DS School Week 10-3 통계 : 가설 검정

오늘 학습 계획

• 통계 : 가설 검정 강의 수강

학습 내용

1. 가설 검정

• 가설 : 주어진 사실 또는 조사하려고 하는 사실에 대한 주장 또는 추측.
  통계학에서는 모수를 추정할때 모수가 어떠하다는 증명하고 싶은 추측이나 주장.

• 가설의 종류

  • 귀무 가설 $H_0$
    • 기존의 사실
    • 대립가설과 반대되는 가설
  • 대립 가설 $H_1$
    • 데이터로부터 나온 주장하고 싶은 가설 또는 연구의 목적

• 가설 검정의 개념

  • 제 1종 오류 (type 1 error)
    • 귀무가설이 참이지만, 귀무가설을 기각하는 오류
    • 제 1종 오류를 범할 확률의 최대 허용 한계를 유의수준 이라고 함.
      (유의수준 : 신뢰구간의 반대말)
  • 제 2종 오류 (type 2 error)
    • 귀무가설이 기각해야 하지만, 귀무가설을 채택하는 오류
  • 검정 통계량
    • 귀무가설이 참이라는 가정하에 얻은 통계량
    • 검정 결과 대립가설을 선택하게 되면 귀무가설을 기각함.
      검정 결과 귀무가설을 선택하게 되면 귀무가설을 기각하지 못한다고 표현함.
  • P-value
    • 귀무가설이 참일 확률
      (귀무가설이 참이라는 가정하에 통계량이 귀무가설을 얼마나 지지하는지를 나타내는 확률)
  • 기각역
    • 귀무가설을 기각시키는 검정통계량의 관측값의 영역

• 가설 검정의 절차

  1. 가설 수립
  2. 유의 수준 결정
  3. 기각역 설정
  4. 검정통계량 계산
  5. 의사 결정

• 검정의 종류

  • 양측검정
    • 대립가설의 내용이 같지 않다 또는 차이가 있다 등의 양쪽 방향의 주장
  • 단측검정
    • 대립가설의 내용이 크다 또는 작다 처럼 한쪽 방향의 주장

2. 단일 표본에 대한 가설 검정

• 모평균 가설검정 (모분산을 아는 경우)
  • 검정통계량 : $Z = {\bar X - \mu \over \sigma / \sqrt n} \sim N(0,1)$
  • 기각역 : $z_0 = {\bar X - \mu_0 \over \sigma /n}$
  • 검정
    • 가설 : $H_0 : \mu = \mu_0$ vs $H_1 :\mu != \mu_0$
      $\Rightarrow |z_0| \ge z_{\alpha /2}$ 이면 $H_0$기각
    • 가설 : $H_0 : \mu = \mu_0$ vs $H_1 :\mu > \mu_0$
      $\Rightarrow z_0 \ge z_\alpha$ 이면 $H_0$기각
    • 가설 : $H_0 : \mu = \mu_0$ vs $H_1 :\mu < \mu_0$
      $\Rightarrow z_0 \le -z_\alpha$ 이면 $H_0$기각
• 모평균 가설검정 (모분산을 모르는 경우 : 소표본)
  • 검정통계량 : $T = {\bar X - \mu \over \sigma / \sqrt n} \sim t(n-1)$
  • 기각역 : $t_0 = {\bar X - \mu_0 \over \sigma /n}$
  • 검정
    • 가설 : $H_0 : \mu = \mu_0$ vs $H_1 :\mu != \mu_0$
      $\Rightarrow |t_0| \ge t_{\alpha /2}(n-1)$ 이면 $H_0$기각
    • 가설 : $H_0 : \mu = \mu_0$ vs $H_1 :\mu > \mu_0$
      $\Rightarrow t_0 \ge t_\alpha(n-1)$ 이면 $H_0$기각
    • 가설 : $H_0 : \mu = \mu_0$ vs $H_1 :\mu < \mu_0$
      $\Rightarrow t_0 \le -t_\alpha(n-1)$ 이면 $H_0$기각
• 모비율 가설검정
  • 검정통계량 : $z = {\hat p - p\over \sqrt{p(1-p)/n}} \sim N(0, 1)$
  • 기각역 : $z_0 = {\hat p - p_0\over \sqrt{p_0(1-p_0)/n}}$
  • 검정
    • 가설 : $H_0 : \hat p = p_0$ vs $H_1 :\hat p \ne p_0$
      $\Rightarrow |z_0| \ge z_{\alpha/2}$ 이면 $H_0$기각
    • 가설 : $H_0 : \hat p = p_0$ vs $H_1 :\hat p > p_0$
      $\Rightarrow z_0 \ge z_\alpha$ 이면 $H_0$기각
    • 가설 : $H_0 : \hat p = p_0$ vs $H_1 :\hat p < p_0$
      $\Rightarrow z_0 \le -z_\alpha$ 이면 $H_0$기각

3. 두 개 표본에 대한 가설 검정

• 모분산을 아는 경우
  • 검정통계량 : $z = {(\bar X_1 - \bar X_2) - (\mu_1 - \mu_2)\over \sqrt{\sigma_1^2/n_1 + \sigma_2^2/n_2}} \sim N(0,1)$
  • 기각역 :$z_0 = {(\bar X_1 - \bar X_2)\over \sqrt{\sigma_1^2 / n_1 + \sigma_2^2 /n_2}}$
  • 검정
    • 가설 : $H_0 : \mu_1 = \mu_2$ vs $H_1 : \mu_1 \ne \mu_2$
      $\Rightarrow |z_0| \ge z_{\alpha/2}$ 이면 $H_0$기각
    • 가설 : $H_0 : \mu_1 = \mu_2$ vs $H_1 : \mu_1 > \mu_2$
      $\Rightarrow z_0 \ge z_\alpha$ 이면 $H_0$기각
    • 가설 : $H_0 : \mu_1 = \mu_2$ vs $H_1 : \mu_1 < \mu_2$
      $\Rightarrow z_0 \le -z_\alpha$ 이면 $H_0$기각
• 모분산을 모르는 경우
  • 검정통계량 : $T = {(\bar X_1 - \bar X_2) - (\mu_1 - \mu_2)\over S_p\sqrt{\sigma_1^2/n_1 + \sigma_2^2/n_2}} \sim t(n_1 + n_2 -2)$
  • 기각역 :$T_0 = {(\bar X_1 - \bar X_2)\over S_p^2 \sqrt{\sigma_1^2 / n_1 + \sigma_2^2 /n_2}}$
    ※ $S_p^2 = {(n_1-1)s_1^2 + (n_2-1)s_2^2\over n_1+n_2 -2}$
  • 검정
    • 가설 : $H_0 : \mu_1 = \mu_2$ vs $H_1 : \mu_1 \ne \mu_2$
      $\Rightarrow |t_0| \ge t_{\alpha/2}$ 이면 $H_0$기각
    • 가설 : $H_0 : \mu_1 = \mu_2$ vs $H_1 : \mu_1 > \mu_2$
      $\Rightarrow t_0 \ge t_\alpha$ 이면 $H_0$기각
    • 가설 : $H_0 : \mu_1 = \mu_2$ vs $H_1 : \mu_1 < \mu_2$
      $\Rightarrow t_0 \le -t_\alpha$ 이면 $H_0$기각
• 대응 비교 $\Rightarrow$ 단일 표본화
  • 쌍으로 조사된 자료$(X_1, Y_1), (X_2, Y_2), \cdots ,(X_i, Y_i)$에서 $X_i,Y_i$의 평균을 $\mu_x, \mu_y$라고할 때,
    $D_i = X_i - Y_i$
  • 검정통계량: $T={D - \mu_D\over S_D\sqrt n} \sim t(n-1)$
  • 기각역 : $T_0={D-\mu_D \over S_D\sqrt n}$
  • 검정
    • 가설 : $H_0 : \mu_D = 0$ vs $H_1 : \mu_D \ne 0$
      $\Rightarrow |t_0| \ge t_{\alpha/2}$ 이면 $H_0$기각
    • 가설 : $H_0 : \mu_D = 0$ vs $H_1 : \mu_D > 0$
      $\Rightarrow t_0 \ge t_\alpha$ 이면 $H_0$기각
    • 가설 : $H_0 : \mu_D = 0$ vs $H_1 : \mu_D <0$
      $\Rightarrow t_0 \le -t_\alpha$ 이면 $H_0$기각

다음 학습 계획

• 통계 : 자료분석 강의 수강