1장은 숫자의 특성에 대해 얘기합니다. 정확히 '수' 라는 것을 정의하기 전에 특성부터 살펴봅니다.
이 특성은 3개 이상의 수들을 서로 더할 때 순서에 영향받지 않음을 나타냅니다. 이 특성은 수의 덧셈이란, 기본적으로 한 쌍을 기준으로 하는 것을 나타내기도 합니다. 따라서 3개 이상의 수를 더할 때 먼저 더할 한 쌍의 수는 어떤 것이어도 무관하다라고도 생각할 수 있습니다.
관점에 따라 수의 특성이 아닌 덧셈이라는 연산의 특성이라고 생각할 수도 있지만, 저자의 의도가 수 자체에 있고, 다음 장이 숫자의 종류. 임을 고려해서 연산이 아닌 숫자 자체에 주목합시다.
특성 2와 3은 '0'이라는 숫자의 특성을 설명합니다. 특성 2는 0이라는 숫자는 임의의 숫자 a와 더했을 때 그 결과가 a가 나오는 숫자임을 나타냅니다. 특성 3은 모든 숫자(임의의 a)는 더했을 때 결과가 0이 나오는 숫자가 존재함을(-a) 말합니다.
특성 4는 숫자 쌍을 더하는 연산이 순서에 영향받지 않다는 것을 강조하고 있습니다. 특성 1과 4를 고려하면 숫자를 더할 때는 그 순서는 매우 자유롭다는 것을 알 수 있습니다.
특성 5와 6에서는 곱셈이라는 연산에서 수의 특성을 말합니다. 덧셈에서의 수의 특성과 매우 유사하지만, 특성 6에서 볼 수 있듯이 곱셈에서는 1이라는 숫자가 0의 역할을 대신합니다.
특성 7과 8 또한 덧셈과 유사합니다. 하지만 특성 7에서 a는 0이 아닐 때, 라는 조건에 주목해야합니다. 덧셈과 다르게 곱셈에서는 모든 수가 아닌 0이아닌 수에 대해서만 곱셈의 결과가 1이 되는 수가 존재하고, 따라서 곱셈의 파생인 나눗셈에서 0으로 나누는 것은 정의할 수 없게 되는 것입니다.
특성 9는 특성 자체가 가진 의미보다는 이 특성의 유용성에 대해 주목해야합니다.
a * 0 = 0
우리가 당연시 받아들였던 이 식은 특성 9에 의해 증명할 수 있습니다.
음수와 양수의 곱이 음수가 되는 것과 음수와 음수의 곱이 양수라는 또 다른 당연한 사실 또한 특성 9로 증명될 수 있습니다.
음수끼리 곱했을 때 양수가 나오는 것은 당연한 것이 아닌, 숫자가 지닌 9개의 특성에 의해 유도된 결과라는 놀라운 사실입니다.
뿐만아니라, 특성 9는 모든 대수적 조작의 출발입니다.
우리는 방정식을 풀 때, 인수분해라는 방법을 당연시 받아들여 왔지만 이 배경에는 특성 9가 있었던 것입니다.
이 세 가지 특성은 숫자의 크기 관계를 나타내고 있습니다. 좀 더 확장해서 생각해보면,
a-b=0
a-b s in the collecion P
-(a-b)=b-a is in the collection P
와 같이 연산의 결과 또한 하나의 숫자이기 때문에 세 가지 특성을 가지는 것을 알 수 있습니다. 이 특성으로 두 수가 음수일 때, 두 수의 곱은 양수가 됨을 보일 수도 있습니다.
숫자를 제대로 정의하지 않은 만큼, 수 라는건 아직 완전히 이해하지 못한 대상입니다. 하지만 이해와 관계없이 어떤 수이건 12개의 특성을 가지고 있다는 것은 말할 수 있게 되었습니다. 그리고 이 기본적인 특성으로 우리가 익숙하게 받아들인 다른 특성 또한 추론할 수 있음을 알게 되었습니다.
