2장은 수의 종류에 대해서 다룹니다. 가장 간단한 수는 '셀수 있는 수' 입니다. 자연수로도 불리는 이 수는 우리가 1장에서 알아본 수의 특성을 모두 만족하지는 못합니다. 하지만 다른 수가 이 수에서 출발하는 점, 그리고 '수학적 귀납법'이라는 특징을 갖는 점에서 수학적인 중요성을 가지고 있습니다.
P(x)를 P라는 특성이 x라는 숫자에 대해 만족한다라고 가정해봅시다. 이 때, 수학적 귀납법의 원리는 P(x)라는 특성은
1. P(1)이 참이다
2. P(k)가 참일 때, P(k+1)도 참이다
라는 조건을 만족한다면, 모든 자연수 x에 대해서 성립한다를 나타냅니다.
이와 같은 수학적 귀납법에 대한 직관적인 예시가 있습니다. 만약 모든 사람이 비밀을 다른 누군가에게 얘기한다 라고 가정하면, 모든 사람이 비밀을 알게될 것입니다. 이를 수학적 귀납법에 적용해본다면, P(x)를 x번째 사람이 비밀을 알게 되는 것이라 생각해봅시다. 그리고 두 가지 조건을 만족한다고 가정하면, 비밀을 얘기할 최초의 사람이 있고, 이 사람이 누군가에게 얘기를 한다면 P(1)과 P(2)는 참이 되는 것입니다. 그렇다면 순차적으로 k번째 사람 또한 비밀을 알게되어 P(k)가 참이 될 것이고, P(k+1)또한 참이 될 것이며, 순차적으로 모든 사람은 비밀을 알게되는 즉, 모든 자연수 x에 대해 참이될 것입니다.
이 특성을 자연수라는 수에 대입해서 생각해본다면, 어떤 집합 A에 대해
1. 1은 A의 원소이다.
2. k가 A의 원소일 때, k+1도 A의 원소이다.
가 성립한다면, A는 자연수 전체의 집합이 됩니다. 이처럼 수학적 귀납법이 성립한다는 자연수의 특성은 'Well ordering principle' 이라는, 자연수 집합에는 항상 제일 작은 숫자가 존재한다는 특성 또한 설명할 수 있습니다.
집합 A를 가장 작은 숫자가 없는 집합, 집합 B를 A에 없는 자연수 1,...,n이 포함된 집합이라고 가정합시다. 가장 작은 자연수 1은 집합 A에 없습니다. 집합 B에 있기 때문입니다. n보다 작은 어떤 수 k를 가정했을 때, 1,...,k는 모두 A에 없습니다. 만약에 하나라도 A에 있다면 그 숫자가 가장 작은 숫자가 될 것입니다. 반대로 이 모든 숫자가 B에 있다는 것은 수학적 귀납법의 두 가지 조건을 만족하는 것으로 k+1 또한 B에 있을 것이고, 이는 모든 자연수로 확장됩니다. 모든 자연수가 B에 있다면 A에는 아무 숫자도 없는 것이고 이는 공집합을 의미합니다.
앞서 자연수는 1장에서 다룬 수의 특성을 모두 만족하지 못한다 했습니다. 이제 정수를 고려해봅시다. 수의 특성을 많이 만족하지만 곱셈의 역원이라는 특성은 만족하지 못합니다. 두 정수의 나눗셈(분모가 0이 아닌)으로 구성된 유리수는 비로소 모든 수의 특성을 만족하게 됩니다. 그렇다면 1장에서 배운 수의 특성을 기반으로 생각했을 때, 여기까지의 결론은 유리수에 대한 이야기라고 내리고 싶을 수 있습니다. 하지만 다음과 같은 사례를 살펴 봅시다.
이처럼 유리수와 무리수를 포함하는 실수가 존재합니다. 하지만 실수는 우리가 1장에서 살펴본 수의 특성만으로 정의되지 않습니다. 실수를 정의하기 위해 추가적인 수의 특성을 살펴볼 수 있지만, 실수를 제대로 정의하기 위해서는 단순 수의 체계 이외의 것에 대해 알아볼 필요가 있습니다. 바로 여기서부터 미적분학의 근본적 개념인 함수에 대해 시작되는 것입니다.
