)=1이다 이 모든것을 다시 정리해보면 다음과 같다.
$a_k=\cfrac1{0.04}\displaystyle\int_0^{0.02}1e^{-j\cfrac{2\pi}{0.04}kt}dt=\cfrac{1-(-1)^k}{j2\pi k}$
$k=0$인 case $a_0=\cfrac1T_0\displaystyle\int_0^{T_0}x(t)e^{-j\omega_0kt}dt=\cfrac1{0.04}\displaystyle\int_0^{0.02}1e^{0}dt=\cfrac12$

해당 신호의 Fourier Coefficient를 정리하면 다음과 같다.

수식으로 표현하려면 구한 $a_k$를 가지고 $\displaystyle\sum_{k=-\infin}^{\infin}a_ke^{j2\omega_0kt}=x(t)$

x(t)를 실제로 구해서 그래프를 그려보자
k=3까지 더해 구한 경우, k=7까지 더해 구한 경우, k=17까지 더해 구한 경우를 비교해보면

다음과 같이 원본 신호와 점점 근접하는것을 알 수 있다.
불연속적인 신호를 sinusoid의 합으로 나타내다 보니 근사되는 값들이 진동하는 것을 볼 수 있는데 이것을 Gibbs Phenomenon이라 한다.

Time Varying Frequency

말 그대로 시간에 따라 frequency가 변함 Continuously하게.
이러한 signal을 Chirp signal이라고 함.
Frequency Modulation (FM)
$x(t)=\cos(2\pi f_ct+v(t))$ $v(t)$는 음성 신호

예시)
Linear FM
Quadrastic phase인 것이 특징
$x(t)=A\cos(\alpha t^2+2\pi f_0t+\varphi)$

Instantaneous Frequency

Definition

$x(t)=A\cos(\psi(t))$ => $\omega_i(t)=\cfrac{d}{dt}\psi(t)$

예시)
$x(t)=A\cos(\alpha t^2+\beta t+\varphi)$
=> $\omega_i(t)=\cfrac{d}{dt}\psi(t)=2\alpha t+\beta$

time에 따라 frequency가 linear하게 증가하는것을 볼 수 있다.

또 다른 예시)
$\psi(t)$는 아무거나 다 됨
$x(t)=A\cos(\alpha\cos(\beta t)+\varphi)$
=>$\omega_i(t)=\cfrac{d}{dt}\psi(t)=-\alpha\beta\sin(\beta t)$