좌표계변환과 선형변환

좌표계변환이란?

선형시스템 Ax=b 가 있을 때, 행렬A를 좌표계로 보고 벡터x와 b를 좌표값으로 보는 방법입니다.

예를들어,

위와 같은 식에서 b는 앞에 항등행렬을 곱한것과 같습니다.

그리고 항등행렬을 좌표계로 보면, xy좌표계와 같습니다. 따라서

이런 벡터모양을 가지게 됩니다.

이번에는 Ax에서 A를 좌표계로 보면,

위의 그림의 초록색 좌표계로 볼 수 있습니다.
행렬을 열벡터로 만들면, [1 2]와 [-1 2]가 나타나는데,
이 벡터들을 축으로 좌표계를 만드는 겁니다.
그러면 위 그림의 빨간 벡터는 (2, 1)의 좌표값을 가지게 됩니다.

선형변환이란?

어떤 벡터를 다른 벡터로 변환해주는 함수를 변환이라고 합니다.
이때, 입력값과 출력값이 모두 선형인 기준을 만족시키면, 이 함수(변환)을 선형변환이라고 합니다.
어딘가 익숙하지않나요?
네 맞아요. 행렬은 선형변환이랍니다.
예를들어 2차원 벡터를 입력으로 받아서 반시계만큼 θ만큼 회전하는 행렬을 만들어봅시다.

만드는 법은 간단합니다. (1, 0)과 (0, 1) 벡터를 행렬로 만들고,

그리고 변환한 후의 좌표로 갈아끼웁니다.

완성됐습니다.