공부하는 중이라 부정확하고 부족한 지식일 수있습니다! 댓글로 지적 부탁드립니다!

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집합의 연산

• 주어진 집합들의 원소를 조합함으로써 새로운 집합을 만드는 것

합집합(Union)

• 집합 A,B가 있을 때, A에 속하든지 또는 B에 속하는 모든 원소들의 집합
• A∪B = {x | x$\in$A 또는(OR,$\lor$) x$\in$B}

예제1

A = {1,2}, B = {2,3}, C = {1,2,3,6}일 때, A∪B∪C를 구하여라

• 집합 A,B,C에 속하는 모든 원소들을 중복 없이 적으면 된다.
  A∪B∪C = {1,2,3,6}

교집합(Intersection)

• 집합 A,B가 있을 때, A에도 속하고 B에도 속하는 모든 원소들의 집합
• A∩B = {x | x∈A 이고(AND,∧) x∈B}

곱집합(Product)

• 두 집합 A,B가 있을 때, 두 집합 각각에서 원소를 하나씩 뽑아 얻은 순서쌍들 모두로 이루어진 집합
• AxB = {(a,b) | a∈A ∧ b∈B}

곱집합의 크기(Cardinality)

• |AxB| = |A| x |B|

예제2

A = {a,b}, B = {1,2,3}일 때, AXB를 구하여라

• 집합 A를 행(Row), 집합 B를 열(Column)으로 배치
  AxB = {(a,1), (a,2), (a,3), (b,1), (b,2), (b,3)}

여집합(Complement)

• 전체집합 U의 원소 중 A의 원소가 아닌 것들의 집합
• $A^c$ = {x | x∈U : x∈A}

차집합(Difference)

• 두 집합 A,B가 있을 때, A에 속하고 B에는 속하지 않는 원소들의 집합
• A-B = {x | x∈A ∧ x$\notin$B} = $A∩B^c$

대칭 차집합(Symmetric Difference)

• 두 집합의 차지합 A-B에 속하거나 또는 B-A에 속하는 원소들의 집합
• A$\oplus$B = {x | x∈(A-B) $\lor$ x∈(B-A)}

예제3

A = {a,b,c,e,f}, B = {b,d,r,s}일 때, A$\oplus$B을 구하여라

• A-B와 B-A를 구한 후에, 이 결과 집합들의 합집합을 구하면 된다.
  A$\oplus$B = (A-B)$\lor$(B-A) = {a,c,e,f} $\lor$ {d,r,s} = {a,c,d,e,f,r,s}

합집합의 크기

• 포함배제의 원리(Inclusion-Exclusion)
  중복된 집합을 제거하여 합집합을 구함
  |A∪B| = |A| + |B| - |A∩B|

예제4

어떤 회사에서 25명의 시스템 프로그래머와 40명의 응용 프로그래머를 고용하려고 한다. 이 중에서 10명은 작업을 모두 수행할 수 있는 프로그래머를 원한다. 이 회사는 몇 명의 프로그래머를 고용해야하는지 구하여라

집합 A를 시스템 프로그래머의 집합이라고 하고, 집합 B를 응용 프로그래머의 집합이라고 하자.
|A| = 25, |B| = 40, |A∩B| = 10
따라서 고용할 인원 수를 구하면 다음과 같다.
|A∪B| = 25 + 40 - 10 = 55
즉, 이 회사는 55명의 프로그래머를 고용해야한다.

예제5

U = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}, A = {1,2,3,4,5}, B = {4,5,6,7,8}일 때, 다음을 구하여라

1. A∪B = {1,2,3,4,5,6,7,8}
2. A∩B = {4,5}
3. $A^c$ = {0,6,7,8,9,10}
4. $B^c$ = {0,1,2,3,9,10}
5. A-B = {1,2,3}
6. B-A = {6,7,8}
7. A$\oplus$B = {1,2,3,6,7,8}
8. AxB = {(1,4),(2,4),(3,4),(4,4),(5,4),(1,5),(2,5),(3,5),(4,5),(5,5),(1,6),(2,6),(3,6),(4,6),(5,6),(1,7),(2,7),(3,7),(4,7),(5,7)(1,8),(2,8),(3,8),(4,8),(5,8)}

9. BxA = {(4,1),(5,1),(6,1),(7,1),(8,1),(4,2),(5,2),(6,2),(7,2),(8,2),(4,3),(5,3),(6,3),(7,3),(8,3),(4,4),(5,4),(6,4),(7,4),(8,4),(4,5),(5,5),(6,5),(7,5),(8,5)}