[한정현 컴퓨터 그래픽스] 11장 오일러 변환 및 쿼터니언

이한결·2025년 3월 19일

[KUOCW]Computer Graphics

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출처: https://www.youtube.com/watch?v=XgE7tOSc7AU&list=PLYEC1V9tJOl03WLDoUEKbiYW_Xt4W6LTl&index=12
한정현님의 컴퓨터그래픽스 11장 강의를 기반으로 제작한 블로그입니다.

Euler Transforms

기존에 배운 물체에 대한 회전은 하나의 축에 대해서 진행했지만, 여러 축(x,y,z)를 기준으로 돌렸을 때 점이 하나의 평면(xy,yz,zx)에서만 회전하는게 아니라 3D 전체적으로 회전할 수 있습니다. 이렇게 모든 축을 기준으로 회전하는 변환을 Euler Transforms라고 합니다.

회전 순서를 바꾸면 어떻게 될까요? x,y,z축으로 회전하는 것을 y,x,z축으로 회전했을때 위의 사진과 같이 다른 결과가 나타나는 것을 확인할 수 있습니다. 즉 순서에 따라 결과가 달라집니다.

Keyframe Animation in 2D

Euler transfroms가 적용되는 keyframe에 대해서 설명해드리겠습니다. 애니메이션을 그릴 때 모든 frame의 이미지를 그리는 것은 시간적으로 육체적으로 힘든 방법입니다. 따라서 중요한 장면 예를들어서 1,13,24 frame을 책임자가 그리고, 그 사이의 2~12, 14~23 frame을 보조자가 그리는 방식으로 진행했습니다. 이렇게 책임자가 그리는 중요한 frame을 keyframes, 보조자가 그리는 frame을 in-between frames라고 합니다.

보조자가 생성하는 in-between frames를 keyframe의 interpolation을 통해서 컴퓨터로 구할 수 있습니다. 위의 수식이 간단한 interpolation 수식을 나타냅니다(p: 위치, $\theta$ : 각도).

Keyframe Animation in 3D

3차원에서 Keyframe의 변환을 생각해보겠습니다. Keyframe0에서 1까지 변환될때 단순히 x좌표만 변했고, 1에서 2로 변환될 때는 x축으로 90도, z축으로 -90도 변환된 것을 확인할 수 있습니다.

각 프레임별로 이동과 회전을 각각 생각해보면, 우선 0에서 1로갈 때는 x만 변하고 y와 z는 변하지 않습니다. 다음으로 회전할 때 xy평면에서만 위치 변화가 나타나기 때문에 x가 양의 방향으로, y가 음의 방향으로 변합니다.

회전의 경우 0에서 1로의 변환은 없고, 1에서 2로 변환될 때 x방향 90, z방향 -90이 변한 것을 확인할 수 있습니다.

이렇게 이동과 회전으로 나눈다음에 각 좌표(x,y,z)에 대해서 선형 보간을 통해서 특정 시점에서의 위치를 쉽게 얻을 수 있습니다. 그 결과 위와 같이 나올 것 입니다.

더 부드러운 변환이나, 중간에 어떠한 변화를 주고 싶을 때 고차원 함수나 함수를 변환할 수 있는 기능도 제공됩니다.

예시를 보면서 개념을 interpolation 과정을 확인해보도록 하겠습니다. 위와 같이 3개의 축으로 변환이 있는 frame0과 frame1의 결과가 있습니다. 이때 frame1/2를 구하려면 단순히 2개의 각을 합쳐서 2로 나눠주면 됩니다.

결과는 위와 같이 나오겠죠? 파란색 부분만 보면 반 정도 회전하겠구나 라는 느낌을 쉽게 받을 수 있습니다. 근데 지금 처음과 끝 모두 yz평면에 있어서 x값이 0인데 보간된 맨마지막 결과를 확인해보시면 -0.1과 0.3으로 yz평면에 있지 않습니다.

그래서 결론은 Euler transform이 직관적이긴 하지만 못 쓰겠다!

Quaternion

Euler transform대신에 in-between frame을 만들기 위해서 새로운 방식인 Quaternion을 소개해 드리겠습니다. Quaternion은 3개의 허수부와 1개의 실수로 이루어진 4개의 벡터 입니다. 기존에 i로 복소수를 표현했는데 j와 k 2개가 추가되고 각 성질은 위에 나와있습니다. 교환법칙이 성립이 안되는 등 중요한 규칙들이 있습니다.

2개의 quaternion p,q를 곱했을 때 마지막 결과 pq를 보시면 새로운 quaternion이 생성되는 것을 확인할 수 있습니다.

복소수 하면 생각나는 짝궁이 켤레 복소수인 것 처럼 quaternion의 복소수에 음수를 붙인 값을 Conjugate라고 합니다. 두 quaternion을 곱해서 나온 새로운 quaternion에 conjugate를 취하면 $(pq)^*=q^*p^*$ 이 나오게 됩니다(순서 주의!)

Quaternion의 크기는 각 계수를 곱해서 루트를 취해서 구할 수 있는데, 이때 크기가 1이라면 unit quaternion이라고 표현합니다.

2D Rotation ↔ Quaternion

3장? 4장? 쯤에 봤었던 회전 변환 그림입니다. $\theta$ 를 이용해서 새로운 좌표를 구할 수 있었습니다.

이를 복소수를 이용해서도 표현이 가능합니다. 초기의 좌표를 $p= x+yi$ 라고 나타내고, 회전하는 변환을 $q = cos\theta + sin{\theta}i$ 로 나타내면 $pq = (xcos\theta - ysin\theta) + (xsin\theta + ycos\theta)i$ 의 결과가 나타납니다. 이때 실수부가 x좌표, 허수부가 y좌표와 같다는 놀라운 점을 발견할 수 있습니다.

3D Rotation ↔ Quaternion

3차원의 회전도 quaternion으로 표현이 가능합니다. 초기 좌표 $p = (p,0)$ 이라고 할 때 x,y,z좌표가 p가 돼서 허수부를 나타내고, 실수부는 0으로 나타냅니다. 이후 변환에 대해서 $q = (sin\frac{\theta}{2}u,cos\frac{\theta}{2})$ 로 나타냅니다. 마찬가지로 앞부분이 허수부 뒷부분이 실수부 입니다.

이때 갑자기 u가 나왔는데 u는 q 변환을 unit quaternion으로 나타내기 위한 수단으로 회전하는 u축의 길이입니다. 부연설명은 해드리자면 q의 크기는 $sin^2\frac{\theta}{2}u + cos^2\frac{\theta}{2}$ 의 루트인데 u가 단위 벡터라서 q의 크기도 1이됩니다. 개인적으로 u를 안곱해도 q의 크기가 1이되는데 왜 곱한지에 대해서는 이해가 되질 않았습니다.