[백준/Python3] 1956 운동

🎾Problem

문제

V개의 마을와 E개의 도로로 구성되어 있는 도시가 있다. 도로는 마을과 마을 사이에 놓여 있으며, 일방 통행 도로이다. 마을에는 편의상 1번부터 V번까지 번호가 매겨져 있다고 하자.

당신은 도로를 따라 운동을 하기 위한 경로를 찾으려고 한다. 운동을 한 후에는 다시 시작점으로 돌아오는 것이 좋기 때문에, 우리는 사이클을 찾기를 원한다. 단, 당신은 운동을 매우 귀찮아하므로, 사이클을 이루는 도로의 길이의 합이 최소가 되도록 찾으려고 한다.

도로의 정보가 주어졌을 때, 도로의 길이의 합이 가장 작은 사이클을 찾는 프로그램을 작성하시오. 두 마을을 왕복하는 경우도 사이클에 포함됨에 주의한다.

입력

첫째 줄에 V와 E가 빈칸을 사이에 두고 주어진다. (2 ≤ V ≤ 400, 0 ≤ E ≤ V(V-1)) 다음 E개의 줄에는 각각 세 개의 정수 a, b, c가 주어진다. a번 마을에서 b번 마을로 가는 거리가 c인 도로가 있다는 의미이다. (a → b임에 주의) 거리는 10,000 이하의 자연수이다. (a, b) 쌍이 같은 도로가 여러 번 주어지지 않는다.

출력

첫째 줄에 최소 사이클의 도로 길이의 합을 출력한다. 운동 경로를 찾는 것이 불가능한 경우에는 -1을 출력한다.

Solution

최단 거리 사이클을 찾는 문제이다. 최단 경로 알고리즘은 플로이드 워셜, 다익스트라가 있다. 그 중 플로이드 워셜 알고리즘을 문제에 적용해 풀이했다.

플로이드-워셜 알고리즘

플로이드 워셜 알고리즘은 모든 노드에서 모든 노드까지의 최단 거리를 구하기 위한 알고리즘이다. 노드의 개수가 N개 일 때 N번의 단계를 수행하고 단계마다 모든 노드 사이의 최단 거리 정보를 갱신한다. N번의 단계마다 O(N^2) 연산을 수행하므로 시간 복잡도는 O(N^3)이다.
모든 경로 (i, j)에 대해 k를 거쳐가는 경우와 비교해서 최단 거리를 갱신한다.

for k in range(N):
	for i in range(N):
    	for j in range(N):
        	dist[i][j] = min(dist[i][j], dist[i][k] + dist[k][j]

위와 같이 최단 거리를 계산할 수 있다. dist[i][j]는 (i, j)의 최단 거리를 뜻한다.

Python Code

from sys import stdin
from heapq import heappush, heappop

# 플루이드 워샬
INF = float('inf')
V, E = map(int, stdin.readline().split())
dist = [[INF for i in range(V + 1)] for j in range(V + 1)]

for _ in range(E):
	a, b, c = map(int, stdin.readline().split())
	dist[a][b] = c

for k in range(1, V + 1):
	for a in range(1, V + 1):
		for b in range(1, V + 1):
			dist[a][b] = min(dist[a][b], dist[a][k] + dist[k][b])

answer = INF
for v in range(1, V + 1):
	answer = min(answer, dist[v][v])
print(answer if answer != INF else -1)

먼저 dist에 입력받은 a에서 b로 가는 도로의 거리를 저장한다. 같은 (a, b) 쌍은 입력되지 않는다는 조건이 있으므로 c를 그대로 저장하면 된다. 플로이드 워셜 알고리즘을 사용해서 모든 경로의 최단 거리를 갱신하고 각 사이클 중 가장 최단거리인 사이클의 거리를 출력한다.
플로이드 워셜의 시간복잡도는 O(N^3)이므로 입력값이 커질수록 성능이 떨어진다. 이 코드도 python3에서는 시간 초과가 발생한다. 이를 개선하기 위해 다익스트라 알고리즘을 적용해볼 수 있다.