1. The Geometry of Linear Equations

요약

이번 Lecture에서는 linear equation의 geometry에 대해 이야기한다.

• $n$ equations, $n$ unknowns
• Row picture / Column Picture / Matrix Form

2-D case

$2x-y = 0\\ -x+2 = 3$

위 equation을 row picture로 나타내면 다음과 같다.

위 행렬에서 $\begin{bmatrix} 2 & -1\\ -1 & 2 \end{bmatrix}$=$A$, $\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}$=$\text{x}$, $\begin{bmatrix} 0\\ 3 \end{bmatrix}$=$b$ 라고 했을 때 다음과 같은 equation으로 나타 낼 수 있다.

• $A\text{x}=b$

Row picture에서는 좌표 평면을 그려서 각 equation에 해당하는 직선을 그려 교점을 찾는 방식으로 $x$와 $y$ 값을 찾을 수 있따.

같은 equation을 column picture로 나타내면 다음과 같다.

• Linear combinations of columns
  $x \begin{bmatrix} 2\\-1 \end{bmatrix} +y \begin{bmatrix} -1\\2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\\3 \end{bmatrix}$

Column picture에서는 $\text{x}$를 찾기 위해 각 unknown을 vector에 매칭시켜 문제를 해결한다.

여기서 중요한 점은 모든 가능한 $b$에 대하여 $\text{x}$를 고려하면 이는 xy 평면을 형성한다는 것이다.

3-D case

$2x-y=0\\ -x+2y-z=1\\ -3x+4z=4\\$

이 때,

같은 방식으로 3-D에서

3개의 방정식을 row picture로 나타내고 좌표 공간에서 $\text{x}$를 구할수는 있지만, 2-D case에 비해 visualization시의 명확성이 떨어지고 차원이 커질 수록 이러한 경향은 더 심해진다.

하지만 이러한 문제는 column picture로 생각하면 단순히 $\text{x}$ 값을 찾는데 집중 할 수 있어 훨씬 쉬워진다.(Gilbert Strang의 경우 column picture를 선호한다고 함)

우리는 다음과 같은 질문을 던질 수 있다.

• Can I solve $A\text{x}=b$ for every $b$?
• Do the linear combinations of the columns fill 3-D space? (in 3-D case)

이에 대한 답은 현재 주어진 case의 $A$에 대해서는 YES 이다.

하지만 어느 한 원소가 나머지 vector들로 인해서 생성되는 평면 위에 존재하는 경우 해당 equation들로는 3-D space를 생성 할 수 없다.

n-D case

n차원에서도 기본 logic은 동일하다. $n$개의 vector가 존재 할 때, 각 vector들이 나머지 vector들로 생성되는 n차원 space에 속하지 않는다면 linear comb.를 통해 n-D space를 형성 할 수 있다.

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아주 기초적인 내용이었지만 row picture와 column picture의 구분을 통해 linear combination을 직관적으로 설명하는 부분이 매우 인상적이었다.