[무갇수] 역행렬

오늘 오후 슬랙에 갑자기 올라온 수학스터디 공고를 보고 바로 연락을 했다. SSAC에서 하는 스터디인데, 아이펠대전에서도 스터디원을 모집해보라고 권유가 들어와서 대전방에 글을 올리셨다고 한다. 부끄럽지만 고등학교 수학도 잘 기억이 나지 않아서 들어가기로 했다. SSAC분들은 처음이라 구글 밋에 들어가기 30분 전부터 심장이 두근두근했다.

슬랙에 올라온 pdf파일을 보고 처음에는 이해가 안 갔다. 본격적으로 연필을 들고 문제를 풀어가면서 보니 그제서야 이해가 갔다. 오늘의 파트는 역행렬. <무한루프에 갇힌 수학>(앞으로 무갇수라고 부를 예정이다) 파수꾼이신 J님께서는 numpy를 통해 단위행렬의 변형을 통해 행렬을 변환시킬 수 있는 재미있는 특성을 보여주셨다. 오른쪽 상단에서 왼쪽 하단 가운데가 1이고 나머지는 모두 0인 행렬을(단위행렬은 왼쪽 상단에서 오른쪽 하단 가운데가 1이고 나머지는 모두 0) 왼쪽에서 곱하면 행을 바꾸고, 오른쪽에서 곱하면 열을 변화시킨다고 한다.

실제로 쥬피터 노트북을 켜서 설명해 주셨는데, 단위행렬에서 몇 개의 원소의 위치만 바꿔도 행렬이 변화되는 모습이 신기했다.

잠시 그런 이야기를 나누고 본격적으로 문제 풀이에 들어갔다. 역행렬에 관한 10가지 문제였는데, 조금 까다로웠지만 금세 풀 수 있었다. (수학 세포가 아직 다 죽지는 않았나 보다.  (രᴗര๑) ) 답이 맞았는지는 잘 모르겠고 풀이도 내 마음대로이지만 말이다. 문제를 50분 동안 풀고, 모르는 부분은 질문하는 시간도 가졌다. 답은 다음날 오후에 슬랙에 올리신다고 한다.

처음 하는 스터디라 조금 걱정했는데, J님이 잘 이끌어 주셔서 부담 없이 계속 할 수 있을 것 같아 좋다. 그럼 스터디에 대한 이야기는 이제 그만 쓰고 지금부터 스터디 시간에 배운 것들을 정리해보자.

역행렬

1. 정사각형 행렬 A, B의 곱
   $(A+B)^2=(A+B)(A+B)=A(A+B)+B(A+B)$
   $=A^2+AB+BA+B^2$
   (단, 단위행렬의 경우는 곱셈 공식이 성립한다.)

2. 케일리-헤밀턴 정리를 사용하면 역행렬과 $A^n$을 쉽게 구할 수도 있다.

• 케일리-헤밀턴 정리
  $A=\begin{pmatrix} a & b \\c & d \end{pmatrix}$, $E=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ 이면, $A^2 - (a + d)A + (ad - bc)E = 0$이다.
  (단, 역방향으로는 성립하지 않는다. 그러나 이차정사각행렬에서는 $A=kE$인 2가지 경우를 제외하고는 성립하므로 웬만하면 사용해도 된다.)

3. 단위 행렬
   $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$, $X=\begin{pmatrix} p & q \\ r & s \end{pmatrix}$일 때, $AX=XA=A$를 만족하는 행렬 $X$가 단위행렬 $E$이다.

4. 역행렬

• 정의: 정사각행렬 A에 대하여 $AX=XA=E$를 만족시키는 행렬 $X$가 존재할 때, $X$를 $A$의 역행렬이라고 한다.
  $X = A^{-1} \iff A = X^{-1}, AA^{-1} = A^{-1}A = E$

• 이차 정사각형에서 역행렬 구하기
  $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \Rightarrow A^{-1} = \frac {1} {|A|}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & b \end{pmatrix}$ (단, $|A| \neq 0$)
  $|A|=\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}=ad-bc$ : 행렬의 판별식

5. 역행렬의 성질
   $B = A^{-1} \iff A = B^{-1}$
   $(A^{-1})^{-1} = A, (E^{-1})^{-1} = E$
   $(AB)^{-1} = A^{-1}B^{-1}$
   $(A^{m})^{-1} = (A^{-1})^{m}$
   (증명해보자!!)

6. 역행렬은 연립방정식의 해를 구할 때나 좌표를 변환하고 난 후의 값을 알고 원래 좌표를 구할 때 필요하므로 기억하는 것이 좋다.