집합의 개념

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집합

• 집합(Set)
  공통적인 성질을 가진 객체(Object)들의 모임(Collection)
  중복은 제외
  순서를 가지지 않음
  
  
• 원소(Element)
  집합을 구성하는 객체

예제1

집합을 올바르게 나타내어라

• S = {1,1,1,2,2,3,3,3,3}
  S = {1,2,3} (중복 제외)

집합을 표시하는 방법

• 원소나열법(Roster Method)
  어떤 집합에 속하는 모든 원소를 { } 안에 나열해서 집합을 나타내는 방법

• 조건제시법(Set Builder Notation)
  어떤 집합 내의 공통적인 성질을 기술하여 정의하는 방법

자주 사용하는 집합

• N = {x | x는 양의 정수 또는 0} = {0,1,2,3, ... }
• Z = {x | x는 정수} = { ... ,-2,-1,0,1,2,3, ... }
• $Z^+$ = {x | x는 양의 정수} = {1,2,3, ... }
• R = {x | x는 실수}
• $R^+$ = {x | x는 양의 실수}
• Q = {x | x는 유리수}
• C = {x | x는 복소수}

예제2

"byte" 안의 문자들로 구성된 집합 S를 원소나열법과 조건제시법으로 나타내여라.

• 원소나열법
  S = {b, y, t, e}
  
  
• 조건제시법
  S = {x | x는 "byte" 안의 문자}

집합의 크기

• 집합의 크기(Cardinality)
  집합의 크기를 나타내는 수
  기수(Cardinality Number)로 표기

예제3

집합 S에 대해 크기를 구하여라

• S = {1,2,3}
  |S| = 3
  
  
• S = {} (공집합)
  |S| = 0

두 집합 A와 B가 같다는 것

• 두 집합 A와 B가 같기 위해서는 집합 A에 있는 모든 원소들이 집합 B에 있고, 집합 B에 있는 모든 원소들이 집합 A에 있어야함
  즉, ∀x(x ∈ A ↔ x ∈ B)를 만족

예제4

두 집합 A와 B가 같음을 보여라

• A = {2,3,1}, B = {3,1,2}
  1. 집합 A에 있는 원소중 2을 선택하면 집합 B에도 2이 존재
  2. 집합 A에 있는 원소중 3을 선택하면 집합 B에도 3이 존재
  3. 집합 A에 있는 원소중 1을 선택하면 집합 B에도 1이 존재
  4. 집합 B에 있는 원소중 3을 선택하면 집합 A에도 3이 존재
  5. 집합 B에 있는 원소중 1을 선택하면 집합 A에도 1이 존재
  6. 집합 B에 있는 원소중 2을 선택하면 집합 A에도 2이 존재
  
  그러므로 집합 A와 집합 B는 같다.

부분집합

• 집합 A의 모든 원소가 집합 B의 원소이면 "집합 A는 집합 B의 부분집합(Subset)이다."
• A⊆B라고 표기
• 공집합은 모든 집합의 부분집합

예제5

• $Z^+$, N, Z, R, Q 사이의 부분집합 관계를 나타내여라
  $Z^+$ : 양의 정수 집합
  N : 0을 포함한 양의 정수 집합
  Z : 정수 집합
  R : 실수 집합
  Q : 유리수 집합
  
  부분 집합 관계는 $Z^+$⊆Z 이고 N⊆Z⊆Q⊆R이다.
  
  
• A = {1,2,3,4,5,6}, B = {2,4,5}, C = {1,2,3,4,5}일 때, 두 집합 사이 관계인 A와 B, B와 C, A와 C 사이 관계를 부분집합 관계로 나타내어라
  
  B⊆A, B⊆C, C⊆A이다.

진부분집합

• 진부분집합(Proper Subset)
  집합 A가 집합 B의 부분집합인 경우, 집합 A의 원소들 중에서 자기 자신을 제외한 다른 원소들을 모두 포함한 집합을 말함.
  즉, ∀x(x ∈ A → x ∈ B)∧∃x(x ∈ B ∧ x $\notin$ A)
• A⊂B라고 표기

멱집합

• 멱집합(Power Set)
  집합 A의 모든 부분집합을 모은 집합을 A의 멱집합이라 함.
• P(A)로 표기

예제6

A = {1,2,3}일 때, A의 멱집합을 구하고 멱집합의 크기를 구하여라

• P(A) = {$\varnothing$, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3}
• |P(A)| = $2^{|A|}$ = $2^3$ = 8